第三章多维随机变量及其分布考研试题及答案Word下载.docx
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如图10-5所示
图10-5
.
二、选择题
1.(1990年数学三)设随机变量和相互独立,其概率分布律为
-1
则下列式子正确的是( ).
..
..
【解题分析】乍看似乎答案是,理由是和同分布,但这是错误的,因为,若,说明取什么值时,也一定取相同的值,而这是不可能的,所以只能从剩下的三个答案中选一个,这时只要直接计算即可.
由和相互独立知
所以,正确答案是.
2.(1999年数学三)设随机变量,且满足则等于( ).
.0;
.;
.1.
【解题分析】本题应从所给条件出发,找出随机变量的联合分布.
-1
设随机变量的联合分布为
由
知
从而有 ,
类似地
进一步可知
即
因此有正确答案是.
3.(1999年数学四)假设随机变量服从指数分布,则随机变量的分布函数( ).
.是连续函数;
.至少有两个间断点;
.是阶梯函数;
.恰好有一个间断点.
【解题分析】从公式
出发求解即可.
由题设
令则
于是的分布函数为
可见其仅有一个间断点正确答案是.
4.(2002年数学四)设和是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为和,分布函数分别为和,则
.必为某一随机变量的分布密度;
.必为某一随机变量的分布函数;
.必为某一随机变量的分布密度.
由于若随机变量与相互独立,它们的分布函数分别为与,则的分布函数为,可知必为某一随机变量的分布函数.故选择.
注:
本题与2002年高数一中的选择题类同.本题也可以用赋值法求解.
三、计算与证明题
1.(1994年数学三)假设随机变量相互独立,且同分布,求行列式的概率分布.
【解题分析】由阶行列式表示,仍是一随机变量,且,由于独立同分布,故与也是独立同分布的,因此可先求出和的分布律,再求的分布律.
记,,则.随机变量和独立同分布:
.
.
随机变量有三个可能值-1,0,1.易见
于是
.
2.(2003年数学三)设随机变量与独立,其中的概率分布律为,而的分布密度为,求随机变量的分布密度.
【解题分析】本题是求随机变量函数的分布,这里的两随机变量一个是离散型,一个是连续型,我们仍然从求分布函数出发,根据的不同取值,利用全概率公式来求解.
设为分布函数,则由全概率公式及与的独立性可知,的分布函数为
由此得
3.(2006年数学四)设二维随机变量的概率分布律为
XY
-1
1
a
0.2
0.1
b
c
其中为常数,且的数学期望,
记.求
(1)的值;
(2)的概率分布;
(3)
【解题分析】要求的值,只需要找到三个含有的等式即可,这可以由分布函数的性质及题设中所给的两个条件得到;
求的概率分布,首先要弄清楚的可能取值,由的取值可知,的可能取值为-2,-1,0,1,2,然后再求取值的概率;
要求,只需要转化为求关于的概率,由,既可得出结论.
解:
(1)由概率分布的性质知,,
即.
由,可得.
再由
,
得.
解以上关于的三个方程得.
(2)的可能取值为-2,-1,0,1,2,
即的概率分布律为
-2
2
0.3
(3)=.
4.(1987年数学一)设随机变量相互独立,其概率密度函数分别为
求的概率密度函数.
【解题分析】此类问题,一般有两种解法:
一种是先写出二维随机变量()的联合概率分布密度函数,再计算的概率分布密度函数,另一种是直接利用两独立随机变量和的分布密度计算公式(即卷积公式)求解.
方法1由于随机变量相互独立,所以二维随机变量()的概率分布密度函数为
因此,随机变量的分布函数为
所以,随机变量的分布密度函数为
方法2由于随机变量相互独立,所以,由卷积公式知,随机变量的密度函数为
=
5.(1999年数学四)设二维随机变量()在矩形上服从均匀分布,试求边长为和的矩形面积的概率分布密度函数.
【解题分析】由题设容易得出随机变量()的分布密度,本题相当于求随机变量的函数的分布密度.可先求出其分布函数,再求导得分布密度.在求分布函数时,一定要注意对的取值范围进行讨论.
由于二维随机变量()服从均匀分布,所以,它的概率分布密度函数为
设为的分布函数,则
当时,当时,
现在,设如图10-6所示,曲线与矩形的上边交于点;
图10-6
位于曲线上方的点满足,位于下方的点满足,于是
于是,
6.(2001年数学一)设某班车起点站上车人数服从参数为的泊松分布,每位乘客中途下车的概率为,且中途下车与否相互独立.以表示在中途下车的人数,求:
(1)在发车时有个乘客的条件下,中途有人下车的概率;
(2)二维随机变量的概率分布.
【解题分析】显然,第一问求的是条件概率,发车时有个乘客,中途有人下车的概率,为重伯努利概型,可以依此求解.其次,要求二维随机变量的概率分布,首先确定的取值,然后按乘法公式求解.
(1)设事件{发车时有个乘客},{中途有个人下车},则在发车时有个乘客的条件下,中途有个人下车的概率是一个条件概率,即
根据重伯努利概型,有
其中.
(2)由于而上车人数服从,因此
于是的概率分布律为
7.(2001年数学三)设随机变量和的联合分布在正方形(如图10-7)上服从均匀分布,试求随机变量的概率分布密度函数
图10-7
【解题分析】本题主要考查随机变量函数的分布,可从分布函数出发求解.但是,这里要注意的是随机变量函数带有绝对值.
由条件知和联合密度为
以表示随机变量的分布函数,显然,当时,;
当时,.
设则
于是,随机变量的分布密度为
8.(2002年数学三、四)假设一设备开机后无故障工作的时间服从指数分布,平均无故障工作的时间()为5小时,设备定时开机,出现故障时自动关机,而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间的分布函数
【解题分析】本题主要考查随机变量函数的分布.首先要找到与的关系,然后分情况进行讨论.
设的分布参数为,由于可见.显然,.对于对于
设有=
于是,的分布函数为
求随机变量函数的分布,是概率论中考试的重点,对于求连续型随机变量函数的分布密度,一般从求分布函数出发,结合图形对自变量的取值范围进行讨论,求出分布函数,然后求导即得分布密度.
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