届高考数学一轮复习备考讲义人教A版23 函数的奇偶性与周期性Word版含答案Word格式.docx
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对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期:
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
知识拓展
1.函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;
偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
(3)在公共定义域内有:
奇±
奇=奇,偶±
偶=偶,奇×
奇=偶,偶×
偶=奇.
2.函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x:
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>
0).
(2)若f(x+a)=,则T=2a(a>
(3)若f(x+a)=-,则T=2a(a>
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)偶函数图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.( ×
)
(2)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)关于直线x=a对称.( √ )
(3)函数f(x)在定义域上满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期为2a(a>
0)的周期函数.( √ )
(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.( √ )
(5)若T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,n≠0)也是函数的周期.( √ )
题组二 教材改编
2.[P39A组T6]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x(1+x),则f(-1)=_____.
答案 -2
解析 f
(1)=1×
2=2,又f(x)为奇函数,
∴f(-1)=-f
(1)=-2.
3.[P45B组T4]设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,f(x)=则f=______.
答案 1
解析 f=f=-4×
2+2=1.
4.[P39A组T6]设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集为________.
答案 (-2,0)∪(2,5]
解析 由图象可知,当0<x<2时,f(x)>0;
当2<x≤5时,f(x)<0,又f(x)是奇函数,
∴当-2<x<0时,f(x)<0,当-5≤x<
-2时,f(x)>
0.
综上,f(x)<0的解集为(-2,0)∪(2,5].
题组三 易错自纠
5.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是( )
A.-B.C.-D.
答案 B
解析 依题意得f(-x)=f(x),∴b=0,又a-1=-2a,
∴a=,∴a+b=,故选B.
6.偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=________.
答案 3
解析 ∵f(x)为偶函数,∴f(-1)=f
(1).
又f(x)的图象关于直线x=2对称,
∴f
(1)=f(3).∴f(-1)=3.
题型一 判断函数的奇偶性
典例判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=+;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=
解
(1)由得x2=3,解得x=±
,
即函数f(x)的定义域为{-,},
∴f(x)=+=0.
∴f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),
∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)由得定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称.
∴x-2<0,∴|x-2|-2=-x,∴f(x)=.
又∵f(-x)===-f(x),
∴函数f(x)为奇函数.
(3)显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
∵当x<0时,-x>0,
则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);
当x>0时,-x<0,
则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x);
综上可知:
对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x),
思维升华判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:
(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系.
在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.
跟踪训练
(1)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( )
A.y=x+sin2xB.y=x2-cosx
C.y=2x+D.y=x2+sinx
答案 D
解析 对于A,f(-x)=-x+sin2(-x)=-(x+sin2x)=-f(x),为奇函数;
对于B,f(-x)=(-x)2-cos(-x)=x2-cosx=f(x),为偶函数;
对于C,f(-x)=2-x+=2x+=f(x),为偶函数;
对于D,y=x2+sinx既不是偶函数也不是奇函数,
故选D.
(2)函数f(x)=loga(2+x),g(x)=loga(2-x)(a>
0且a≠1),则函数F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)-g(x)的奇偶性是( )
A.F(x)是奇函数,G(x)是奇函数
B.F(x)是偶函数,G(x)是奇函数
C.F(x)是偶函数,G(x)是偶函数
D.F(x)是奇函数,G(x)是偶函数
解析 F(x),G(x)定义域均为(-2,2),
由已知F(-x)=f(-x)+g(-x)=loga(2-x)+loga(2+x)=F(x),
G(-x)=f(-x)-g(-x)=loga(2-x)-loga(2+x)=-G(x),
∴F(x)是偶函数,G(x)是奇函数.
题型二 函数的周期性及其应用
1.(2017·
西安一模)奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f
(1)=2,则f(4)+f(5)的值为( )
A.2B.1C.-1D.-2
答案 A
解析 ∵f(x+1)为偶函数,
∴f(-x+1)=f(x+1),则f(-x)=f(x+2),
又y=f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x)=f(x+2),且f(0)=0.
从而f(x+4)=-f(x+2)=f(x),y=f(x)的周期为4.
∴f(4)+f(5)=f(0)+f
(1)=0+2=2.
2.(2017·
山东)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=_____.
答案 6
解析 ∵f(x+4)=f(x-2),
∴f((x+2)+4)=f((x+2)-2),即f(x+6)=f(x),
∴f(x)是周期为6的周期函数,
∴f(919)=f(153×
6+1)=f
(1).
又f(x)是定义在R上的偶函数,
∴f
(1)=f(-1)=6,即f(919)=6.
3.定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<
-1时,f(x)=-(x+2)2;
当-1≤x<
3时,f(x)=x.则f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(2018)=________.
答案 339
解析 ∵f(x+6)=f(x),∴周期T=6.
∵当-3≤x<
3时,f(x)=x,
∴f
(1)=1,f
(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,
f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,
f(6)=f(0)=0,
∴f
(1)+f
(2)+…+f(6)=1,
∴f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(2015)+f(2016)=1×
=336.
又f(2017)=f
(1)=1,f(2018)=f
(2)=2,
∴f
(1)+f
(2)+f(3)+…+f(2018)=339.
思维升华函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查,主要涉及函数周期性的判断,利用函数周期性求值.
题型三 函数性质的综合应用
命题点1 求函数值或函数解析式
典例
(1)(2017·
全国Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f
(2)=________.
答案 12
解析 方法一 令x>0,则-x<0.
∴f(-x)=-2x3+x2.
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x).
∴f(x)=2x3-x2(x>0).
∴f
(2)=2×
23-22=12.
方法二 f
(2)=-f(-2)=-[2×
(-2)3+(-2)2]=12.
(2)(2016·
全国Ⅲ改编)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x-1-x,则f(x)=________.
答案
解析 ∵当x>0时,-x<0,
∴f(x)=f(-x)=ex-1+x,
∴f(x)=
命题点2 求参数问题
典例
(1)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a=__________.
解析 ∵f(-x)=f(x),
∴-xln(-x)=xln(x+),
∴ln[()2-x2]=0.
∴lna=0,∴a=1.
(2)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1]上,f(x)=其中a,b∈R.若f=f,则a+3b的值为________.
答案 -10
解析 因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数,
所以f=f且f(-1)=f
(1),
故f=f,
从而=-a+1,
即3a+2b=-2.①
由f(-1)=f
(1),得-a+1=,
即b=-2a.②
由①②得a=2,b=-4,从而a+3b=-10.
命题点3 利用函数的性质解不等式
安阳模拟)已知函数g(x)是R上的奇函数,且当x<0时,g(x)=-ln(1-x),函数f(x)=若f(2-x2)>f(x),则实数x的取值范围是( )
A.(-∞,1)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.(1,2)D.(-2,1)
解析 ∵g(x)是奇函数,
∴x>0时,g(x)=-g(-x)=ln(1+x),
易知f(x)在R上是增函数,
由f(2-x2)>f(x),可得2-x2>x,
即x2+x-2<0,∴-2<x<1.
(2)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数,若f
(1)<
1,f(5)=,则实数a的取值范围为( )
A.(-1,4)B.(-2,0)
C.(-1,0)D.(-1,2)
解析 ∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数,
∴f(5)=f(5-
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