1992全国高考理科数学试题Word格式文档下载.docx
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(C)50°
(D)70°
(5)已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等,则圆柱的全面积与球的表面积的比是()
(A)6:
5
(B)5:
4
(C)4:
3
(D)3:
2
(6)图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图像.已知n取±
2,±
四个值,则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n依次为()
(A)-2,-,,2
(B)2,,-,-2
(C)-,-2,2,
(D)2,,-2,-
(7)若loga2<
logb2<
0,则()
(A)0<
a<
b<
1
(B)0<
(C)a>
b>
(D)b>
a>
(8)直线(t为参数)的倾斜角是()
(A)20°
(B))70°
(C)110°
(D)160°
(9)在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有()
(A)1个
(B)2个
(C)3个
(D)4个
(10)圆心在抛物线y2=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是()
(A)x2+y2-x-2y-=0
(B)x2+y2+x-2y+1=0
(C)x2+y2-x-2y+1=0
(D)x2+y2-x-2y+=0
(11)在(x2+3x+2)5的展开式中x的系数为()
(A)160
(B)240
(C)360
(D)800
(12)若0<
1,在[0,2π]上满足sinx≥a的x的范围是()
(A)[0,arcsina]
(B)[arcsina,π-arcsina]
(C)[π-arcsina,π]
(D)[arcsina,+arcsina]
(13)已知直线l1和l2夹角的平分线为y=x,如果l1的方程是ax+by+c=0(ab>
0),那么l2的方程是()
(A)bx+ay+c=0
(B)ax-by+c=0
(C)bx+ay-c=0
(D)bx-ay+c=0
(14)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M和N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是()
(15)已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为()
(A)1
(D)3
(16)函数y=的反函数()
(A)是奇函数,它在(0,+∞)上是减函数
(B)是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数
(C)是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数
(D)是偶函数,它在(0,+∞)上是增函数
(17)如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么()
(A)f
(2)<
f
(1)<
f(4)
(B)f
(1)<
f
(2)<
(C)f
(2)<
f(4)<
f
(1)
(D)f(4)<
(18)长方体的全面积为11,十二条棱长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为
()
(C)5
(D)6
二、填空题:
本大题共5小题;
每小题3分,共15分.把答案填在题中横线上.
(19)方程的解是_________________
(20)sin15°
sin75°
的值是
(21)设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的子集数为T,则的值为___________________
(22)焦点为F1(-2,0)和F2(6,0),离心率为2的双曲线的方程是__________
(23)已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则的值是____________________
三、解答题:
解答应写出文字说明、演算步骤.
(24)已知z∈C,解方程z-3i=1+3i.
(25)已知,cos(α-β)=,sin(α+β)=.求sin2α的值.
(26)已知:
两条异面直线a、b所成的角为θ,它们的公垂线段AA1的长度为d.在直线a、b上分别取点E、F,设A1E=m,AF=n.求证:
EF=.
(27)设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a3=12,S12>
0,S13<
0.
(Ⅰ)求公差d的取值范围.
(Ⅱ)指出S1,S2,…,S12中哪一个值最大,并说明理由.
(28)已知椭圆(a>
0),A、B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0).证明.
数学(理工农医类)答案
本题考查基本知识和基本运算.
(1)A
(2)D(3)D(4)B(5)D(6)B(7)B(8)C(9)D(10)D(11)B(12)B(13)A(14)D(15)D(16)C(17)A(18)C
(19)x=-1(20)(21)(22)(23)
三、解答题
(24)本小题考查复数相等的条件及解方程的知识.
解:
设z=x+yi(x,y∈R).
将z=x+yi代入原方程,得
(x+yi)(x-yi)-3i(x-yi)=1+3i,
整理得x2+y2-3y-3xi=1+3i.
①
②
根据复数相等的定义,得
由①得x=-1.
将x=-1代入②式解得y=0,y=3.
∴z1=-1,z2=-1+3i.
(25)本小题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力.
由题设知α—β为第一象限的角,
∴sin(α—β)=
由题设知α+β为第三象限的角,
∴cos(α+β)=
∴sin2α=sin[(α-β)+(α+β)]
=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)
=.
(26)本小题考查空间图形的线面关系,空间想象能力和逻辑思维能力.
解法一:
设经过b与a平行的平面为α,经过a和AA1的平面为β,α∩β=c,则c∥a.因而b,c所成的角等于θ,且AA1⊥c.
∵AA1⊥b,∴AA1⊥α.
根据两个平面垂直的判定定理,β⊥α.
在平面β内作EG⊥c,垂足为G,则EG=AA1.并且根据两个平面垂直的性质定理,EG⊥α.连结FG,则EG⊥FG.在Rt△EFG中,EF2=EG2+FG2.
∵AG=m,
∴在△AFG中,
FG2=m2+n2-2mncosθ.
∵EG2=d2,∴EF2=d2+m2+n2-2mncosθ.
如果点F(或E)在点A(或A1)的另一侧,则
EF2=d2+m2+n2+2mncosθ.
因此,EF=
解法二:
经过点A作直线c∥a,则c、b所成的角等于θ,且AA1⊥c.
根据直线和平面垂直的判定定理,AA1垂直于b、c所确定的平面a.
在两平行直线a、c所确定的平面内,作EG⊥c,垂足为G,则EG平行且等于AA1,
从而EG⊥α.
连结FG,则根据直线和平面垂直的定义,EG⊥FG.
在Rt△EFG中,EF2=EG2+FG2.
(以下同解法一)
(27)本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力.
(Ⅰ)解:
依题意,有
即
由a3=12,得
a1=12-2d.③
将③式分别代①、②式,得
∴<
d<
-3
(Ⅱ)解法一:
由d<
0可知
a1>
a2>
a3>
…>
a12>
a13.
因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an>
0,an+1<
0,
则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.
由于S12=6(a6+a7)>
S13=13a7<
即a6+a7>
0,a7<
由此得a6>
-a7>
因为a6>
故在S1,S2,…,S12中S6的值最大.
(Ⅱ)解法二:
=.
∵d<
0,∴最小时,Sn最大.
当<
-3时,
∵正整数n=6时最小,
∴S6最大.
(Ⅲ)解法三:
0可知a1>
注:
如果只答出S6的值最大,而未说明理由者,在(Ⅱ)中只给2分.
(28)本小题考查椭圆性质、直线方程等知识,以及综合分析能力.
证法一:
设A、B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2).因线段AB的垂直平分线与x轴相交,故AB不平行于y轴,即x1≠x2.又交点为P(x0,0),故|PA|=|PB|,即
(x1-x0)2+=(x2-x0)2+①
∵A、B在椭圆上,
∴,
.
将上式代入①,得
2(x2-x1)x0=②
∵x1≠x2,可得
③
∵-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,且x1≠x2,
∴-2a<
x1+x2<
2a,
∴
证法二:
设A、B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2).因P(x0,0)在AB的垂直平分线上,以点P为圆心,|PA|=r为半径的圆P过A、B两点,圆P的方程为(x-x0)2+y2=r2,
与椭圆方程联立,消去y得
(x-x0)2x2=r2-b2,
∴①
因A、B是椭圆与圆P的交点,故x1,x2为方程①的两个根.由韦达定理得
x1+x2=x0.
因-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,且x1≠x2,故-2a<
x1+x2=x0<
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