版高中数学北师大版选修23学案第二章 5 第2课时 离散型随机变量的方差.docx
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版高中数学北师大版选修23学案第二章5第2课时离散型随机变量的方差
第2课时 离散型随机变量的方差
学习目标
1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题.
知识点 离散型随机变量的方差
甲、乙两名工人加工同一种零件,两人每天加工的零件数相等,所得次品数分别为X和Y,X和Y的分布列为
X
0
1
2
P
Y
0
1
2
P
思考1 试求EX,EY.
思考2 能否由EX与EY的值比较两名工人技术水平的高低?
思考3 试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低?
梳理
(1)离散型随机变量的方差的含义
设X是一个离散型随机变量,用E(X-EX)2来衡量X与EX的________________,E(X-EX)2是(X-EX)2的________,称E(X-EX)2为随机变量X的方差,记为________.
(2)方差的大小与离散型随机变量的集中与分散程度间的关系
方差越____,随机变量的取值越分散;方差越____,随机变量的取值就越集中在其均值周围.
(3)参数为n,p的二项分布的方差
当随机变量服从参数为n,p的二项分布时,其方差DX=np(1-p).
类型一 求离散型随机变量的方差
命题角度1 已知分布列求方差
例1 已知X的分布列如下:
X
-1
0
1
P
a
(1)求X2的分布列;
(2)计算X的方差;
(3)若Y=4X+3,求Y的均值和方差.
反思与感悟 方差的计算需要一定的运算能力,公式的记忆不能出错!
在随机变量X2的均值比较好计算的情况下,运用关系式DX=EX2-(EX)2不失为一种比较实用的方法.另外注意方差性质的应用,如D(aX+b)=a2DX.
跟踪训练1 已知η的分布列为
η
0
10
20
50
60
P
(1)求方差;
(2)设Y=2η-Eη,求DY.
命题角度2 未知分布列求方差
例2 某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分为n小块地,在总共2n小块地中,随机选n小块地种植品种甲,另外n小块地种植品种乙.假设n=4,在第一大块地中,种植品种甲的小块地的数目记为X,求X的分布列、均值及方差.
反思与感悟
(1)求离散型随机变量X的均值和方差的基本步骤
①理解X的意义,写出X可能取的全部值.
②求X取每个值的概率.
③写X的分布列.
④求EX,DX.
(2)若随机变量X服从二项分布,即X~B(n,p),则EX=np,DX=np(1-p).
跟踪训练2 在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球,其中有1个红球和4个黄球,规定每次从袋中任意摸出一球,若摸出的是黄球则不再放回,直到摸出红球为止,求摸球次数X的均值和方差.
类型二 方差的实际应用
例3 某投资公司在2017年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择:
项目一:
新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率为
和
.
项目二:
通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能亏损30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为
,
和
.
针对以上两个投资项目,请你为投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.
反思与感悟 均值体现了随机变量取值的平均大小,在两种产品相比较时,只比较均值往往是不恰当的,还需比较它们的取值的离散型程度,即通过比较方差,才能做出更准确的判断.
跟踪训练3 甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为两个相互独立的随机变量ξ与η,且ξ,η的分布列为
ξ
1
2
3
P
a
0.1
0.6
η
1
2
3
P
0.3
b
0.3
(1)求a,b的值;
(2)计算ξ,η的均值与方差,并以此分析甲、乙的射击技术状况.
1.已知随机变量X的分布列为
X
-1
0
1
P
则下列式子:
①EX=-
;②DX=
;③P(X=0)=
.其中正确的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
2.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=
(k=1,2,3),则D(3X+5)等于( )
A.6B.9C.3D.4
3.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示,若EX=0,DX=1,则a=________,b=________.
X
-1
0
1
2
P
a
b
c
4.有两台自动包装机甲与乙,包装质量分别为随机变量X,Y,已知EX=EY,DX>DY,则自动包装机________的质量较好.(填“甲”或“乙”)
5.编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位,每位学生坐一个座位,设与座位编号相同的学生的人数是ξ,求Eξ和Dξ.
1.随机变量的方差反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度.方差越小,则随机变量的取值越集中在其均值周围;反之,方差越大,则随机变量的取值就越分散.
2.随机变量的方差与样本方差的区别:
样本方差是随着样本的不同而变化的,因此,它是一个变量,而随机变量的方差是一个常量.
答案精析
问题导学
思考1 EX=0×
+1×
+2×
=
,
EY=0×
+1×
+2×
=
.
思考2 不能,因为EX=EY.
思考3 方差.
梳理
(1)平均偏离程度 均值 DX
(2)大 小
题型探究
例1 解
(1)由分布列的性质,知
+
+a=1,故a=
,从而X2的分布列为
X2
0
1
P
(2)方法一 由
(1)知a=
,所以X的均值EX=(-1)×
+0×
+1×
=-
.
故X的方差DX=(-1+
)2×
+(0+
)2×
+(1+
)2×
=
.
方法二 由
(1)知a=
,所以X的均值EX=(-1)×
+0×
+1×
=-
,
X2的均值EX2=0×
+1×
=
,
所以X的方差DX=EX2-(EX)2=
.
(3)因为Y=4X+3,
所以EY=4EX+3=2,DY=42DX=11.
跟踪训练1 解
(1)∵Eη=0×
+10×
+20×
+50×
+60×
=16,
∴Dη=(0-16)2×
+(10-16)2×
+(20-16)2×
+(50-16)2×
+(60-16)2×
=384,
(2)∵Y=2η-Eη,
∴DY=D(2η-Eη)=22Dη=4×384=1536.
例2 解 X可能的取值为0,1,2,3,4,
且P(X=0)=
=
,P(X=1)=
=
,
P(X=2)=
=
,P(X=3)=
=
,
P(X=4)=
=
.
即X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
∴EX=0×
+1×
+2×
+3×
+4×
=2,
DX=(0-2)2×
+(1-2)2×
+(2-2)2×
+(3-2)2×
+(4-2)2×
=
.
跟踪训练2 解 X的可能取值为1,2,3,4,5.
P(X=1)=
,
P(X=2)=
×
=
,
P(X=3)=
×
×
=
,
P(X=4)=
×
×
×
=
,
P(X=5)=
×
×
×
×1=
.
∴X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
由定义知,EX=0.2×(1+2+3+4+5)=3.
DX=0.2×(4+1+0+1+4)=2.
例3 解 若按项目一投资,设获利X1万元,
则X1的分布列为
X1
300
-150
P
∴EX1=300×
+(-150)×
=200(万元).
DX1=(300-200)2×
+(-150-200)2×
=35000,
若按项目二投资,设获利X2万元,
则X2的分布列为
X2
500
-300
0
P
∴EX2=500×
+(-300)×
+0×
=200(万元).
DX2=(500-200)2×
+(-300-200)2×
+(0-200)2×
=140000,
∴EX1=EX2,DX1<DX2,
这说明虽然项目一、项目二获利相等,但项目一更稳妥.
综上所述,建议该投资公司选择项目一投资.
跟踪训练3 解
(1)由离散型随机变量的分布列的性质,可知a+0.1+0.6=1,所以a=0.3.
同理,0.3+b+0.3=1,所以b=0.4.
(2)Eξ=1×0.3+2×0.1+3×0.6=2.3,
Eη=1×0.3+2×0.4+3×0.3=2.
Dξ=(1-2.3)2×0.3+(2-2.3)2×0.1+(3-2.3)2×0.6=0.81,
Dη=(1-2)2×0.3+(2-2)2×0.4+(3-2)2×0.3=0.6.
由于Eξ>Eη,说明在一次射击中,甲的平均得分比乙高,但Dξ>Dη,说明在平均得分相差不大的情况下,甲得分的稳定性不如乙,因此甲、乙两人射击技术水平都不够优秀,各有优势与劣势.
当堂训练
1.C 2.A 3.
4.乙
5.解 ξ的所有可能取值为0,1,3,ξ=0表示三位同学全坐错了,有2种情况,即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生,
则P(ξ=0)=
=
;
ξ=1表示三位同学只有1位同学坐对了,
则P(ξ=1)=
=
;
ξ=3表示三位学生全坐对了,即对号入座,
则P(ξ=3)=
=
.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
3
P
Eξ=0×
+1×
+3×
=1.
Dξ=
×(0-1)2+
×(1-1)2+
×(3-1)2=1.
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