易错锦囊专题04三角函数易错点典例分析点评巩固Word下载.docx
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三角函数值在各象限内的符号口诀:
一全正、二正弦、三正切、四余弦.
1.在平面直角坐标系中,角以轴非负半轴为始边,终边在射线上,则的值是
A.2B.−2
C.D.
【答案】A
【解析】由题意,在平面直角坐标系中,角以轴非负半轴为始边,终边在射线上,
设终边上的点,根据三角函数的定义可得,故选A.
【名师点睛】本题主要考查了三角函数的定义,其中解答中熟记三角函数的定义是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
易错点2利用同角三角函数基本关系式时忽略参数取值
已知cosθ=t,求sinθ、tanθ的值.
【错解】①当0<
t<
1时,θ为第一或第四象限角.
θ为第一象限角时,sinθ==,tanθ==;
θ为第四象限角时,sinθ=-=-,tanθ==-.
②当-1<
0时,θ为第二或第三象限角.
θ为第二象限角时,sinθ==,tanθ==;
θ为第三象限角时,sinθ=-=-,tanθ==-.
综上,,.
【错因分析】上述解法注意到了θ的余弦值含有参数t,根据余弦函数的取值范围对t进行分类讨论,但上述讨论不全面,漏掉了很多情况,如t=-1,t=0,t=1.
【试题解析】①当t=-1时,sinθ=0,tanθ=0;
若θ为第二象限角,则sinθ=,tanθ=;
若θ为第三象限角,则sinθ=-,tanθ=.
③当t=0时,sinθ=1,tanθ不存在或sinθ=-1,tanθ不存在.
④当0<
若θ为第一象限角,则sinθ=,tanθ=;
若θ为第四象限角,则sinθ=-,tanθ=-.
⑤当t=1时,sinθ=0,tanθ=0.
综上得:
【参考答案】见试题解析.
1.①利用可以实现角的正弦、余弦的互化;
②利用可以实现角的弦切互化.
2.同角三角函数基本关系式的变形
(1)平方关系的变形:
;
(2)商的关系的变形:
(3).
3.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.
2.已知,,则
A.B.
C.D.
【解析】,,
,,,,
又,,
故选A.
【名师点睛】本题考查三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的应用,易错点是忽略角所处的范围,造成符号错误.
易错点3不能准确运用诱导公式进行化简求值
若sinθ=,求的值.
A.B.
C.D.
【错解】选A.
原式=+=-+=0.
【错因分析】错解中混淆了诱导公式sin(-θ)=-cosθ,sin(+θ)=-cosθ,cos(π-θ)=-cosθ,cos(π+θ)=-cosθ.
【试题解析】原式=+=+=,
因为sinθ=,所以所求三角函数式的值为.
【参考答案】C
1.应用诱导公式,重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断.求任意角的三角函数值的问题,都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题,具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值.
2.使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号,特别是在具体题目中出现类似的形式时,需要对k的取值进行分类讨论,从而确定出三角函数值的正负.
3.利用诱导公式化简三角函数式的思路:
(1)分析结构特点,选择恰当公式;
(2)利用公式化成单角三角函数;
(3)整理得最简形式.
利用诱导公式化简三角函数式的要求:
(1)化简过程是恒等变形;
(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.
4.巧用相关角的关系能简化解题的过程.
常见的互余关系有与,与,与等;
常见的互补关系有与,与等.
3.若角的终边经过点,则
A.B.
【答案】C
【解析】由诱导公式可得,
又角的终边经过点,
所以,
所以.故选C.
要作出正确选择,需认真选择诱导公式,不能错用公式.
对于nπ+α,若n是偶数,则角nπ+α的三角函数值等于角α的同名三角函数值;
若n为奇数,则角nπ+α的三角函数值等于角π+α的同名三角函数值.
易错点4不能正确理解三角函数图象变换规律
为得到函数y=cos(2x+)的图象,只需将函数y=sin2x的图象
A.向左平移个长度单位B.向右平移个长度单位
C.向左平移个长度单位D.向右平移个长度单位
【错解】选B.
y=cos(2x+)=sin(2x++)=sin2(x+),因此向右平移个长度单位,故选B.
【错因分析】没有注意到变换方向导致了错解,目标是y=cos(2x+)的图象.
【试题解析】y=cos(2x+)=sin(2x++)=sin(2x+)=sin2(x+),因此将函数y=sin2x的图象向左平移个长度单位即可.故选A.
【参考答案】A
函数图象的平移变换解题策略
(1)对函数y=sinx,y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的图象,无论是先平移再伸缩,还是先伸缩再平移,只要平移|φ|个单位,都是相应的解析式中的x变为x±
|φ|,而不是ωx变为ωx±
|φ|.
(2)注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应用诱导公式化为同名函数再平移.
4.函数(其中,)的部分图象如图所示,将函数的图象向左平移个单位长度,得到的图象,则下列说法正确的是
A.函数为奇函数
B.函数为偶函数
C.函数的图象的对称轴为直线
D.函数的单调递增区间为
【答案】D
【解析】由函数(其中,)的部分图象.
可知,
由,得,
代入点得,
解得,取,得
可得,
将函数的图象向左平移个单位长度,
得的图象,
由函数解析式可以验证只有的单调递增区间为正确.
故选D.
【名师点睛】根据y=Asin(ωx+φ)+k的图象求其解析式的问题,主要从以下四个方面来考虑:
①A的确定:
根据图象的最高点和最低点,即;
②k的确定:
③ω的确定:
结合图象,先求出周期T,然后由(ω>
0)来确定ω;
④φ的确定:
由函数y=Asin(ωx+φ)+k最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为(即令ωx+φ=0,x=)确定φ.
易错点5注意符号对三角函数性质的影响
已知函数.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若x∈[-π,π],求f(x)的最大值和最小值.
【错解】
(1)由-π≤-≤0得,≤x≤,
∴f(x)的单调递增区间为.
(2)∵-1≤cos≤1,
∴[f(x)]max=2,[f(x)]min=-2.
【错因分析】
(1)忽略了函数f(x)的周期性;
(2)忽略了x∈[-π,π]对函数f(x)的最值的影响.
【试题解析】
(1)∵f(x)=2cos=2cos.
由2kπ-π≤-≤2kπ得,4kπ-≤x≤4kπ+(k∈Z).
故f(x)的单调增区间为[4kπ-,4kπ+](k∈Z).
(2)由-π≤x≤π⇒-≤-≤.
当-=0,即x=时,f(x)max=2,
当-=-,即x=-π时,f(x)min=-.
【参考答案】
(1)函数的单调递增区间为[4kπ-,4kπ+](k∈Z);
(2)f(x)max=2,f(x)min=-.
1.三角函数定义域的求法
求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解.
2.求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目及求解方法
(1)形如y=asinx+bcosx+k的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求值域(最值);
(2)形如y=asin2x+bsinx+k的三角函数,可先设sinx=t,化为关于t的二次函数求值域(最值);
(3)形如y=asinxcosx+b(sinx±
cosx)+c的三角函数,可先设t=sinx±
cosx,化为关于t的二次函数求值域(最值).
3.三角函数单调性问题的常见类型及解题策略
(1)已知三角函数解析式求单调区间:
①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”;
②求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中,ω>
0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω<
0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错.
(2)已知三角函数的单调区间求参数:
先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解.
(3)利用三角函数的单调性求值域(或最值):
形如y=Asin(ωx+φ)+b或可化为y=Asin(ωx+φ)+b的三角函数的值域(或最值)问题常利用三角函数的单调性解决.
4.三角函数的奇偶性、周期性、对称性的处理方法
(1)求三角函数的最小正周期,一般先通过恒等变形化为y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ),y=Atan(ωx+φ)的形式,再分别应用公式T=,T=,T=求解.
(2)对于函数y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否为函数的对称轴或对称中心时,可通过检验
f(x0)的值进行判断.
(3)若f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则φ=kπ+(kZ),同时当x=0时,f(x)取得最大或最小值.若f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则φ=kπ(k∈Z),同时当x=0时,f(x)=0.
5.对函数的表述错误的是
A.最小正周期为
B.函数向左平移个单位可得到
C.在区间上递增
D.点是的一个对称中心
【解析】因为,
所以最小正周期为,
向左平移个单位可得到,
因为,所以,即单调递增,
因为时,,所以点不是的对称中心,
综上,选D.
【名师点睛】本题考查二倍角公式、辅助角公式以及正弦函数性质,考查基本分析求解能力,属基础题.
易错点6三角恒等变换中忽略角的范围致误
已知α、β为三角形的两个内角,cosα=,sin(α+β)=,则β=
A.B.
C.D.
∵0<
α<
π,cosα=,∴sinα=.
又∵sin(α+β)=,∴cos(α+β)=-
∴sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=.
又∵0<
β<
π,∴β=.
(1)不能根据题设条件缩小α、β及α+β的取值范围,在由同角基本关系式求sin(α+
β)时不能正确判断符号,产生两角.
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