高考数学大一轮复习27函数的图象教师用书理苏教版Word格式.docx
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(3)伸缩变换
y=f(ax).
y=af(x).
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.( ×
)
(2)函数y=af(x)与y=f(ax)(a>
0且a≠1)的图象相同.( ×
(3)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称.( ×
(4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.( √ )
(5)将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位得到函数y=f(-x-1)的图象.( ×
(6)不论a(a>
0且a≠1)取何值,函数y=loga2|x-1|的图象恒过定点(2,0).( ×
1.函数y=1-
的图象是________.
答案 ②
解析 将y=-
的图象向右平移1个单位,再向上平移一个单位,即可得到函数y=1-
的图象.由图知②正确.
2.(2013·
北京改编)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)的解析式为________.
答案 f(x)=e-x-1
解析 与y=ex图象关于y轴对称的函数为y=e-x.依题意,f(x)图象向右平移一个单位,得y=e-x的图象.∴f(x)的图象由y=e-x的图象向左平移一个单位得到.∴f(x)=e-(x+1)=e-x-1.
3.如图,定义在[-1,+∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则f(x)的解析式为________.
答案 f(x)=
解析 当x∈[-1,0]时,设y=kx+b,由图象得
解得
∴y=x+1.
当x>
0时,设y=a(x-2)2-1,
由图象得0=a(4-2)2-1,解得a=
,
∴y=
(x-2)2-1.
综上可知f(x)=
4.已知函数f(x)=
的图象与直线y=x恰有三个公共点,则实数m的取值范围是________.
答案 [-1,2)
解析 令x2+4x+2=x,解得x=-1或x=-2,
所以三个解必须为-1,-2和2,所以有-1≤m<
2.
题型一 作函数的图象
例1 分别画出下列函数的图象:
(1)y=|lgx|;
(2)y=2x+2;
(3)y=x2-2|x|-1;
(4)y=
.
解
(1)y=
图象如图①.
(2)将y=2x的图象向左平移2个单位,图象如图②.
(3)y=
图象如图③.
(4)因y=1+
,先作出y=
的图象,将其图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位,即得y=
的图象,如图④.
思维升华
(1)常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y=x+
(m>
0)的函数是图象变换的基础;
(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换等常用方法技巧,可以帮助我们简化作图过程.
作出下列函数的图象.
(1)y=|x-2|·
(x+1);
(2)y=
解
(1)当x≥2,
即x-2≥0时,
y=(x-2)(x+1)=x2-x-2
=(x-
)2-
;
当x<
2,即x-2<
0时,
y=-(x-2)(x+1)=-x2+x+2
=-(x-
)2+
这是分段函数,每段函数的图象可根据二次函数图象作出(如图).
=1-
,该函数图象可由函数y=-
向左平移3个单位,再向上平移1个单位得到,如下图所示.
题型二 识图与辨图
例2 函数y=ax2+bx与y=
(ab≠0,|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是________.(填序号)
(2)已知f(x)=
则下列函数的图象正确的为________.(填序号)
答案
(1)④
(2)①②③
解析
(1)函数y=ax2+bx的两个零点是0,-
对于①②,由抛物线的图象知,-
∈(0,1),
∴|
|∈(0,1).
∴函数y=
不是增函数,错误;
对于③,由抛物线的图象知a<
0且-
<
-1,
∴b<
0且
>
1,∴|
|>
1,
∴函数y=log|
|x应为增函数,错误;
对于④,由抛物线的图象知a>
0,-
∈(-1,0),
|∈(0,1),满足y=
为减函数.
(2)先在坐标平面内画出函数y=f(x)的图象,再将函数y=f(x)的图象向右平移1个单位长度即可得到y=f(x-1)的图象,因此①正确;
作函数y=f(x)的图象关于y轴的对称图形,即可得到y=f(-x)的图象,因此②正确;
y=f(x)的值域是[0,2],因此y=|f(x)|的图象与y=f(x)的图象重合,③正确;
y=f(|x|)的定义域是[-1,1],且是一个偶函数,当0<
x≤1时,y=f(|x|)=
,相应这部分图象不是一条线段,因此④不正确.
综上所述,①②③正确.
思维升华 函数图象的识辨可从以下方面入手:
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;
从函数的值域,判断图象的上下位置;
(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;
(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;
(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复;
(5)从函数的特征点,排除不合要求的图象.
函数y=xsinx在[-π,π]上的图象是下列图象中的________.
(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=-f(2-x)的图象为________.
答案
(1)①
(2)②
解析
(1)容易判断函数y=xsinx为偶函数,可排除④.当0<
x<
时,y=xsinx>
0,当x=π时,y=0,可排除②③,所以符合条件的应为①.
(2)方法一 由y=f(x)的图象知,
f(x)=
当x∈[0,2]时,2-x∈[0,2],
所以f(2-x)=
故y=-f(2-x)=
图象应为②.
方法二 当x=0时,-f(2-x)=-f
(2)=-1;
当x=1时,-f(2-x)=-f
(1)=-1.
观察各图象,可知②正确.
题型三 函数图象的应用
例3 已知函数f(x)=|x2-4x+3|.
(1)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性;
(2)求集合M={m|使方程f(x)=m有四个不相等的实根}.
思维点拨 可利用图象直观得到函数单调性;
方程解的个数可转化为函数图象交点个数.
解 f(x)=
作出函数图象如图.
(1)由图象可知,函数的增区间为[1,2],[3,+∞);
函数的减区间为(-∞,1],[2,3].
(2)在同一坐标系中作出y=f(x)和y=m的图象,使两函数图象有四个不同的交点(如图).
由图知0<
m<
1,∴M={m|0<
1}.
思维升华
(1)利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题,如判断方程是否有解,有多少个解.数形结合是常用的思想方法.
(2)利用图象,可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质.
(1)方程x2-|x|+a=1有四个不同的实数解,则a的取值范围是________.
(2)当0<
x≤
时,4x<
logax,则a的取值范围是________.
答案
(1)(1,
)
(2)(
,1)
解析
(1)方程解的个数可转化为函数y=x2-|x|的图象与直线y=1-a交点的个数,如图:
易知-
1-a<
0,∴1<
a<
(2)∵0<
,∴1<
4x≤2,
∴logax>
4x>
1,∴0<
1.
令f(x)=4x,g(x)=logax,
当x=
时,f(
)=2.(如图)
令g(
)=loga
=2,即a=
又∵g(x)=logax,x0∈(0,1),
a1,a2∈(0,1)且a1<
a2时,
>
∴要使当0<
logax成立,
需
高考中的函数图象及应用问题
一、已知函数解析式确定函数图象
典例:
函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=
的图象大致是________.
思维点拨 根据函数的定义域、值域、单调性和特征点确定函数图象.
解析 由函数y=f(x)的图象知,当x∈(0,2)时,f(x)≥1,所以
f(x)≤0.
又函数f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,
所以y=
f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数.结合4个图象知,③正确.
答案 ③
温馨提醒
(1)确定函数的图象,要从函数的性质出发,利用数形结合的思想.
(2)对于给出图象的题,可以结合函数的某一性质或特殊点进行排除.
二、函数图象的变换问题
若函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=-f(x+1)的图象大致为________.
思维点拨 从y=f(x)的图象可先得到y=-f(x)的图象,再得y=-f(x+1)的图象.
解析 要想由y=f(x)的图象得到y=-f(x+1)的图象,需要先将y=f(x)的图象关于x轴对称得到y=-f(x)的图象,然后再向左平移一个单位得到y=-f(x+1)的图象,根据上述步骤可知③正确.
温馨提醒
(1)对图象的变换问题,从f(x)到f(ax+b),可以先进行平移变换,也可以先进行伸缩变换,要注意变换过程中两者的区别.
(2)图象变换也可利用特征点的变换进行确定.
三、图象应用
已知函数y=
的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是________.
思维点拨 先作函数y=
的图象,然后利用函数y=kx-2图象恒过点(0,-2)以及与y=
图象恰有两个交点确定k的范围.
解析 根据绝对值的意义,
y=
=
在直角坐标系中作出该函数的图象,如图中实线所示.根据图象可知,
当0<
k<
1或1<
4时有两个交点.
答案 (0,1)∪(1,4)
温馨提醒
(1)本题求解利用了数形结合的思想,数形结合的思想包括“以形助数”或“以数辅形”两个方面,本题属于“以形助数”,是指把某些抽象的问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,解释数学问题的本质.
(2)利用函数图象也可以确定不等式解的情况,解题时可对方程或不等式适当变形,选择合适的函数进行作图.
方法与技巧
1.列表描点法是作函数图象的辅助手段,要作函数图象首先要明确函数图象的位置和形状:
(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等等;
(2)可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等;
(3)可通过方程的同解变形,如作函数y=
的图象.
2.合理处理识图题与用图题
(1)识图
对于给定函数的图象,要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性,注意图象与函数解析式中参数的关系.
(2)用图
函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径
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