北京市石景山区届高三数学下学期一模考试试题文0411158Word文件下载.docx
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C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7.若某多面体的三视图(单位:
)如图所示,
则此多面体的体积是()
A.B.
C.D.
8.如图,已知线段上有一动点(异于),线段,且满足(是大于且不等于的常数),则点的运动轨迹为()
A.圆的一部分B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
9.复数=___________.
10.双曲线的焦距是________,渐近线方程是_____________.
11.若圆的半径为,其圆心与点关于直线对称,则圆的标准方程为________________________.
12.在中,,,,则的面积等于________.
13.在等差数列中,如果是与的等比中项,那么_____.
14.已知函数.
①当时,函数的零点个数为__________;
②如果函数恰有两个零点,那么实数的取值范围为__________.
三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题共13分)
已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期;
(Ⅱ)求函数在区间上的最小值和最大值.
16.(本小题共13分)
在等差数列中,,其前项和满足.
(Ⅰ)求实数的值,并求数列的通项公式;
(Ⅱ)若数列是首项为,公比为的等比数列,求数列的前项和.
17.(本小题共13分)
抢“微信红包”已经成为中国百姓欢度春节时非常喜爱的一项活动.小明收集班内
20名同学今年春节期间抢到红包金额(元)如下(四舍五入取整数):
102524112172
162502215846
431369519259
9922689879
对这20个数据进行分组,各组的频数如下:
组别
红包金额分组
频数
A
0≤x<40
2
B
40≤x<80
9
C
80≤x<120
m
D
120≤x<160
3
E
160≤x<200
n
(Ⅰ)写出m,n的值,并回答这20名同学抢到的红包金额的中位数落在哪个组别;
(Ⅱ)记C组红包金额的平均数与方差分别为、,E组红包金额的平均数与方差分别为、,试分别比较与、与的大小;
(只需写出结论)
(Ⅲ)从A,E两组所有数据中任取2个,求这2个数据差的绝对值大于100的概率.
18.(本小题共14分)
如图,在三棱锥中,已知是正三角形,平面,,为的中点,在棱上,且.
(Ⅰ)求三棱锥的体积;
(Ⅱ)求证:
平面;
(Ⅲ)若为中点,在棱上,且,
求证:
//平面.
19.(本小题共13分)
已知椭圆E:
的离心率,焦距为.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)若分别是椭圆E的左、右顶点,动点满足,连接,交椭圆E于点.证明:
为定值(为坐标原点).
20.(本小题共14分)
设函数,.
(Ⅰ)当时,求函数的极小值;
(Ⅱ)讨论函数零点的个数;
(Ⅲ)若对任意的,恒成立,求实数的取值范围.
答案及评分参考
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.
题号
1
4
5
6
7
8
答案
10
11
12
13
14
三、解答题共6小题,共80分.
15.(本小题满分13分)
解:
(Ⅰ)
………………5分
所以周期为.………………6分
(Ⅱ)因为,
所以.………………7分
所以当时,即时.
当时,即时.…………13分
16.(本小题满分13分)
(Ⅰ)设等差数列的公差为,
因为,………………2分
所以,所以.………………4分
所以,所以.
所以.………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
所以.
所以.………………9分
所以
………………13分
(本小题13分)
(Ⅰ)m=4,n=2,B;
………………3分
(Ⅱ)<
,<
;
………………6分
(Ⅲ)A组两个数据为22,22,E组两个数据为162,192
任取两个数据,可能的组合为
(22,22),(22,162),(22,192),(22,162),(22,192),(162,192),
共6种结果
记数据差的绝对值大于100为事件A,事件A包括4种结果
所以.………………13分
18.(本小题14分)
(Ⅰ)因为是正三角形,且,
所以.………………2分
又⊥平面,………………3分
故S△BCD.………………4分
(Ⅱ)在底面中,取的中点,连接,
因,故.
因,故为的中点.
又为的中点,故∥,
故.……5分
因平面,平面,
故平面平面.
是正三角形,为的中点,
故,
故平面.………………7分
平面,故.………………8分
又,故平面.………………9分
(Ⅲ)当时,连,设,连.
因为的中点,为中点,
故为△的重心,.………………10分
因,,故,
所以∥.………………12分
又平面,平面,所以∥平面.……14分
19.(本小题13分)
(Ⅰ)解:
因为,所以.………………1分
因为,所以.………………3分
因为,所以.………………4分
所以椭圆方程为.………………5分
(Ⅱ)方法一:
证明:
C(-2,0),D(2,0),
设,
则=,=.………………7分
直线CM:
,即.………………8分
代入椭圆方程,
得,
所以.………………10分
所以.
所以=.………………12分
所以·
=.
即·
为定值.………………13分
方法二:
由可得,即.
∵点在上
∴.
∴为定值.
方法三:
因为直线不在轴上,故可设.
由得,
∴,即.
在直线中令,则,即.
20.(本小题14分)
(Ⅰ)因为,
所以当时,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增;
所以当时,取得极小值.………………3分
(Ⅱ),
令,得.
设,则.
所以当时,,在上单调递增;
当时,,在上单调递减;
所以的最大值为,又,可知:
①当时,函数没有零点;
②当或时,函数有且仅有1个零点;
③当时,函数有2个零.……………9分
(Ⅲ)原命题等价于恒成立..
则等价于在上单调递减.
即在上恒成立,
所以恒成立,
即的取值范围是.………………14分
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