错位相减法求和附问题详解67950Word下载.docx
- 文档编号:13583848
- 上传时间:2022-10-11
- 格式:DOCX
- 页数:11
- 大小:387.27KB
错位相减法求和附问题详解67950Word下载.docx
《错位相减法求和附问题详解67950Word下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《错位相减法求和附问题详解67950Word下载.docx(11页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
整理得..............(14分)
2.已知数列的各项均为正数,是数列的前n项和,且
(1)求数列的通项公式;
(2)的值.
[答案]查看解析
[解析]
(1)当n=1时,解出a1=3,
又4Sn=an2+2an-3 ①
当时
4sn-1=+2an-1-3
②
①-②
即,
∴,
(),
是以3为首项,2为公差的等差数列,
6分
(2) ③
又 ④
④-③
=
12分
3.(2013年市高新区高三4月月考,19,12分)设函数,数列前项和,,数列,满足.
(Ⅱ)设数列的前项和为,数列的前项和为,证明:
.
[答案](Ⅰ)由,得
是以为公比的等比数列,故.
(Ⅱ)由,得
…,
记…+,
用错位相减法可求得:
.(注:
此题用到了不等式:
进行放大.)
4.已知等差数列中,;
是与的等比中项.
(Ⅰ)求数列的通项公式:
(Ⅱ)若.求数列的前项和
[解析](Ⅰ)因为数列是等差数列,是与的等比中项.所以,
又因为,设公差为,则,
所以,解得或,
当时,,;
当时,.
所以或.
(6分)
(Ⅱ)因为,所以,所以,
所以,
所以
两式相减得,
所以.
(13分)
5.已知数列的前项和,,,等差数列中,且公差.
(Ⅰ)求数列、的通项公式;
(Ⅱ)是否存在正整数,使得若存在,求出的最小值,若不存在,说明理由.
[解析](Ⅰ)时,相减得:
,又,,
数列是以1为首项,3为公比的等比数列,.
又,,.(6分)
(Ⅱ)
令………………①
…………………②
①-②得:
,,即,当,,当。
的最小正整数为4.
(12分)
6.数列满足,等比数列满足.
(Ⅰ)求数列,的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和.
[解析](Ⅰ)由,所以数列是等差数列,又,
由,所以,,所以,即,
(Ⅱ)因为,所以,
则,
两式相减的,
所以.(12分)
7.已知数列满足,其中为数列的前项和.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)若数列满足:
(),求的前项和公式.
[解析]Ⅰ)∵,①
∴
②
②-①得,,又时,,,
.
(5分)
(Ⅱ)∵,
,
8.设d为非零实数,an=[d+2d2+…+(n-1)dn-1+ndn](n∈N*).
(Ⅰ)写出a1,a2,a3并判断{an}是否为等比数列.若是,给出证明;
若不是,说明理由;
(Ⅱ)设bn=ndan(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Sn.
[答案](Ⅰ)由已知可得a1=d,a2=d(1+d),a3=d(1+d)2.
当n≥2,k≥1时,=,因此
an=.
由此可见,当d≠-1时,{an}是以d为首项,d+1为公比的等比数列;
当d=-1时,a1=-1,an=0(n≥2),此时{an}不是等比数列.(7分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,an=d(d+1)n-1,
从而bn=nd2(d+1)n-1,
Sn=d2[1+2(d+1)+3(d+1)2+…+(n-1)(d+1)n-2+n(d+1)n-1].①
当d=-1时,Sn=d2=1.
当d≠-1时,①式两边同乘d+1得
(d+1)Sn=d2[(d+1)+2(d+1)2+…+(n-1)(d+1)n-1+n(d+1)n].②
①,②式相减可得
-dSn=d2[1+(d+1)+(d+1)2+…+(d+1)n-1-n(d+1)n]
=d2.
化简即得Sn=(d+1)n(nd-1)+1.
综上,Sn=(d+1)n(nd-1)+1.(12分)
9.已知数列{an}满足a1=0,a2=2,且对任意m,n∈N*都有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2.
(Ⅰ)求a3,a5;
(Ⅱ)设bn=a2n+1-a2n-1(n∈N*),证明:
{bn}是等差数列;
(Ⅲ)设cn=(an+1-an)qn-1(q≠0,n∈N*),求数列{cn}的前n项和Sn.
[答案](Ⅰ)由题意,令m=2,n=1可得a3=2a2-a1+2=6.
再令m=3,n=1可得a5=2a3-a1+8=20.(2分)
(Ⅱ)证明:
当n∈N*时,由已知(以n+2代替m)可得a2n+3+a2n-1=2a2n+1+8.
于是[a2(n+1)+1-a2(n+1)-1]-(a2n+1-a2n-1)=8,即bn+1-bn=8.
所以,数列{bn}是公差为8的等差数列.(5分)
(Ⅲ)由(Ⅰ)、(Ⅱ)的解答可知{bn}是首项b1=a3-a1=6,公差为8的等差数列.
则bn=8n-2,即a2n+1-a2n-1=8n-2.
另由已知(令m=1)可得,an=-(n-1)2.
那么,an+1-an=-2n+1=-2n+1=2n.
于是,=2nqn-1.
当q=1时,Sn=2+4+6+…+2n=n(n+1).
当q≠1时,Sn=2·
q0+4·
q1+6·
q2+…+2n·
qn-1.
两边同乘q可得
qSn=2·
q1+4·
q2+6·
q3+…+2(n-1)·
qn-1+2n·
qn.
上述两式相减即得
(1-q)Sn=2(1+q1+q2+…+qn-1)-2nqn=2·
-2nqn=2·
所以Sn=2·
.
综上所述,Sn=(12分)
10.已知数列{an}是公差不为零的等差数列,a1=2,且a2,a4,a8成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an·
}的前n项和.
[答案]
(1)设数列{an}的公差为d(d≠0),
由条件可知:
(2+3d)2=(2+d)·
(2+7d),解得d=2.(4分)
故数列{an}的通项公式为an=2n(n∈N*).(6分)
(2)由
(1)知an·
=2n×
32n,设数列{an·
}的前n项和为Sn,
则Sn=2×
32+4×
34+6×
36+…+2n×
32n,
32Sn=2×
34+4×
36+…+(2n-2)×
32n+2n×
32n+2,
故-8Sn=2(32+34+36+…+32n)-2n×
32n+2,(8分)
所以数列{an·
}的前n项和Sn=.(12分)
11.已知等差数列满足又数列中,且.
(1)求数列,的通项公式;
(2)若数列,的前项和分别是,且求数列的前项和;
(3)若对一切正整数恒成立,数的取值围.
[答案]
(1)设等差数列的公差为,则有
解得
,,
数列是以为首项,公比为的等比数列.
…………4分
(2)由
(1)可得
∴
得,
…………10分(3),
当时,取最小值,,
,即,
当时,恒成立;
当时,由,解得,
即实数的取值围是.…………14分
12.设为数列的前项和,对任意的,都有为常数,且.
(1)求证:
数列是等比数列;
(2)设数列的公比,数列满足,求数列的通项公式;
(3)在满足
(2)的条件下,求数列的前项和.
[答案]188.
(1)当时,,解得.
当时,,
即.
又为常数,且,
∴数列是首项为1,公比为的等比数列.………………4分
(2)由
(1)得,,.
∵,∴,,
∴,∴.
∴是首项为,公差为1的等差数列.
∴().…………………9分
(3)由
(2)知,则.
∴,①
,②
②-①得,
∴.………………14分
13.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设数列{bn}的前n项和为Tn,且Tn+=λ(λ为常数),令cn=b2n(n∈N*),求数列{cn}的前n项和Rn.
[答案](Ⅰ)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.
由S4=4S2,a2n=2an+1得
解得a1=1,d=2.
因此an=2n-1,n∈N*.
(Ⅱ)由题意知:
Tn=λ-,
所以n≥2时,bn=Tn-Tn-1=-+=.
故cn=b2n==(n-1),n∈N*.
所以Rn=0×
+1×
+2×
+3×
+…+(n-1)×
则Rn=0×
+…+(n-2)×
+(n-1)×
两式相减得
Rn=+++…+-(n-1)×
=-(n-1)×
=-,
整理得Rn=.
所以数列{cn}的前n项和Rn=.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 错位 减法 求和 问题 详解 67950