三角函数图像教案.docx
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三角函数图像教案
适用学科
高中数学
适用年级
高一
适用区域
苏教版区域
课时时长(分钟)
2课时
知识点
正弦、余弦、正切函数的图象及性质
教学目标
1.能画出的图象,了解三角函数的周期性.
2.理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与轴的交点等).[来
3.理解正切函数在区间上的单调性.
教学重点
1.能画出的图象.
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的性质的理解与应用.
教学难点
正弦函数、余弦函数、正切函数的性质的理解与应用.
【知识导图】
一、导入
本节课复习正弦、余弦、正切函数的图象及性质.
二、知识讲解
函数
图像
定义域
值域
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
增:
减:
增:
减:
增
无减区间
对称
中心
对称轴
无
考点2如何求三角函数的值域
1.将化为来求;
2.型可换元转化为二次函数;
3.与同时存在时可换元转化;
4.(或)型,可用分离常数法或由来解决.
类型一求三角函数的定义域和最值
(1)函数y=2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )
(2)函数y=的定义域为______________________.
【规范解答】
(1)利用三角函数的性质先求出函数的最值.
∵0≤x≤9,∴-≤x-≤,
∴sin∈.
∴y∈,∴ymax+ymin=2-.
(2)要使函数有意义,必须有,
即
故函数的定义域为{x|x≠+kπ且x≠+kπ,k∈Z}.
【总结与反思】
(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图像来求解.
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目:
①形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求最值(值域);
②形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数,可先设sinx=t,化为关于t的二次函数求值域(最值);
③形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数,可先设t=sinx±cosx,化为关于t的二次函数求值域(最值).
类型二三角函数的单调性、周期性
写出下列函数的单调区间及周期:
(1)y=sin;
(2)y=|tanx|.
【规范解答】
(1)y=-sin,
它的增区间是y=sin的减区间,
它的减区间是y=sin的增区间.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
由2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.
故所给函数的减区间为,k∈Z;
增区间为,k∈Z.
最小正周期T==π.
(2)观察图像可知,y=|tanx|的增区间是,k∈Z,减区间是,k∈Z.
最小正周期T=π.
【总结与反思】
(1)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中,ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.
(2)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”.
(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时,通常要画出图像,结合图像判定.
类型三三角函数的奇偶性和对称性
(1)已知f(x)=sinx+cosx(x∈R),函数y=f(x+φ)的图像关于直线x=0对称,则φ的值为________.
(2)如果函数y=3cos(2x+φ)的图像关于点中心对称,那么|φ|的最小值为( )
【规范解答】
(1)f(x)=2sin,
y=f(x+φ)=2sin图像关于x=0对称,
即f(x+φ)为偶函数.
∴+φ=+kπ,k∈Z,φ=kπ+,k∈Z,
又∵|φ|≤,∴φ=.
(2)由题意得3cos=3cos
=3cos=0,∴+φ=kπ+,k∈Z,
∴φ=kπ-,k∈Z,取k=0,得|φ|的最小值为.
【总结与反思】
若f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则当x=0时,f(x)取得最大值或最小值.
若f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则当x=0时,f(x)=0.
如果求f(x)的对称轴,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求x.
如果求f(x)的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)即可.
类型四三角函数的单调性、对称性
(1)已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+)在(,π)上单调递减,则ω的取值范围是( )
(2)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)+b对任意实数x有f(x+)=f(-x)成立,且f()=1,则实数b的值为.
【规范解答】
(1)由 由题意知(ω+,πω+)⊆[,], ∴,∴≤ω≤,故选A. (2)由f(x+)=f(-x)可知函数f(x)=2cos(ωx+φ)+b关于直线x=对称,又函数f(x)在对称轴处取得最值,故±2+b=1,∴b=-1或b=3. 【总结与反思】 (1)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题,首先,明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集;其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的关系可求解. (2)函数y=Asin(ωx+φ)+b的图像与其对称轴的交点是最值点. 四、课堂运用 1.函数y=cos(-2x)的单调减区间为________. 2.函数y=sinx的定义域为[a,b],值域为[-1,],则b-a的最大值为________. 3.已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),y=f(x)的部分图像如图,则f()=________. 答案与解析 1.【答案】同解析 【解析】由y=cos(-2x)=cos(2x-)得 2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z), 故kπ+≤x≤kπ+(k∈Z). 所以函数的单调减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z). 2.【答案】同解析 【解析】由正弦函数的图像知(b-a)max=-=. 3.【答案】同解析 【解析】由题中图像可知,此正切函数的半周期等于-=,即最小正周期为, 所以ω=2.由题意可知,图像过定点(,0), 所以0=Atan(2×+φ),即+φ=kπ(k∈Z), 所以φ=kπ-(k∈Z), 又|φ|<,所以φ=. 又图像过定点(0,1),所以A=1. 综上可知,f(x)=tan(2x+), 故有f()=tan(2×+)=tan=. 1.设函数f(x)=sin(-π<φ<0),y=f(x)图像的一条对称轴是直线x=. (1)求φ; (2)求函数y=f(x)的单调增区间. 2.设函数f(x)=sin(-)-2cos2+1. (1)求f(x)的最小正周期. (2)若函数y=g(x)与y=f(x)的图像关于直线x=1对称,求当x∈[0,]时,y=g(x)的最大值. 答案与解析 1.【答案】同解析 【解析】 (1)令2×+φ=kπ+,k∈Z,∴φ=kπ+,k∈Z, 又-π<φ<0,则φ=-. (2)由 (1)得: f(x)=sin, 令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z, 可解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 因此y=f(x)的单调增区间为,k∈Z. 2.【答案】同解析 【解析】 (1)f(x)=sincos-cossin-cos =sin-cos =sin(-), 故f(x)的最小正周期为T==8. (2)方法一 在y=g(x)的图像上任取一点(x,g(x)), 它关于x=1的对称点(2-x,g(x)). 由题设条件,知点(2-x,g(x))在y=f(x)的图像上, 从而g(x)=f(2-x)=sin[(2-x)-] =sin[--] =cos(+). 当0≤x≤时,≤+≤, 因此y=g(x)在区间[0,]上的最大值为 g(x)max=cos=. 方法二 区间[0,]关于x=1的对称区间为[,2], 且y=g(x)与y=f(x)的图像关于直线x=1对称, 故y=g(x)在[0,]上的最大值为 y=f(x)在[,2]上的最大值. 由 (1)知f(x)=sin(-), 当≤x≤2时,-≤-≤. 因此y=g(x)在[0,]上的最大值为 g(x)max=sin=. 1.设. (1)求的定义域; (2)求的值域及取最大值时x的值. 2.已知函数. (1)求的值; (2)试写出一个函数,使得,并求的单调区间. 答案与解析 1.【答案】同解析 【解析】 (1)由1-2sinx≥0,根据正弦函数图像知: 定义域为. (2)因为-1≤sinx≤1,所以-1≤1-2sinx≤3, 因为1-2sinx≥0,所以0≤1-2sinx≤3, 所以f(x)的值域为[0,],当x=2kπ+,k∈Z时,f(x)取得最大值. 2.【答案】同解析 【解析】 (1)因为f(x)=sin,所以f=sin=sin=. (2)g(x)=cosx-sinx.理由如下: 因为g(x)f(x)=(cosx-sinx)(sinx+cosx)=cos2x-sin2x=cos2x, 所以g(x)=cosx-sinx符合要求. 又g(x)=cosx-sinx=cos, 由2kπ+π 所以g(x)的单调递增区间为,k∈Z. 课程小结 1.正弦函数的图象及性质. 2.余弦函数的图象及性质. 3.正切函数的图象及性质. 六、课后作业 1.函数y=的定义域是. 2.设函数f(x)=3sin(x+),若存在这样的实数x1,x2,对任意的x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则|x1-x2|的最小值为________. 3.已知函数f(x)=cosxsinx(x∈R),给出下列四个命题: ①若f(x1)=-f(x2),则x1=-x2; ②f(x)的最小正周期是2π; ③f(x)在区间[-,]上是增函数; ④f(x)的图像关于直线x=对称. 其中真命题是________. 答案与解析 1.【答案】[kπ,kπ+](k∈Z) 【解析】|sinx+cosx|-1≥0⇒(sinx+cosx)2≥1 ⇒sin2x≥0,∴2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z, 故原函数的定义域是[kπ,kπ+](k∈Z). 2.【答案】2 【解析】f(x)=3sin(x+)的周期T=2π×=4, f(x1),f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值, 故|x1-x2|的最小值为=2. 3.【答案】③④ 【解析】 f(x)=sin2x,当x1=0,x2=时, f(x1)=-f(x2),但x1≠-x2,故①是假命题; f(x)的最小正周期为π,故②是假命题; 当x∈[-,]时,2x∈[-,],故③是真命题; 因为f()=sinπ=-, 故f(x)的图像关于直线x=π对称,故④是真命题. 1.已知函数f(x)=sin2x-cos2x+1. (1)当x∈[,]时,求f(x)的最大值和最小值; (2)求f(x)的单调区间. 2.已知a>0,函数f(x)=-2asin+2a+b,当x∈时,-5≤f(x)≤1. (1)求常数a,b的值; (2)设g(x)=f且lgg(x)>0,求g(x)的单调区间. 答案与解析 1.【答案】同解析 【解析】 (1)f
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