版高中数学人教版a版必修一学案第一单元 131 第2课时 函数的最大值最小值含答案.docx
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版高中数学人教版a版必修一学案第一单元131第2课时函数的最大值最小值含答案
第2课时 函数的最大值、最小值
学习目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义(难点).2.会借助单调性求最值(重点).3.掌握求二次函数在闭区间上的最值(重点).
预习教材P30,完成下面问题:
知识点 函数的最大值与最小值
最大值
最小值
条件
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
对于任意的x∈I,都有
f(x)≤M
f(x)≥M
存在x0∈I,使得f(x0)=M
结论
称M是函数y=f(x)的最大值
称M是函数y=f(x)的最小值
几何
意义
f(x)图象上最高点的纵坐标
f(x)图象上最低点的纵坐标
【预习评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)任何函数f(x)都有最大值和最小值.( )
(2)若存在实数m,使f(x)≥m,则m是函数f(x)的最小值.( )
(3)若函数f(x)在区间[a,b]上是增函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小值是f(a),最大值是f(b).( )
提示
(1)× 反例:
f(x)=x既无最大值,也无最小值.
(2)× 若使m是f(x)的最小值,还需在f(x)的定义域内存在x0,使f(x0)=m.
(3)√ 由于f(x)在区间[a,b]上是增函数,所以f(a)≤f(x)≤f(b).故f(x)的最小值是f(a),最大值是f(b).
题型一 用图象法和函数的单调性求函数的最值
【例1】
(1)已知函数f(x)=
则f(x)的最大值、最小值分别为________,________.
(2)求函数f(x)=
在区间[2,5]上的最大值与最小值.
(1)解析 作出函数f(x)的图象(如图).由图象可知,当x=±1时,f(x)取最大值为f(±1)=1.当x=0时,f(x)取最小值f(0)=0,
故f(x)的最大值为1,最小值为0.
答案 1 0
(2)解 任取2≤x1 则f(x1)= ,f(x2)= , f(x2)-f(x1)= - = , ∵2≤x1 ∴f(x2)-f(x1)<0,∴f(x2) ∴f(x)= 在区间[2,5]上是单调减函数. ∴f(x)max=f (2)= =2,f(x)min=f(5)= = . 规律方法1.图象法求最值的步骤 2.利用函数的单调性求最值的两个易错点 (1)求函数的最值时应首先求函数的定义域,在定义域内进行. (2)求函数在闭区间上的最值,易出现的失误是不判断函数的单调性而直接将两端点值代入,认为是函数的最值. 【训练1】 已知函数f(x)=x+ . (1)求证f(x)在[1,+∞)上是增函数; (2)求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值. (1)证明 设1≤x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=(x1+ )-(x2+ )=(x1-x2)· . ∵1≤x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>1, ∴x1x2-1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). ∴f(x)在[1,+∞)上是增函数. (2)解 由 (1)可知,f(x)在[1,4]上递增, ∴当x=1时, f(x)min=f (1)=2, 当x=4时, f(x)max=f(4)= . 综上所述,f(x)在[1,4]上的最大值是 ,最小值是2. 题型二 函数最值的实际应用 【例2】 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数: R(x)= 其中x是仪器的月产量. (1)将利润表示为月产量的函数f(x); (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大? 最大利润为多少元? (总收益=总成本+利润) 解 (1)设月产量为x台,则总成本为20000+100x, 从而f(x)= (2)当0≤x≤400时,f(x)=- (x-300)2+25000; ∴当x=300时,f(x)max=25000, 当x>400时,f(x)=60000-100x是减函数, f(x)<60000-100×400<25000. ∴当x=300时,f(x)max=25000. 即每月生产300台仪器时利润最大,最大利润为25000元. 规律方法 求解实际问题的四个步骤 (1)读题: 分为读懂和深刻理解两个层次,把“问题情景”译为数学语言,找出问题的主要关系(目标与条件的关系). (2)建模: 把问题中的关系转化成函数关系,建立函数解析式,把实际问题转化成函数问题. (3)求解: 选择合适的数学方法求解函数. (4)评价: 对结果进行验证或评估,对错误加以改正,最后将结果应用于现实,作出解释或预测. 特别提醒: 求解实际问题的步骤也可认为分成“设元——列式——求解——作答”四个步骤. 【训练2】 某水厂蓄水池有水450吨,水厂每小时向蓄水池注水80吨,同时蓄水池又向居民小区供水,t小时内供水量为80 吨.现在开始向池中注水并同时向居民供水,多少小时后蓄水池中水量最少? 解 设t小时后,池中水量为y吨,则 y=450+80t-80 =4( -10)2+50, 当 =10,即t=5时,ymin=50, 所以5小时后蓄水池中水量最少,最少为50吨. 互动探究 题型三 二次函数的最值 【探究1】 (1)求函数y=x2-2x+2的单调区间. (2)求函数y=-x2-2x+2的单调区间. 解 (1)函数y=x2-2x+2是开口向上,对称轴为x=1的抛物线, 故其单减区间是(-∞,1),单增区间是(1,+∞). (2)函数y=-x2-2x+2的图象是开口向下,对称轴为x=-1的抛物线,故其单减区间是(-1,+∞),单增区间是(-∞,-1). 【探究2】 函数f(x)=x2-2x+2在区间[-1,0],[-1,2],[2,3]上的最大值和最小值分别是什么? 解 函数f(x)=x2-2x+2的图象开口向上,对称轴为x=1, (1)因为f(x)在区间[-1,0]上单调递减,所以f(x)在区间[-1,0]上的最大值为f(-1)=5,最小值为f(0)=2; (2)因为f(x)在区间[-1,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增,则f(x)在区间[-1,2]上的最小值为f (1)=1,又因为f(-1)=5,f (2)=2,f(-1)>f (2),所以f(x)在区间[-1,2]上的最大值为f(-1)=5. (3)因为f(x)在区间[2,3]上单调递增,所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为f (2)=2,最大值为f(3)=5. 【探究3】 已知函数f(x)=x2-ax+1, (1)求f(x)在[0,1]上的最大值; (2)当a=1时,求f(x)在闭区间[t,t+1](t∈R)上的最小值. 解 (1)因为函数f(x)=x2-ax+1的图象开口向上,其对称轴为x= , 所以区间[0,1]的哪一个端点离对称轴远,则在哪个端点取到最大值, 当 ≤ ,即a≤1时,f(x)的最大值为f (1)=2-a; 当 > ,即a>1时,f(x)的最大值为f(0)=1. (2)当a=1时,f(x)=x2-x+1,其图象的对称轴为x= . ①当t≥ 时,f(x)在[t,t+1]上是增函数,∴f(x)min=f(t)=t2-t+1; ②当t+1≤ ,即t≤- 时,f(x)在上是减函数, ∴f(x)min=f(t+1)=t2+t+1; ③当t< 时,函数f(x)在 上单调递减,在 上单调递增, 所以f(x)min=f = . 规律方法 含参数的二次函数最值问题的解法 解决含参数的二次函数的最值问题,首先将二次函数化为y=a(x+h)2+k的形式,再依a的符号确定抛物线开口的方向,依对称轴x=-h得出顶点的位置,再根据x的定义区间结合大致图象确定最大或最小值. 对于含参数的二次函数的最值问题,一般有如下几种类型: (1)区间固定,对称轴变动(含参数),求最值; (2)对称轴固定,区间变动(含参数),求最值; (3)区间固定,最值也固定,对称轴变动,求参数. 通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论. 课堂达标 1.函数f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])的最小、最大值分别为( ) A.3,5 B.-3,5 C.1,5 D.5,-3 解析 因为f(x)=-2x+1(x∈[-2,2])是单调递减函数,所以当x=2时,函数的最小值为-3.当x=-2时,函数的最大值为5. 答案 B 2.函数y=x2-2x,x∈[0,3]的值域为( ) A.[0,3] B.[-1,0] C.[-1,+∞) D.[-1,3] 解析 ∵函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],∴当x=1时,函数y取得最小值为-1,当x=3时,函数取得最大值为3,故函数的值域为[-1,3],故选D. 答案 D 3.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是( ) A.2 B.-2 C.2或-2 D.0 解析 由题意a≠0,当a>0时,有(2a+1)-(a+1)=2,解得a=2;当a<0时,有(a+1)-(2a+1)=2,解得a=-2.综上知a=±2. 答案 C 4.函数f(x)= -3x在区间[2,4]上的最大值为________. 解析 ∵ 在区间[2,4]上是减函数,-3x在区间[2,4]上是减函数,∴函数f(x)= -3x在区间[2,4]上是减函数,∴f(x)max=f (2)= -3×2=-4. 答案 -4 5.已知函数f(x)= 求函数f(x)的最大值、最小值. 解 作出f(x)的图象如图: 由图象可知,当x=2时,f(x)取最大值为2;当x= 时,f(x)取最小值为- . 所以f(x)的最大值为2,最小值为- . 课堂小结 1.函数的最值与值域、单调性之间的联系 (1)对一个函数来说,其值域是确定的,但它不一定有最 值,如函数y= .如果有最值,则最值一定是值域中的一个元素. (2)若函数f(x)在闭区间[a,b]上单调,则f(x)的最值必在区间端点处取得,即最大值是f(a)或f(b),最小值是f(b)或f(a). 2.二次函数在闭区间上的最值 探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的草图,然后根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据,并且最大(小)值不一定在顶点处取得.
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