4.[2019·山东省实验中学模拟]若函数f(x)的定义域为[1,8],则函数的定义域为( )
A.(0,3)B.[1,3)∪(3,8]
C.[1,3)D.[0,3)
答案:
D
解析:
因为f(x)的定义域为[1,8],所以若函数有意义,则得0≤x<3,故选D.
5.[2019·上海一模]已知两个单位向量a,b的夹角为60°,则下列向量是单位向量的是( )
A.a+bB.a+b
C.a-bD.a-b
答案:
C
解析:
通解 ∵a,b均是单位向量且夹角为60°,∴a·b=,
∴|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2×+1=1,即|a-b|=1,∴a-b是单位向量.故选C.
优解 如图,令=a,=b,∵a,b均是单位向量且夹角为60°,∴△OAB为等边三角形,∴||=|a-b|=|a|=|b|=1,∴a-b是单位向量.故选C.
6.[2019·云南昆明摸底调研,逻辑推理]设l,m是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,且l⊂α,m⊂β.下列结论正确的是( )
A.若α⊥β,则l⊥βB.若l⊥m,则α⊥β
C.若α∥β,则l∥βD.若l∥m,则α∥β
答案:
C
解析:
α⊥β,l⊂α,加上l垂直于α与β的交线,才有l⊥β,所以A项错误;若l⊥m,l⊂α,m⊂β,则α与β平行或相交,所以B项错误;若α∥β,l⊂α,则l∥β,所以C项正确;若l∥m,l⊂α,m⊂β,则α与β平行或相交,所以D项错误.故选C.
7.[2019·浙江杭州期中]函数y=(3x2+2x)ex的图象大致是( )
答案:
A
解析:
令y=(3x2+2x)ex=0,得x=-或x=0,所以函数有-和0两个零点,据此可排除B,D.又由y′=(3x2+8x+2)ex分析知函数有2个极值点,排除C.选A.
8.[2019·安徽六校教育研究会联考]如图,第1个图形由正三角形扩展而成,共12个顶点,第2个图形由正方形扩展而来,共20个顶点,…,第n个图形由正(n+2)边形扩展而来,n∈N*,则第n个图形的顶点个数是( )
A.(2n+1)(2n+2)B.3(2n+2)
C.2n(5n+1)D.(n+2)(n+3)
答案:
D
解析:
方法一 由题中所给图形我们可以得到:
当n=1时,第1个图形的顶点个数12=3×4;
当n=2时,第2个图形的顶点个数20=4×5;
当n=3时,第3个图形的顶点个数30=5×6;
当n=4时,第4个图形的顶点个数42=6×7;
…;
以此类推,可得第n个图形的顶点个数是(n+2)(n+3).故选D.
方法二 (排除法)由题知,当n=1时,第1个图形的顶点个数是12;当n=2时,第2个图形的顶点个数是20,选项A,B,C都不满足题意,均可排除,选D.
9.[2019·陕西彬州第一次质监,数据分析]如图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图,第1次到第14次的考试成绩依次记为A1,A2,…,A14.如图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个程序框图,执行程序框图,输出的结果是( )
A.7B.8
C.9D.10
答案:
B
解析:
该程序框图的作用是求14次考试成绩大于等于90分的次数.根据茎叶图可得超过90分的次数为8,故选B.
10.[2019·山西大同期中]中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:
今有牛、马、羊食人苗.苗主责之粟五斗.羊主曰:
“我羊食半马.”马主曰:
“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?
此问题的译文是:
今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:
“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:
“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,他们各应偿还多少?
已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升,b升,c升,1斗为10升,则下列判断正确的是( )
A.a,b,c依次成公比为2的等比数列,且a=
B.a,b,c依次成公比为2的等比数列,且c=
C.a,b,c依次成公比为的等比数列,且a=
D.a,b,c依次成公比为的等比数列,且c=
答案:
D
解析:
由题意得a,b,c依次成公比为的等比数列,且c+2c+4c=50,即c=,故选D.
11.[2019·河南洛阳尖子生联考,数学运算]已知双曲线-=1(t>0)的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,则该双曲线的离心率为( )
A.B.2
C.4D.
答案:
B
解析:
由题意,知双曲线的右焦点(c,0)与抛物线的焦点(2,0)重合,所以c=2,所以该双曲线的离心率为e=2,故选B.
12.[2019·陕西西安远东一中检测]已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sinA+sinB=2sinC,b=3,当内角C最大时,△ABC的面积等于( )
A.B.
C.D.
答案:
A
解析:
∵sinA+sinB=2sinC,∴a+b=2c,∵b=3,∴c=,由余弦定理得cosC====+-≥2-=,当且仅当=,即a=时取等号,∴内角C最大时,a=,sinC=,∴△ABC的面积为absinC=,故选A.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将正确答案填在题中的横线上.)
13.[2019·广东七校第二次联考]已知f(x)=x3(ex+e-x)+6,f(a)=10,则f(-a)=________.
答案:
2
解析:
令g(x)=x3(ex+e-x),则f(x)=g(x)+6,因为函数y=x3是奇函数,y=ex+e-x是偶函数,所以g(x)是奇函数,所以f(x)+f(-x)=g(x)+6+g(-x)+6=12,所以f(a)+f(-a)=12,又f(a)=10,所以f(-a)=2.
14.[2019·江苏常州期中]在平面直角坐标系中,劣弧,,,是圆x2+y2=1上的四段弧(如图),点P在其中一段弧上,角α以Ox为始边,OP为终边.若tanα答案:
解析:
∵tanα15.[2019·辽宁沈阳二中调研]已知直线y=x+1与椭圆mx2+ny2=1(m>n>0)相交于A,B两点,若弦AB中点的横坐标为-,则双曲线-=1的两条渐近线夹角的正切值是________.
答案:
解析:
把直线方程与椭圆方程联立,得消去y得(m+n)x2+2nx+n-1=0,∴xA+xB=-=-,∴=,∴双曲线-=1的两条渐近线夹角的正切值为=.
16.[2019·安徽合肥二检]已知半径为4的球面上有两点A,B,AB=4,球心为O,若球面上的动点C满足二面角C-AB-O的大小为60°,则四面体OABC的外接球的半径为________.
答案:
解析:
如图所示,设△ABC的外接圆的圆心为O1,取AB的中点D,连接OD,O1D,O1O,则OD⊥AB,O1D⊥AB,所以∠ODO1为二面角C-AB-O的平面角,所以∠ODO1=60°.由题意,知OA=OB=4,AB=4,满足OA2+OB2=AB2,所以∠AOB为直角,所以OD=2.四面体OABC外接球的球心在过△ABC的外心O1且与平面ABC垂直的直线OO1上,同时在过Rt△OAB的外心D且与平面OAB垂直的直线上,如图中的点E就是四面体OABC外接球的球心,EO为四面体OABC外接球的半径.在Rt△ODE中,∠DOE=90°-∠ODO1=30°,则EO===.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(12分)[2019·郑州高三质检]已知函数f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x-2.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)当x∈时,求函数f(x)的最大值,最小值.
解析:
(1)f(x)=sin2x+cos2x=sin,
令2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
故f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
(2)∵x∈,∴≤2x+≤,
∴-1≤sin≤,∴-≤f(x)≤1,
∴当x∈时,函数f(x)的最大值为1,最小值为-.
18.(12分)[2019·广东肇庆实验中学月考]如图,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体.
(1)求B1C1D1-ABCD的体积;
(2)求证:
平面AB1D1∥平面C1BD.
解析:
(1)设正方体的体积为V1,
则由题图可知B1C1D1-ABCD的体积V=V1-VA-A1B1D1=2×2×2-××2×2×2=8-=.
(2)∵ABCD-A1B1C1D1为正方体,∴D1C1∥A1B1,D1C1=A1B1,
又AB∥A1B1,AB=A1B1,
∴D1C1∥AB,D1C1=AB,
∴四边形D1C1BA为平行四边形,
∴D1A∥C1B,又D1A⊄平面C1BD,C1B⊂平面C1BD,
∴D1A∥平面C1BD.
同理,D1B1∥平面C1BD,
又D1A∩D1B1=D1,
∴平面AB1D1∥平面C1BD.
19.(12分)[2019·湖南五市十校联考]2019年国际篮联篮球世界杯于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.为了宣传国际篮联篮球世界杯,某大学从全校学生中随机抽取了120名学生,对是否会收看该国际篮联篮球世界杯赛事的情况进行了问卷调查,统计数据如下:
会收看
不会收看
男生
60
20
女生
20
20
(1)根据上表说明,能否有99%的把握认为是否会收看该国际篮联篮球世界杯赛事与性别有关?
(2)现从参与问卷调查且会收看该国际篮联篮球世界杯赛事的学生中,采用按性别分层抽样的方法选取4人参加2019年国际篮联篮球世界杯志愿者宣传活动.
(ⅰ)求男、女生各选取多少人;
(ⅱ)若从这4人中随机选取2人到校广播站开展2019年国际篮联篮球世界杯宣传介绍,求恰好选到2名男生的概率.
附:
K2=,其中n=a+b+c+d,
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
解析:
(1)由表中数据可得K2的观测值k==7