非线模型线化Word下载.docx
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0两种情形的图形分别见图4.1和4.2。
显然xt和yt的关系是非线性的。
对上式等号两侧同取自然对数,得
Lnyt=Lna+bxt+ut(4.2)
令Lnyt=yt*,Lna=a*,则
yt*=a*+bxt+ut(4.3)
变量yt*和xt已变换成为线性关系。
其中ut表示随机误差项。
图4.1yt=,(b>
0)图4.2yt=,(b<
0)
⑵对数函数模型
yt=a+bLnxt+ut(4.4)
0和b<
0两种情形的图形分别见图4.3和4.4。
xt和yt的关系是非线性的。
令xt*=Lnxt,则
yt=a+bxt*+ut(4.5)
变量yt和xt*已变换成为线性关系。
图4.3yt=a+bLnxt+ut,(b>
0)图4.4yt=a+bLnxt+ut,(b<
⑶幂函数模型
yt=axtb(4.6)
b取不同值的图形分别见图4.5和4.6。
对上式等号两侧同取对数,得
Lnyt=Lna+bLnxt+ut(4.7)
令yt*=Lnyt,a*=Lna,xt*=Lnxt,则上式表示为
yt*=a*+bxt*+ut(4.8)
变量yt*和xt*之间已成线性关系。
(4.7)式也称作全对数模型。
图4.5yt=axtb图4.6yt=axtb
⑷双曲线函数模型
1/yt=a+b/xt+ut(4.9)
也可写成,
yt=1/(a+b/xt+ut)(4.10)
0情形的图形见图4.7。
令yt*=1/yt,xt*=1/xt,得
yt*=a+bxt*+ut
已变换为线性回归模型。
图4.7yt=1/(a+b/xt),(b>
0)图4.8yt=a+b/xt,(b>
双曲线函数还有另一种表达方式,
yt=a+b/xt+ut(4.11)
0情形的图形见图4.8。
令xt*=1/xt,得
yt=a+bxt*+ut
上式已变换成线性回归模型。
⑸多项式方程模型
一种多项式方程的表达形式是
yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+ut(4.12)
其中b1>
0,b2>
0,b3>
0和b1<
0,b3<
0情形的图形分别见图4.9和4.10。
令xt1=xt,xt2=xt2,xt3=xt3,上式变为
yt=b0+b1xt1+b2xt2+b3xt3+ut(4.13)
这是一个三元线性回归模型。
如经济学中的总成本曲线与图4.9相似。
图4.9yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+ut图4.10yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+ut
另一种多项式方程的表达形式是
yt=b0+b1xt+b2xt2+ut(4.14)
0,b2<
0情形的图形分别见图4.11和4.12。
令xt1=xt,xt2=xt2,上式线性化为,
yt=b0+b1xt1+b2xt2+ut(4.15)
如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与图4.11相似。
图4.11yt=b0+b1xt+b2xt2+ut图4.12yt=b0+b1xt+b2xt2+ut
⑹生长曲线(logistic)模型
yt=(4.16)
一般f(t)=a0+a1t+a2t2+…+antn,常见形式为f(t)=a0-at
yt==(4.17)
其中b=。
a>
0情形的图形分别见图4.13和4.14。
美国人口统计学家Pearl和Reed广泛研究了有机体的生长,得到了上述数学模型。
生长模型(或逻辑斯谛曲线,Pearl-Reed曲线)常用于描述有机体生长发育过程。
其中k和0分别为yt的生长上限和下限。
=k,=0。
a,b为待估参数。
曲线有拐点,坐标为(,),曲线的上下两部分对称于拐点。
图4.13yt=k/(1+)图4.14yt=k/(1+)
为能运用最小二乘法估计参数a,b,必须事先估计出生长上极限值k。
线性化过程如下。
当k给出时,作如下变换,
k/yt=1+
移项,k/yt-1=
取自然对数,Ln(k/yt-1)=Lnb-at+ut(4.18)
令yt*=Ln(k/yt-1),b*=Lnb,则
yt*=b*-at+ut(4.19)
此时可用最小二乘法估计b*和a。
图4.15内地5月1日至28日每天非典数据一览
⑺龚伯斯(Gompertz)曲线
英国统计学家和数学家最初提出把该曲线作为控制人口增长的一种数学模型,此模型可用来描述一项新技术,一种新产品的发展过程。
曲线的数学形式是,
yt=
图4.15yt=
曲线的上限和下限分别为k和0,=k,=0。
曲线有拐点,坐标为(,),但曲线不对称于拐点。
一般情形,上限值k可事先估计,有了k值,龚伯斯曲线才可以用最小二乘法估计参数。
线性化过程如下:
当k给定时,
yt/k=,k/yt=
Ln(k/yt)=,Ln[Ln(k/yt)]=Lnb-at
令y*=Ln[Ln(k/yt)],b*=Lnb,则
y*=b*-at
上式可用最小二乘法估计b*和a。
Cobb-Douglas生产函数
下面介绍柯布-道格拉斯(Cobb-Douglas)生产函数。
其形式是
Q=kLC1-(4.24)
其中Q表示产量;
L表示劳动力投入量;
C表示资本投入量;
k是常数;
0<
<
1。
这种生产函数是美国经济学家柯布和道格拉斯根据1899-1922年美国关于生产方面的数据研究得出的。
更习惯的表达形式是
yt=(4.25)
这是一个非线性模型,无法用OLS法直接估计,但可先作线性化处理。
上式两边同取对数,得:
Lnyt=Ln0+1Lnxt1+2Lnxt2+ut(4.26)
取yt*=Lnyt,0*=Ln0,xt1*=Lnxt1,xt2*=Lnxt2,有
yt*=0*+1xt1*+2xt2*+ut(4.27)
上式为线性模型。
用OLS法估计后,再返回到原模型。
若回归参数
1+2=1,称模型为规模报酬不变型;
1+2>
1,称模型为规模报酬递增型;
1+2<
1,称模型为规模报酬递减型。
对于对数线性模型,Lny=Ln0+1Lnxt1+2Lnxt2+ut,1和2称作弹性系数。
以1为例,
1====(4.28)
可见弹性系数是两个变量的变化率的比。
注意,弹性系数是一个无量纲参数,所以便于在不同变量之间比较相应弹性系数的大小。
对于线性模型,yt=0+1xt1+2xt2+ut,1和2称作边际系数。
1=(4.29)
通过比较(4.28)和(4.29)式,可知线性模型中的回归系数(边际系数)是对数线性回归模型中弹性系数的一个分量。
例1:
此模型用来评价台湾农业生产效率。
用台湾1958-1972年农业生产总值(yt),劳动力(xt1),资本投入(xt2)数据(见表4.1)为样本得估计模型,
=-3.4+1.50Lnxt1+0.49Lnxt2(4.30)
(2.78)(4.80)R2=0.89,F=48.45
还原后得,
=0.713xt11.50xt20.49(4.31)
因为1.50+0.49=1.99,所以,此生产函数属规模报酬递增函数。
当劳动力和资本投入都增加1%时,产出增加近2%。
例2:
用天津市工业生产总值(Yt),职工人数(Lt),固定资产净值与流动资产平均余额(Kt)数据(1949-1997)为样本得估计模型如下:
LnYt=0.7272+0.2587LnLt+0.6986LnKt
(3.12)(3.08)(18.75)R2=0.98,s.e.=0.17,DW=0.42,F=1381.4
因为0.2587+0.6986=0.9573,所以此生产函数基本属于规模报酬不变函数。
例3:
硫酸透明度与铁杂质含量的关系(摘自《数理统计与管理》1988.4,p.16)
某硫酸厂生产的硫酸的透明度一直达不到优质指标。
经分析透明度低与硫酸中金属杂质的含量太高有关。
影响透明度的主要金属杂质是铁、钙、铅、镁等。
通过正交试验的方法发现铁是影响硫酸透明度的最主要原因。
测量了47个样本,得硫酸透明度(y)与铁杂质含量(x)的散点图如下(file:
nonli01):
(1)y=121.59-0.91x
(10.1)(-5.7)
R2=0.42,s.e.=36.6,F=32
(2)1/y=0.069-2.37(1/x)
(18.6)(-11.9)
R2=0.76,s.e.=0.009,F=142
(3)y=-54.40+6524.83(1/x)
(-7.2)(16.3)
R2=0.86,s.e.=18.2,F=266
(4)Lny=1.99+104.5(1/x)
(22.0)(21.6)
R2=0.91,s.e.=0.22,F=468
还原,Lny=Ln(7.33)+104.5(1/x)
y=7.33
(5)非线性估计结果是y=8.2965
R2=0.96,
EViews命令Y=C
(1)*EXP(C
(2)*(1/X))
例4中国铅笔需求预测模型(非线性模型案例,file:
nonli6)
中国从上个世纪30年代开始生产铅笔。
1985年全国有22个厂家生产铅笔。
产量居世界首位(33.9亿支),占世界总产量的1/3。
改革开放以后,铅笔生产增长极为迅速。
197
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