高中数学人教A版选修23教师用书第2章+阶段复习课+第2课 随机变量及其分布Word文件下载.docx
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4.二项分布满足的条件
(1)每次试验中,事件发生的概率是相同的.
(2)各次试验中的事件是相互独立的.
(3)每次试验只有两种结果:
事件要么发生,要么不发生.
(4)随机变量是这n次独立重复试验中某事件发生的次数.
5.超几何分布与二项分布的概率计算
(1)超几何分布:
P(X=k)=(其中k为非负整数).
(2)二项分布:
P(X=k)=Cpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n).
6.期望与方差及性质
(1)E(X)=X1·
P1+X2·
P2+…+XnPn.
(2)D(X)=(X1-E(X))2·
P1+(X2-E(X))2·
P2+…+(xn-E(X))2·
Pn.
(3)若η=aξ+b(a,b是常数),ξ是随机变量,则η也是随机变量,E(η)=E(aξ+b)=aE(ξ)+b.
(4)D(aξ+b)=a2D(ξ).
(5)D(ξ)=E(ξ2)-(E(ξ))2.
7.正态变量在三个特殊区间内取值的概率
(1)P(μ-σ<X≤μ+σ)≈68.27%.
(2)P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈95.45%.
(3)P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈99.73%.
[体系构建]
[题型探究]
条件概率
条件概率是学习相互独立事件的前提和基础,计算条件概率时,必须搞清欲求的条件概率是在什么条件下发生的概率.
求条件概率的主要方法有:
(1)利用条件概率公式P(B|A)=;
(2)针对古典概型,可通过缩减基本事件总数求解.
在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题,求:
(1)第1次抽到理科题的概率;
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率;
(3)在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率.
【导学号:
95032213】
[解] 设“第1次抽到理科题”为事件A,“第2次抽到理科题”为事件B,则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB.
(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为
n(Ω)=A=20.
根据分步乘法计数原理,n(A)=A×
A=12.
于是P(A)===.
(2)因为n(AB)=A=6,
所以P(AB)===.
(3)法一(定义法):
由
(1)
(2)可得,在第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率
P(B|A)===.
法二(直接法):
因为n(AB)=6,n(A)=12,
所以P(B|A)===.
[规律方法] 条件概率的两个求解策略
(1)定义法:
计算P(A),P(B),P(AB),利用P(A|B)=求解.
(2)缩小样本空间法(直接法):
利用P(B|A)=求解.其中
(2)常用于古典概型的概率计算问题.
[跟踪训练]
1.抛掷5枚硬币,在已知至少出现了2枚正面朝上的情况下,问:
正面朝上数恰好是3枚的条件概率是多少?
[解] 法一(直接法):
记至少出现2枚正面朝上为事件A,恰好出现3枚正面朝上为事件B,所求概率为P(B|A),事件A包含的基本事件的个数为n(A)=C+C+C+C=26,
事件B包含的基本事件的个数为n(B)=C=10,P(B|A)====.
法二(定义法):
事件A,B同上,则
P(A)==,
P(AB)=P(B)==,
相互独立事件的概率与二项分布
求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查,解答此类问题时应分清事件间的内部联系,在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件,并运用相应公式求解.
特别注意以下两公式的使用前提:
(1)若A,B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B),反之不成立.
(2)若A,B相互独立,则P(AB)=P(A)P(B),反之成立.
一个暗箱里放着6个黑球、4个白球.
(1)依次取出3个球,不放回,若第1次取出的是白球,求第3次取到黑球的概率.
(2)有放回地依次取出3个球,若第1次取出的是白球,求第3次取到黑球的概率.
(3)有放回地依次取出3个球,求取到白球个数ξ的分布列和期望.
95032214】
[解] 设事件A为“第1次取出的是白球,第3次取到黑球”,B为“第2次取到白球”,C为“第3次取到白球”,
(1)P(A)==.
(2)因为每次取出之前暗箱的情况没有变化,所以每次取球互不影响,
所以P()==.
(3)设事件D为“取一次球,取到白球”,则P(D)=,P()=,这3次取出球互不影响,
则ξ~B,
所以P(ξ=k)=C(k=0,1,2,3).E(ξ)=3×
=.
提醒:
有放回地依次取出3个球,相当于独立重复事件,即ξ~B,则可根据独立重复事件的定义求解.
[规律方法] 求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题
(1)“P(AB)=P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件,也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具.
(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题,务必分清事件间的相互关系.
(3)公式“P(A+B)=1-P()”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率.
2.红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A,B,C进行围棋比赛,甲对A、乙对B、丙对C各一盘.已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立.
(1)求红队至少两名队员获胜的概率;
(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数,求P(ξ≤1).
[解]
(1)设“甲胜A”为事件D,“乙胜B”为事件E,“丙胜C”为事件F,则,,分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件.因为P(D)=0.6,P(E)=0.5,P(F)=0.5,由对立事件的概率公式,知P()=0.4,P()=0.5,P()=0.5.
红队至少两人获胜的事件有DE,DF,EF,DEF.
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立,因此红队至少两人获胜的概率为P=P(DE)+P(DF)+P(EF)+P(DEF)=
0.6×
0.5×
0.5+0.6×
0.5+0.4×
0.5=0.55.
(2)由题意,知ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ=0)=P()=0.4×
0.5=0.1,
P(ξ=1)=P(F)+P(E)+P(D)=0.4×
0.5=0.35,
所以P(ξ≤1)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=0.45.
离散型随机变量的分布列、均值和方差
1.含义:
均值和方差分别反映了随机变量取值的平均水平及其稳定性.
2.应用范围:
均值和方差在实际优化问题中应用非常广泛,如同等资本下比较收益的高低、相同条件下比较质量的优劣、性能的好坏等.
3.求解思路:
应用时,先要将实际问题数学化,然后求出随机变量的概率分布列.对于一般类型的随机变量,应先求其分布列,再代入公式计算,此时解题的关键是概率的计算.计算概率时要结合事件的特点,灵活地结合排列组合、古典概型、独立重复试验概率、互斥事件和相互独立事件的概率等知识求解.若离散型随机变量服从特殊分布(如两点分布、二项分布等),则可直接代入公式计算其数学期望与方差.
一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀,且各面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字)
(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和,求η的分布列.
(2)若连续投掷10次,设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数,求E(ξ),D(ξ).
[解]
(1)由已知,随机变量η的取值为:
2,3,4,5,6.设掷一次正方体骰子所得点数为η0,则η0的分布列为:
P(η0=1)=,P(η0=2)=,
P(η0=3)=,
所以η的分布列为:
P(η=2)=×
=,
P(η=3)=2×
×
P(η=4)=2×
+×
P(η=5)=2×
P(η=6)=×
(2)由已知,满足条件的一次投掷的点数和取值为6,设其发生的概率为p,由
(1)知,p=,
因为随机变量ξ~B,
所以E(ξ)=np=10×
D(ξ)=np(1-p)=10×
[规律方法] 求离散型随机变量的期望与方差的步骤
3.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;
乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.
[解]
(1)由已知,有P(A)==.
所以,事件A发生的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
P(X=k)=(k=1,2,3,4).
所以,随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P
随机变量X的数学期望E(X)=1×
+2×
+3×
+4×
正态分布的概率
对于正态分布问题,课标要求不是很高,只要求了解正态分布中最基础的知识,主要是:
(1)掌握正态分布曲线函数关系式;
(2)理解正态分布曲线的性质;
(3)记住正态分布在三个区间内取值的概率,运用对称性结合图象求相应的概率.
正态分布下两类常见的概率计算
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ对称,曲线与x轴之间的面积为1.
(2)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ、σ进行对比联系,确定它们属于(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)中的哪一个.
设X~N(10,1).
(1)证明:
P(1<X<2)=P(18<X<19).
(2)设P(X≤2)=a,求P(10<X<18).
95032215】
[解]
(1)证明:
因为X~N(10,1),所以,正态曲线φμ,σ(x)关于直线x=10对称,而区间(1,2)和(18,19)关于直线x=10对称,
所以φμ,σ(x)dx=φμ,σ(x)dx
即P(1<X<2)=P(18<X<19).
(2)因为P(X≤2)+P(2<X≤10)+P(10<X<18)+P(X≥18)=1,
P(X≤2)=P(X≥18)=a,
P(2<X≤10)=P(10<X<18),
所以,2a+2P(10<X<18)=1,
即P(10<X<18)==-a.
母题探究:
(改变结论)在题设条件不变的情况下,求P(8<X<12).
[解] 由X~N(10,1)可知,μ=10,σ2=1,
又P(8<X<12)=P(10-2<X<10+2)=0.9545.
[规律方法] 正态分布的概率求法
(1)注意“3σ”原则,记住正态总体在三个区间内取值的概率.
(2)注意数形结合.由于正态分布密度曲线具有完美的对称性,体现了数形结合的重要思想,因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问
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