高中数学专题 简单曲线的极坐标方程 学案文档格式.docx
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(1)曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解;
(2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.
2.曲线的极坐标方程
一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ,θ)=0,并且坐标适合方程f(ρ,θ)=0的点都在曲线C上,那么方程f(ρ,θ)=0叫做曲线C的极坐标方程.
3.常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点,半径为r的圆
ρ=r(0≤θ<
2π)
圆心为(r,0),半径为r的圆
ρ=2rcos__θ
圆心为,半径为r的圆
ρ=2rsin__θ
(0≤θ<
π)
过极点,倾斜角为α的直线
θ=α或θ=α+π
过点(a,0),与极轴垂直的直线
ρcos__θ=a
过点,与极轴平行的直线
ρsin__θ=a
(0<
θ<
要点一 圆的极坐标方程
例1 求圆心在C处并且过极点的圆的极坐标方程,并判断点是否在这个圆上.
解 如图,由题意知,圆经过极点O,OA为其一条直径,设
M(ρ,θ)为圆上除点O,A以外的任意一点,则|OA|=2r,连接AM,则OM⊥MA.在Rt△OAM中,|OM|=|OA|cos∠AOM,即ρ=2rcos,∴ρ=-4sinθ,经验证,点O(0,0),A的坐标满足上式.∴满足条件的圆的极坐标方程为ρ=-4sinθ.
∵sin=,∴ρ=-4sinθ=-4sin=-2,
∴点在此圆上.
规律方法 1.求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤:
(1)建立适当的极坐标系(本题无需建);
(2)在曲线上任取一点M(ρ,θ);
(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式;
(4)用极坐标(ρ,θ)表示上述等式,并化简得曲线的极坐标方程;
(5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程.(一般只要对特殊点加以检验即可).
2.求曲线的极坐标方程,关键是找出曲线上的点满足的几何条件,并进行坐标表示.
跟踪演练1 曲线C的直角坐标方程为x2+y2+2x=0,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为________.
解析 直角坐标方程x2+y2-2x=0可化为x2+y2=2x,将ρ2=x2+y2,x=ρcosθ代入整理得ρ=2cosθ.
答案 ρ=2cosθ
要点二 射线或直线的极坐标方程
例2 如图,在极坐标系中,直线l过M且该直线与极轴的正方向成,求此直线l的极坐标方程.
解 法一 设直线上任意一点为P(ρ,θ),在△OMP中∠OMP=+=π,∠MPO=θ-.根据正弦定理得=,
即ρsin=.
法二 设直线上任意一点为P(ρ,θ),点M的直角坐标为(0,3),直线MP的倾斜角为,∴直线l为y=x+3,化直角坐标方程为极坐标方程为ρsinθ=ρcosθ+3,∴ρsin=.
规律方法 法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式,从而集中条件建立了以ρ,θ为未知数的方程;
法二先求出直线的直角坐标方程,然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解,过渡自然,视角新颖,不仅优化了思维方式,而且简化了解题过程.
跟踪演练2 求以A(1,0)为端点,倾斜角为且在极轴上方的射线的极坐标方程.
解 由题意,设M(ρ,θ)为射线上任意一点,根据例题可知,ρsin=,化简得ρ(cosθ-sinθ)=1.
经检验点A(1,0)的坐标适合上述方程.
因此,以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为ρ(cosθ-sinθ)=1.
要点三 极坐标方程与直角坐标方程的互化
例3 若曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ+4cosθ,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)若直线ρsin=0与曲线C相交于A、B,求|AB|.
解
(1)因为所以ρ2=x2+y2,由ρ=2sinθ+4cosθ,得ρ2=2ρsinθ+4ρcosθ,
∴x2+y2-4x-2y=0,即(x-2)2+(y-1)2=5.
(2)由ρsin=0,得ρ=0,
即ρsinθ-ρcosθ=0,∴x-y=0.
由于圆(x-2)2+(y-1)2=5的半径为r=,圆心(2,1)到直线x-y=0的距离为d==,∴|AB|=2=3.
规律方法 1.直角坐标方程化为极坐标方程,只需把公式x=ρcosθ及y=
ρsinθ直接代入并化简即可;
而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形,构造形如ρcosθ,ρsinθ,ρ2的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须保持同解,因此应注意对变形过程的检验.2.对方程进行合理变形,并注重公式的正向、逆向与变形使用.
跟踪演练3
(1)将x2-y2=a2化为极坐标方程;
(2)将ρ=2asinθ化为直角坐标方程.
(3)将θ=化为直角坐标方程.
解
(1)直接代入互化公式,ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=a2,∴ρ2cos2θ=a2,这就是所求的极坐标方程.
(2)两边同乘以ρ得ρ2=2a·
ρsinθ.∴x2+y2=2ay,这就是要求的直角坐标方程.
(3)tanθ=,∴tan==,化简得y=x(x≥0).
要点四 极坐标方程的应用
例4 从极点O作直线与另一直线l:
ρcosθ=4相交于点M,在OM上取一点P,使|OM|·
|OP|=12.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设R为l上的任意一点,试求|RP|的最小值.
解
(1)设动点P的极坐标为(ρ,θ),M的极坐标为(ρ0,θ),则ρρ0=12.
∵ρ0cosθ=4,∴ρ=3cosθ即为所求的轨迹方程.
(2)将ρ=3cosθ化为直角坐标方程,得x2+y2=3x,即+y2=,
知P的轨迹是以为圆心,半径为的圆.直经l的直角坐标方程是x=4.
结合图形易得|RP|的最小值为1.
规律方法 1.用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法.当然,因为建系的不同,曲线的极坐标方程也会不同.2.解题时关键是极坐标要选取适当,这样可以简化运算过程,转化为直角坐标时也容易一些.
跟踪演练4 在直角坐标系xOy中,直线C1:
x=-2,圆C2:
(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1,C2的极坐标方程;
(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.
解
(1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的极坐标方程为ρcosθ=-2,C2的极坐标方程为:
ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.
(2)将θ=代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,
得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.故ρ1-ρ2=,即|MN|=.因为C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.
1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别
由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(ρ,θ),(ρ,2π+θ),(-ρ,π+θ),(-ρ,-π+θ)都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同,所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程ρ=θ,点M可以表示为或或等多种形式,其中,只有的极坐标满足方程ρ=θ.
2.求曲线的极坐标方程,就是在曲线上任找一点M(ρ,θ),探求ρ,θ的关系,经常需利用三角形知识和正弦、余弦定理来求解.
1.极坐标方程分别为ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是( )
A.3B.
C.1D.
解析 极坐标方程化直角坐标方程为x2+y2=x和x2+y2=y,它们的圆心分别是,,圆心距是.
答案 D
2.4ρsin2=5表示的曲线是( )
A.圆B.椭圆
C.双曲线的一支D.抛物线
解析 4ρsin2=5⇒4ρ=5⇒2ρ=2ρcosθ+5.
∵ρ=,ρcosθ=x,代入上式得2=2x+5,两边平方整理得y2=5x+,∴它表示的曲线为抛物线.
3.已知直线l的极坐标方程为2ρsin=,点A的极坐标为A,则点A到直线l的距离为________.
解析 由2ρsin=得y-x=1.∴x-y+1=0.
而点A对应直角坐标为A(2,-2),则点A(2,-2)到直线x-y+1=0的距离为=.
答案
4.设P,直线l经过P点且与极轴所成的角为,求直线l的极坐标方程.
解 如图,设M(ρ,θ)为直线l上除P点外的任意一点,连接OM、OP,直线l交Ox于点A,则有|OM|=ρ,|OP|=2,∠xAM=,∠AOP=,故∠OPM=,∠MOP=θ-,所以有|OM|cos∠MOP=|OP|,即ρcos=2,显然P点也在这条直线上.∴直线l的极坐标方程为ρcos=2.
一、基础达标
1.圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为( )
A.ρ=1B.ρ=cosθ
C.ρ=2cosθD.ρ=2sinθ
解析 圆的直角坐标方程是(x-1)2+y2=1,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入上式,整理得,ρ=2cosθ,即为此圆的极坐标方程.
答案 C
2.在极坐标系中,圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A.θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=2B.θ=(ρ∈R)和ρcosθ=2
C.θ=(ρ∈R)和ρcosθ=1D.θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=1
解析 由ρ=2cosθ,得ρ2=2ρcosθ,化为直角坐标方程为x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1,其垂直于极轴的两条切线方程为x=0和x=2,相应的极坐标方程为θ=(ρ∈R)和ρcosθ=2.
答案 B
3.极坐标方程ρ·
sinθ=2sin2θ表示的曲线为( )
A.两条直线B.一条射线和一个圆
C.一条直线和一个圆D.圆
解析 由ρ·
sinθ=2sin2θ,得ρsinθ=4sinθcosθ,即sinθ(ρ-4cosθ)=0,∴sinθ=0或ρ-4cosθ=0.∴极坐标方程ρ·
sinθ=2sin2θ表示的曲线为直线sinθ=0和圆ρ=4cosθ.
4.在极坐标系中,设圆C:
ρ=4cosθ与直线l:
θ=(ρ∈R)交于A,B两点,则以AB为直径的圆的极坐标方程为( )
A.ρ=2sinB.ρ=sin
C.ρ=2cosD.ρ=cos
解析 根据题意可得圆C的直角坐标方程为x2+y2=4x,直线l的直角坐标方程为y=x,联立两方程,解方程组可得交点的直角坐标为(0,0),(2,2),所以在直角坐标系中,以AB为直径的圆的圆心为(1,1)、半径为,则方程为x2+y2=2x+2y,所以所求极坐标方程为ρ=2(cosθ+sin
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