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分析:
解绝对值的问题时,往往需要脱去绝对值符号,化成一般的有理数计算。
脱去绝对值的符号时,必须先确定绝对值符号内各个数的正负性,再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。
这道例题运用了数形结合的数学思想,由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号,从而去掉绝对值符号,完成化简。
例2.已知:
,,且,那么
的值(C)
A.是正数 B.是负数 C.是零 D.不能确定符号
由题意,x、y、z在数轴上的位置如图所示:
所以
数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。
这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系,为我们顺利化简铺平了道路。
虽然例题中没有给出数轴,但我们应该有数形结合解决问题的意识。
例3.(分类讨论的思想)已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍,且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧,两点之间的距离为8,求这两个数;
若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢?
从题目中寻找关键的解题信息,“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反,即一正一负。
那么究竟谁是正数谁是负数,我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。
设甲数为x,乙数为y
由题意得:
,
(1)数轴上表示这两数的点位于原点两侧:
若x在原点左侧,y在原点右侧,即x<
0,y>
0,则4y=8,所以y=2,x=-6
若x在原点右侧,y在原点左侧,即x>
0,y<
0,则-4y=8,所以y=-2,x=6
(2)数轴上表示这两数的点位于原点同侧:
若x、y在原点左侧,即x<
0,则-2y=8,所以y=-4,x=-12
若x、y在原点右侧,即x>
0,则2y=8,所以y=4,x=12
例4.(整体的思想)方程的解的个数是(D)
A.1个B.2个C.3个D.无穷多个
这道题我们用整体的思想解决。
将x-2008看成一个整体,问题即转化为求方程的解,利用绝对值的代数意义我们不难得到,负数和零的绝对值等于它的相反数,所以零和任意负数都是方程的解,即本题的答案为D。
例5.(非负性)已知|ab-2|与|a-1|互为相互数,试求下式的值.
利用绝对值的非负性,我们可以得到:
|ab-2|=|a-1|=0,解得:
a=1,b=2
于是
在上述分数连加求和的过程中,我们采用了裂项的方法,巧妙得出了最终的结果.同学们可以再深入思考,
如果题目变成求值,你有办法求解吗?
有兴趣的同学可以在课下继续探究。
例6.(距离问题)观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与,3与5,与,与3.
并回答下列各题:
(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗?
答:
____相等.
(2)若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的数为―1,则A与B两点间的距离
可以表示为.
点B表示的数为―1,所以我们可以在数轴上找到点B所在的位置。
那么点A呢?
因为x可以表示任意有理数,所以点A可以位于数轴上的任意位置。
那么,如何求出A与B两点间的距离呢?
结合数轴,我们发现应分以下三种情况进行讨论。
当x<
-1时,距离为-x-1,当-1<
x<
0时,距离为x+1,当x>
0,距离为x+1
综上,我们得到A与B两点间的距离可以表示为
(3)结合数轴求得的最小值为5,取得最小值时x的取值范围为-3≤x_≤2______.
即x与2的差的绝对值,它可以表示数轴上x与2之间的距离。
即x与-3的差的绝对值,它也可以表示数轴上x与-3之间的距离。
如图,x在数轴上的位置有三种可能:
图1图2图3
图2符合题意
(4)满足的的取值范围为x<
-4或x>
-1
同理表示数轴上x与-1之间的距离,表示数轴上x与-4之间的距离。
本题即求,当x是什么数时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3。
借助数轴,我们可以得到正确答案:
-1。
借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题,反之,有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。
这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。
事实上,表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离。
这是一个很有用的结论,我们正是利用这一结论并结合数轴的知识解决了(3)、(4)这两道难题。
四、小结
1.理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性
2.体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用
第二讲:
代数式的化简求值问题
一、知识链接
1.“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。
它包括整式、分式、二次根式等内容,是初中阶段同学们应该重点掌握的内容之一。
2.用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值,叫做这个代数式的值。
注:
一般来说,代数式的值随着字母的取值的变化而变化
3.求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处,为以后学习方程、函数等知识打下基础。
二、典型例题
例1.若多项式的值与x无关,
求的值.
多项式的值与x无关,即含x的项系数均为零
因为
所以m=4
将m=4代人,
利用“整体思想”求代数式的值
例2.x=-2时,代数式的值为8,求当x=2时,代数式的值。
因为
当x=-2时,得到,
所以
当x=2时,=
例3.当代数式的值为7时,求代数式的值.
观察两个代数式的系数
由得,利用方程同解原理,得
整体代人,
代数式的求值问题是中考中的热点问题,它的运算技巧、解决问题的方法需要我们灵活掌握,整体代人的方法就是其中之一。
例4.已知,求的值.
解法一(整体代人):
由得
所以:
解法二(降次):
方程作为刻画现实世界相等关系的数学模型,还具有降次的功能。
由,得,
解法三(降次、消元):
(消元、、减项)
例5.(实际应用)A和B两家公司都准备向社会招聘人才,两家公司招聘条件基本相同,只有工资待遇有如下差异:
A公司,年薪一万元,每年加工龄工资200元;
B公司,半年薪五千元,每半年加工龄工资50元。
从收入的角度考虑,选择哪家公司有利?
分别列出第一年、第二年、第n年的实际收入(元)
第一年:
A公司10000;
B公司5000+5050=10050
第二年:
A公司10200;
B公司5100+5150=10250
第n年:
A公司10000+200(n-1);
B公司:
[5000+100(n-1)]+[5000+100(n-1)+50]
=10050+200(n-1)
由上可以看出B公司的年收入永远比A公司多50元,如不细心考察很可能选错。
例6.三个数a、b、c的积为负数,和为正数,且,
则的值是_______。
因为abc<
0,所以a、b、c中只有一个是负数,或三个都是负数
又因为a+b+c>
0,所以a、b、c中只有一个是负数。
不妨设a<
0,b>
0,c>
则ab<
0,ac<
0,bc>
所以x=-1+1+1-1-1+1=0将x=0代入要求的代数式,得到结果为1。
同理,当b<
0,c<
0时,x=0。
另:
观察代数式,交换a、b、c的位置,我们发现代数式不改变,这样的代数式成为轮换式,我们不用对a、b、c再讨论。
有兴趣的同学可以在课下查阅资料,看看轮换式有哪些重要的性质。
规律探索问题:
例7.如图,平面内有公共端点的六条射线OA,OB,OC,OD,OE,OF,从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1,2,3,4,5,6,7,….
(1)“17”在射线____上,
“2008”在射线___________上.
(2)若n为正整数,则射线OA上数字的排列规律可以用含n的
代数式表示为__________________________.
OA上排列的数为:
1,7,13,19,…
观察得出,这列数的后一项总比前一项多6,
归纳得到,这列数可以表示为6n-5
因为17=3×
6-1,所以17在射线OE上。
因为2008=334×
6+4=335×
6-2,所以2008在射线OD上
例8.将正奇数按下表排成5列:
第一列第二列第三列第四列第五列
第一行1357
第二行1513119
第三行17192123
第四行31292725
根据上面规律,2007应在
A.125行,3列B.125行,2列C.251行,2列D.251行,5列
观察第二、三、四列的数的排列规律,发现第三列数规律容易寻找
第三列数:
3,11,19,27,规律为8n-5
因为2007=250×
8+7=251×
8-1
所以,2007应该出现在第一列或第五列
又因为第251行的排列规律是奇数行,数是从第二列开始从小到大排列,
所以2007应该在第251行第5列
例9.(2006年嘉兴市)定义一种对正整数n的“F”运算:
①当n为奇数时,结果为3n+5;
②当n为偶数时,结果为(其中k是使为奇数的正整数),并且运算重复进行.例如,取n=26,则:
若n=449,则第449次“F运算”的结果是__________.
问题的难点和解题关键是真正理解“F”的第二种运算,即当n为偶数时,结果为(其中k是使为奇数的正整数),要使所得的商为奇数,这个运算才能结束。
449奇数,经过“F①”变为1352;
1352是偶数,经过“F②”变为169,
169是奇数,经过“F①”变为512,512是偶数,经过“F②”变为1,
1是奇数,经过“F①”变为8,8是偶数,经过“F②”变为1,
我们发现之后的规律了,经过多次运算,它的结果将出现1、8的交替循环。
再看运算的次数是449,奇数次。
因为第四次运算后都是奇数次运算得到8,偶数次运算得到1,
所以,结果是8。
三、小结
用字母代数实现了我们对数认识的又一次飞跃。
希望同学们能体会用字母代替数后思维的扩展,体会一些简单的数学模型。
体会由特殊到一般,再由一般到特殊的重要方法。
第三讲:
与一元一次方程有关的问题
一、知识回顾
一元一次方程是我们认识的第一种方程,使我们学会用代数解法解决一些用算术解法不容易解决的问题。
一元一次方程是初中代数的重要内容,它既是对前面所学知识——有理数部分的巩固和深化,又为以后的一元二次方程、不等式、函数等内容打下坚实的基础。
典型例题:
例1.若关于x的一元一次方程=1的解是x=-1,则k的值是()
A.B.1C.-D.0
本题考查基本概念“方程的解”
因为x=-1是关于x的一元一次方程=1的解,
所以,解得k=-
例2.若方程3x-5=4和方程的解相同
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