数学高中必修五解三角形经典题目Word文档下载推荐.docx
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,c=+,∴由正弦定理得:
∴a=2(+)sinA,b=2(+)sinB=2(+)sin(150°
-A).
∴a+b=2(+)[sinA+sin(150°
-A)]=2(+)·
2sin75°
·
cos(75°
-A)=
cos(75°
-A)
1当75°
-A=0°
,即A=75°
时,a+b取得最大值=8+4;
2∵A=180°
-(C+B)=150°
-B,∴A<150°
,∴0°
<A<150°
∴-75°
<75°
-A<75°
,∴cos75°
<cos(75°
-A)≤1,
∴>cos75°
=×
=+.
综合①②可得a+b的取值范围为(+,8+4>
考察点2:
利用正弦定理判断三角形形状
例3
在△ABC中,·
tanB=·
tanA,判断三角形ABC的形状。
【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系,利用角的关系判断△ABC的形状。
由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB得:
即,,
.
∴为等腰三角形或直角三角形。
【解题策略】“在△ABC中,由得∠A=∠B”是常犯的错误,应认真体会上述解答过程中“∠A=∠B或∠A+∠B=”的导出过程。
例4
在△ABC中,如果,并且B为锐角,试判断此三角形的形状。
【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式,利用两角差的正弦公式来判断△ABC的形状。
又∵B为锐角,∴B=45°
由
由正弦定理,得,
∵代入上式得:
考察点3:
利用正弦定理证明三角恒等式
例5
在△ABC中,求证.
【点拨】观察等式的特点,有边有角要把边角统一,为此利用正弦定理将转化为.
证明:
由正弦定理的变式得:
同理
【解题策略】在三角形中,解决含边角关系的问题时,常运用正弦定理进行边角互化,然后利用三角知识去解决,要注意体会其中的转化与化归思想的应用。
例6
在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,C=2B,求证.
【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用.
【解题策略】有关三角形的证明题中,要充分利用三角形本身所具有的性质。
考察点4:
求三角形的面积
例7
在△ABC中,a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,若,求△ABC的面积S.
【点拨】先利用三角公式求出sinB,sinA及边c,再求面积。
由题意,得
∴B为锐角,
由正弦定理得
【解题策略】在△ABC中,以下三角关系式在解答三角形问题时经常用到,要记准、记熟,并能灵活应用,
例8
已知△ABC中a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,△ABC的外接圆半径为12,且,求△ABC的面积S的最大值。
【点拨】本题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用。
【解题策略】把三角形的面积公式和正弦定理相结合,通过讨论三角函数值的取值,求得面积的最大值。
考察点5:
与正弦定理有关的综合问题
例9
已知△ABC的内角A,B极其对边a,b满足求内角C
【点拨】本题主要考察解三角形中的正弦定理、和差化积公式等基础知识,考察运算能力、分析能力和转化能力。
解法1:
(R为△ABC的外接圆半径),
又∵A,B为三角形的内角,
当时,由已知得
综上可知,内角.
解法2:
由及正弦定理得,
,
从而
即
又∵0<A+B<π,
【解题策略】切化弦、边化角是三角关系化简的常用方法,熟练运用三角恒等变换公式是解题的关键。
例10
在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c=10,,求a,b及△ABC的内切圆半径。
【点拨】欲求边,应将已知条件中的边角统一,先求角再求边。
变形为
又
∴△ABC是直角三角形。
由解得
【解题策略】解此类问题应注意定理与条件的综合应用。
『高考真题评析』
例1(广东高考)已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若则
【命题立意】本题主要考察正弦定理和三角形中大边对大角的性质,解题的关键是确定角C的值。
【点拨】在△ABC中,又,故,由正弦定理知又a<b,因此从而可知,即。
故填1.
【名师点评】解三角形相关问题时,应灵活掌握边角关系,实现边角互化。
例2(北京高考)如图1-9所示,在△ABC中,若
则
【命题立意】本题考查利用正弦定理解决三角形问题,同时要注意利用正弦定理得到的两解如何取舍。
【点拨】由正弦定理得,
∵C为钝角,∴B必为锐角,
故填1
【名师点评】
在范围内,正弦值等于的角有两个,因为角C为钝角,所以角B必为锐角,防止忽略角的范围而出现增解
例3(湖北高考)在△ABC中,则等于()
【命题立意】本题考查正弦定理及同角三角函数基本关系式,解题的关键是确定角B的范围。
【点拨】由正弦定理得∵>,,∴B为锐角。
,故选D
【名师点评】根据三角形性质大边对大角准确判断角B的范围,从而确定角B的余弦值。
(天津高考)在△ABC中,
(1)求证;
(2)若,求的值。
【命题立意】本题主要考察正弦定理、两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识,同时考察基本运算能力。
(1)在△ABC中,由正弦定理及已知,得。
于是即
因为<B-C<,从而B-C=0,所以B=C.
(2)由和
(1)得,故
又0<2B<,于是从而,
。
所以
(1)证角相等,故由正弦定理化边为角。
(2)在
(1)的基础上找角A与角B的函数关系,在求2B的正弦值时要先判断2B的取值范围。
知能提升训练学以致用
1、在△ABC中,下列关系式中一定成立的是()
A.>B.=
C.<D.≥
2、(山东模拟)△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,,则c等于()
A.1B.2C.D.
3、(广东模拟)在△ABC中,,则等于()
A.B.
C.D.
4、在△ABC中,若,则△ABC是()
A.直角三角形B.等边直角三角形
C.钝角三角形D.等腰直角三角形
5、在锐角△ABC中,若C=2B,则的范围是()
6、在△ABC中,,则,满足此条件的三角形有()
A.0个B.1个C.2个D.无数个
7、在△ABC中,若A:
B:
C=3:
4:
5,则:
:
等于()
A.3:
5B.2:
:
C.1:
2D.:
:
8、(2011·
浙江模拟)在△ABC中,则此三角形的最大边长为()
A.B.C.D.
9、在△ABC中则。
10、(2011·
山东模拟)在△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则角A的大小为。
11、在△ABC中已知cm,cm,,如果利用正弦定理解三角形有两解,那么的取值范围是
13、在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,求证。
14、在△ABC中,求及三角形的面积。
15、已知方程的两根之积等于两根之和,且为△ABC的内角,分别为的对边,判断△ABC的形状。
16、在△ABC中,
(1)求角C的大小;
(2)若△ABC的最大边长为,求最小边的长。
1.1.2余弦定理
『典型题剖析』
利用余弦定理解三角形
例1:
已知△ABC中,求A,C和。
【点拨】解答本题可先由余弦定理列出关于边长的方程,首先求出边长,再由再由正弦定理求角A,角C,也可以先由正弦定理求出角C,然后再求其他的边和角。
由正弦定理得,
解得或6.当时,
当时,由正弦定理得
由<,>,知本题有两解。
或,
当时,,由勾股定理得:
当时,,∴△ABC为等腰三角形,。
【解题策略】比较两种解法,从中体会各自的优点,从而探索出适合自己思维的解题规律和方法。
三角形中已知两边和一角,有两种解法。
方法一利用余弦定理列出关于第三边的等量关系列出方程,利用解方程的方法求出第三边的长,这样可免去判断取舍的麻烦。
方法二直接运用正弦定理,先求角再求边。
例2:
△ABC中,已知,求A,B,C
利用余弦定理判断三角形的形状
例3:
在△ABC中,已知且,试判断△ABC的形状。
【点拨】本题主要考察利用正弦定理或余弦定理判断三角形的形状,从问题的已知条出发,找到三角形边角之间的关系,然后判断三角形的形状。
例4:
已知钝角三角形ABC的三边求k的取值范围。
【点拨】由题意知△ABC为钝角三角形,按三角形中大边对大角的原则,结合a,b,c的大小关系,故必有C角最大且为钝角,于是可有余弦定力理求出k的取值范围。
>0,<,
<,解得-2<k<6.而k+k+2>k+4,∴k>2.故2<k<6.故k的取值范围是
【解题策略】应用三角形三边关系时,应注意大边对大角。
利用余弦定理证明三角形中的等式问题
例6在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c。
(1)求证
(2)求证
【点拨】本题考察余弦定理及余弦定理与两角和差正弦公式的综合应用
(1)由得;
又∵
∴
故原式成立。
(2)左边
右边。
正余弦定理的综合应用
例7:
在中,已知
【点拨】本题主要考察正、余弦定理的综合应用。
∵a>0,c>0,
或.
由知a>b,
若则与已知矛盾。
【解题策略】本题边未知,已知一角,所以考虑使用余弦定理得a,c的关系,再结合正弦定理求注意特殊角的三角函数值,如:
例8:
设的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知
(1)求A的大小;
(2)求的值。
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