第十一章电路方程的矩阵形式Word文档下载推荐.docx
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(a)(b)(c)
(d)(e)
图11-1图G与其一些子图
11-2回路、树、割集
一、回路:
在图G中的任一闭合路径称为一个回路,但每一个节点上仅有两条支路相连
例如:
(a)(b)(c)
二、树
1,定义:
在连通图G中,把所有的节点连通起来,但不包含任一闭合路径的部分线图称为一棵树。
1含所有节点,②不具有回路,③连通的,④为G的子图。
(d)(e)(f)
电路的图G如图(a)所示,图(b)为图G的一棵树,图(c)不是图G的树(未含所有节点);
图(d)不是图G的树(出现了回路);
图(e)不是图G的树(不是连通图);
图(f)不是图G的树(不是图G的子图)。
2,树支:
属于一棵树的支路称为该树的数支。
树支数=n-1=独立节点数
3,连支:
不属于一棵树的支路称为该树的连支。
连支数=b-(n-1)=独立回路数。
连支的集合称为余树、补树
三、基本回路:
在图G中选取一棵树后,由一条连支及相应的树支所构成的回路称为该树的基本回路(单连支回路)。
1.基本回路数=连支数。
2.基本回路的KVL方程相互独立。
3.不同的树对应于不同的基本回路。
四、割集:
图G中所有被切割支路的集合同时满足下列两个条件时称为割集。
1,移去所有被切割支路时原图成为两个分离部分。
2,留下任意被切割支路时,原图依然连通。
注意:
每一条支路只能被切割一次。
割集意义下的KCL方程:
穿入割集时取”-”,否则取”+”
五、基本割集
在连通图G中选取一棵树后,由一条树支及相应的连支构成的割集称为该树的基本割集。
1,基本割集数=树支数=独立节点数。
2,基本割集的KCL方程互相独立。
3,不同的树对应不同的基本割集。
如图(a)所示图G中,如果选支路2、3、5为树支,则基本割集组为Q1(1、2、4),Q2(4、5、6)和Q3(1、3、6),如图(b)所示;
如果选支路2、3、4为树支,则基本割集组为Ql(1、3、6),Q2(1、2、5、6)和Q3(4、5、6),如图(c)所示。
(a)(b)(c)
11-3关联矩阵回路矩阵割集矩阵
一、关联矩阵
支路电流列向量
关联矩阵,支路与节点的关联关系
降阶的关联矩阵
二、回路矩阵
1,独立回路矩阵:
支路电压列向量
独立回路矩阵,反映支路与独立回路的关联关系
2,基本回路矩阵:
约定:
①将连支与树支按支路编号由小到大分别集中排列
②将连支对应的列号取为基本回路号
③取连支方向作为基本回路方向
举例:
如下图支路1、2、4为连支,支路3、5、6为树支,则基本回路如下
三、割集矩阵
1,独立割集矩阵
支路电流列向量
独立割集矩阵,反映支路与独立割集的关联关系
2,基本割集矩阵
约定:
①将树支与连支按支路编号由小到大分别集中排列
②将树支对应的列号称为基本割集号
③取树支方向作为基本割集方向
如下图支路1、2、4为连支,支路3、5、6为树支,则基本割集如下,
基本割集矩阵为
356124
比较该例割集矩阵与前例的基本回路矩阵,可以看出对于同一个有向图,选取同一棵树,当连支分块和树支反映中,各支路左右顺序不变时,则有:
事实上,该关系式可以得到证明,详见书中§
11-4。
11-6状态方程
一、状态:
指在某给定时刻描述网络所需要的一组最少量信息,它连同从该时刻开始的任意输入,便可以确定网络今后的性状。
二、状态变量:
描述系统所需要的一组最少量的变量。
三、状态方程:
以状态变量为未知量的一组一阶微分方程。
状态变量
写成矩阵形式
状态变量的选择不唯一,也可
写成标准形式
四、状态方程的列写
1,直观法
例1:
列写如下图所示电路的状态方程。
解:
选取单一电感回路,如图l1、l2所示;
状态变量
整理并消去中间变量i1、i2,得
例2:
列如下图所示电路的状态方程。
选取单一电容节点列写KCL方程,状态变量
整理得
例3:
列写如下图所示电路的状态方程和以un1、un2为变量的输出方程。
状态变量。
选取单一电容节点列写KCL方程和单一电感回路列写KVL方程,
整理并消取中间变量,得
输出方程写成标准形式
2:
系统法
常态网络:
不含有由纯电容与理想电压源构成的回路;
不含有由纯电感与理想电流源汇集成的节点。
特有树:
将所有的电容支路与电压源支路取为树支;
将所有的电感支路与电流源支路取为连支。
系统法:
选一个特有树后,列写状态方程的步骤如下:
①对由电容树支构成的基本割集列KCL方程;
②对由电感连支构成的基本回路列KVL方程;
③对KVL方程中出现的电阻树支作对应的基本割集列KCL方程;
④对KCL方程中出现的电阻连支作对应的基本回路列KVL方程;
⑤消去中间变量,整理方程,写成标准形式。
例4:
画出原电路的图,选择特有树,列方程。
五、状态方程的求解:
解法1:
时域解法
解法2:
拉氏变换解法
列写状态方程
用拉氏变换法解状态方程
取反拉氏变换可得
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