高考数学一轮复习第11章计数原理和概率第10课时正态分布练习理Word格式.docx
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∴P(ξ>
4)==0.5-×
0.6826=0.1587,故选B.
4.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),P(ξ>
2)=0.023,则P(-2≤ξ≤2)=( )
A.0.954B.0.977
C.0.488D.0.477
答案 A
解析 P(-2≤ξ≤2)=1-2P(ξ>
2)=0.954.
5.(2017·
南昌调研)某单位1000名青年职员的体重x(单位:
kg)服从正态分布N(μ,22),且正态分布的密度曲线如图所示,若体重在58.5~62.5kg属于正常,则这1000名青年职员中体重属于正常的人数约是( )
A.683B.841
C.341D.667
解析 ∵P(58.5<
X<
62.5)=P(μ-σ<
μ+σ)≈0.683,∴体重正常的人数约为1000×
0.683=683人.
6.(2018·
江西八所重点中学联考)在某次数学测试中,学生成绩ξ服从正态分布(100,σ2)(σ>
0),若ξ在(80,120)内的概率为0.8,则落在(0,80)内的概率为( )
A.0.05B.0.1
C.0.15D.0.2
解析 ∵ξ服从正态分布N(100,σ2),∴曲线的对称轴是直线μ=100,∵ξ在(80,120)内取值的概率为0.8,ξ在(0,100)内取值的概率为0.5,
∴ξ在(0,80)内取值的概率为0.5-0.4=0.1.故选B.
7.(2017·
河南安阳专项训练)已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116,64),则成绩在140分以上的考生所占的百分比为( )
A.0.3%B.0.23%
C.1.5%D.0.15%
答案 D
解析 依题意,得μ=116,σ=8,所以μ-3σ=92,μ+3σ=140.而服从正态分布的随机变量在(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率约为0.997,所以成绩在区间(92,140)内的考生所占的百分比约为99.7%.从而成绩在140分以上的考生所占的百分比为=0.15%.故选D.
8.(2018·
云南大理统测)2016年1月某高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考,已知数学考试成绩X~N(100,σ2)(试卷满分150分).统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的,则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为( )
A.80B.100
C.120D.200
解析 正态曲线的对称轴为X=100,根据其对称性可知,成绩不低于120分的学生人数约为1600×
(1-)×
=200.
9.如果随机变量X~N(μ,σ2),且E(X)=3,D(X)=1,则P(0<
1)等于( )
A.0.210B.0.003
C.0.681D.0.0215
解析 X~N(3,12),因为0<
1,所以P(0<
1)==0.0215.
10.(2017·
皖南十校联考)在某市2017年1月份的高三质量检测考试中,理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市理科学生约9450人.某学生在这次考试中的数学成绩是108分,那么他的数学成绩大约排在全市第多少名?
( )
A.1500B.1700
C.4500D.8000
解析 因为学生的数学成绩X~N(98,100),所以P(X≥108)=[1-P(88<
108)]=[1-P(μ-σ<
μ+σ)]=(1-0.6826)=0.1587,故该学生的数学成绩大约排在全市第0.1587×
9450≈1500名,故选A.
11.如图所示,随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),已知P(ξ<
0)=0.3,则P(ξ<
2)=________.
答案 0.7
解析 由题意可知,正态分布的图像关于直线x=1对称,所以P(ξ<
2)=P(ξ<
0)+P(0<
1)+P(1<
2),又P(0<
1)=P(1<
2)=0.2,所以P(ξ<
2)=0.7.
12.某省实验中学高三共有学生600人,一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N(100,σ2),统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的,则此次考试成绩不低于120分的学生约有________人.
答案 100
解析 ∵数学考试成绩ξ~N(100,σ2),作出正态分布图像,可以看出,图像关于直线x=100对称.显然P(80≤ξ≤100)=P(100≤ξ≤120)=;
∴P(ξ≤80)=P(ξ≥120).又∵P(ξ≤80)+P(ξ≥120)=1-P(80≤ξ≤100)-P(100≤ξ≤120)=,∴P(ξ≥120)=×
=,∴成绩不低于120分的学生约为600×
=100(人).
13.(2017·
河北唐山二模)商场经营的某种袋装大米质量(单位:
kg)服从正态分布N(10,0.12),任取一袋大米,质量不足9.8kg的概率为________.(精确到0.0001)
注:
P(μ-σ<
x≤μ+σ)=0.6826,
P(μ-2σ<
x≤μ+2σ)=0.9544,
P(μ-3σ<
x≤μ+3σ)=0.9974
答案 0.0228
解析 因为袋装大米质量(单位:
kg)服从正态分布N(10,0.12),所以P(ξ<
9.8)=[1-P(9.8<
10.2)]=[1-P(10-2×
0.1<
10+2×
0.1)]=(1-0.9544)=0.0228.
14.已知随机变量X服从正态分布,其正态分布密度曲线为函数f(x)=e(x∈R)的图像,若=,则P(X<
0)=________.
答案
解析 因为正态分布密度曲线为函数f(x)=e(x∈R)的图像,所以总体的期望μ=1,标准差σ=1,故函数f(x)的图像关于直线x=1对称.又f(x)dx==P(0<
1),所以P(X<
0)=-P(0<
1)=.
15.(2018·
江西南昌一模)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况,对全市高三学生进行了体能测试,经分析,全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80,σ2)(满分为100分),已知P(X<
75)=0.3,P(X≥95)=0.1,现从该市高三学生中随机抽取3位同学.
(1)求抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[80,85),[85,95),[95,100]内各有1位同学的概率;
(2)记抽到的3位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]内的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ).
答案
(1)0.024
(2)E(ξ)=1.2
解析
(1)由题知,P(80≤X<
85)=-P(X<
75)=0.2,
P(85≤X<
95)=0.3-0.1=0.2,
所以所求概率P=A33×
0.2×
0.1=0.024.
(2)P(75≤X≤85)=1-2P(X<
75)=0.4,
所以ξ服从二项分布B(3,0.4),
P(ξ=0)=0.63=0.216,
P(ξ=1)=3×
0.4×
0.62=0.432,
P(ξ=2)=3×
0.42×
0.6=0.288,
P(ξ=3)=0.43=0.064.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P
0.216
0.432
0.288
0.064
E(ξ)=3×
0.4=1.2.
16.(2018·
广东三校联考)某市在2017年2月份的高三期末考试中对数学成绩数据统计显示,全市10000名学生的成绩服从正态分布N(120,25).现某校随机抽取了50名学生的数学成绩分析,结果这50名学生的成绩全部介于85分至145分之间,现将结果按如下方式分为6组,第一组[85,95),第二组[95,105),…,第六组[135,145],得到如图所示的频率分布直方图.
(1)试估计该校数学成绩的平均分数;
(2)若从这50名学生中成绩在125分(含125分)以上的同学中任意抽取3人,该3人在全市前13名的人数记为X,求X的分布列和期望.
附:
若X~N(μ,σ2),则P(μ-3σ<
μ+3σ)=0.9974.
答案
(1)112
(2)E(X)=1.2
解析
(1)由频率分布直方图可知[125,135)的频率为1-(0.010×
10+0.024×
10+0.030×
10+0.016×
10+0.008×
10)=0.12.
所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为90×
0.1+100×
0.24+110×
0.3+120×
0.16+130×
0.12+140×
0.08=112.
(2)由于=0.0013,
根据正态分布得P(120-3×
5<
120+3×
5)=0.9974.
故P(X≥135)==0.0013,即0.0013×
10000=13.
所以前13名的成绩全部在135分以上.
根据频率分布直方图可知这50人中成绩在135分以上(包括135分)的有50×
0.08=4人,而在[125,145]的学生有50×
(0.12+0.08)=10.
所以X的取值为0,1,2,3.
所以P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==.
所以X的分布列为
x
E(X)=0×
+1×
+2×
+3×
=1.2.
17.(2014·
课标全国Ⅰ,理)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布,求P(187.8<
Z<
212.2);
②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数.利用①的结果,求E(X).
≈12.2.
若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<
μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<
μ+2σ)=0.9544.
答案
(1)=200,s2=150
(2)①0.6826 ②68.26
解析
(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为
=170×
0.02+180×
0.09+190×
0.22+200×
0.33+210×
0.24+220×
0.08+230×
0.02=200,
s2=(-30)2×
0.02+(-20)2×
0.09+(-10)2×
0.22+0×
0.33+102×
0.24+202×
0.08+302×
0.02=150.
(2)①由
(1)知,Z~N(20
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