专题三十二与动点有关的圆弧型路径轨迹问题探究带答案Word文档格式.docx
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∵等边三角形ABC的边长为6cm,∴.
由图可知,旋转角为
∴边的中点运动的路径长是:
【答案】B
典型例题引
类型一:
利用动点的产生的圆弧型路径轨迹来求最值
【例1】如图,点C和点D在以O为圆心、AB为直径的半圆上,且∠COD=90°
,AD与BC交于点P,若AB=2,则△APB面积的最大值是 .
【分析】首先可以证明∠APB=135°
,从而得出点P的运动轨迹是以AB为弦,圆周角为135°
的一段弧,再由题意推出当PO⊥AB时,即PA=PB时,△PAB的面积最大,易得DP=DB,设DP=DB=x,则PA=PB=x,在Rt△ADB中,利用AD2+BD2=AB2,列出方程即可解决问题
【解答】连接BD、DC.∵∠COD=90°
,
∴∠AOC+∠DOB=90°
,∵∠PAB=∠DOB,∠PBA=∠AOC,
∴∠PAB+∠PBA=45°
,∴∠APB=135°
∴点P的运动轨迹是以AB为弦,圆周角为135°
的弧上运动,
∴当PO⊥AB时,即PA=PB时,△PAB的面积最大,
∵∠PDB=90°
,∠DPB=45°
∴DP=DB,设DP=DB=x,则PA=PB=x,
在Rt△ADB中,∵AD2+BD2=AB2,
∴(x+x)2+x2=22,∴x2=2﹣,
∴△PAB的面积的最大值=•PA•BD=•x•x=•(2﹣)=﹣1.[来源:
Z_xx_k.Com]
故答案为﹣1.
类型二:
利用动点的产生的圆弧型路径轨迹来求运动路径长
【例2】如图,AB为⊙O的直径,且AB=4,点C在半圆上,OC⊥AB,垂足为点O,P为半圆上任意一点,过P点作PE⊥OC于点E,设△OPE的内心为M,连接OM、PM.
(1)∠OMP的度数为;
(2)当点P在半圆上从点B运动到点A时,内心M所经过的路径长为cm.
【分析】
(1)先判断出∠MOP=∠MOC,∠MPO=∠MPE,再用三角形的内角和定理即可得出结论;
(2)分两种情况,当点M在扇形BOC和扇形AOC内,先求出∠CMO=135°
,进而判断出点M的轨迹,再求出∠OO'
C=90°
,最后用弧长公式即可得出结论.
【详解】
(1)∵△OPE的内心为M,∴∠MOP=∠MOC,∠MPO=∠MPE,
∴∠PMO=180°
﹣∠MPO﹣∠MOP=180°
﹣(∠EOP+∠OPE),
∵PE⊥OC,即∠PEO=90°
﹣(∠EOP+∠OPE)=180°
﹣(180°
﹣90°
)=135°
;
故填135°
(2)如图,∵OP=OC,OM=OM,而∠MOP=∠MOC,
∴△OPM≌△OCM,∴∠CMO=∠PMO=135°
所以点M在以OC为弦,并且所对的圆周角为135°
的两段劣弧上(弧OMC和弧ONC);
点M在扇形BOC内时,
过C、M、O三点作⊙O′,连O′C,O′O,在优弧CO取点D,连DA,DO,
∵∠CMO=135°
,∴∠CDO=180°
﹣135°
=45°
,∴∠CO′O=90°
而OA=4cm,∴O′O=OC=×
4=2,
∴弧OMC的长==π(cm),
同理:
点M在扇形AOC内时,同①的方法得,弧ONC的长为πcm,
所以内心M所经过的路径长为2×
π=2πcm.故填2π
强化练习
1.如图,在半径为4的⊙O中,CD为直径,AB⊥CD且过半径OD的中点,点E为⊙O上一动点,CF⊥AE于点F,当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长为()
【详解】连接AC,AO.
∵AB⊥CD,∴G为AB的中点,即AG=BG=AB.
∵⊙O的半径为4,弦AB⊥CD且过半径OD的中点,∴OG=2,∴在Rt△AOG中,根据勾股定理得:
AG==2,∴AB=2AG=4.
又∵CG=CO+GO=4+2=6,∴在Rt△AGC中,根据勾股定理得:
AC==4.∵CF⊥AE,∴△ACF始终是直角三角形,点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆,当E位于点B时,CG⊥AE,此时F与G重合;
当E位于D时,CA⊥AE,此时F与A重合,∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长弧AG.在Rt△ACG中,tan∠ACG==,∴∠ACG=30°
,∴弧AG所对圆心角的度数为60°
.
∵直径AC=4,∴弧AG的长为=π,则当点E从点B出发顺时针运动到点D时,点F所经过的路径长为π.故选D.
2.如图,△ABC为⊙O的内接三角形,BC=24,,点D为弧BC上一动点,CE垂直直线OD于点E,当点D由B点沿弧BC运动到点C时,点E经过的路径长为()
【详解】如图1,∵CE垂直直线OD于点E,
∴当点D由B点沿弧BC运动到点C时,点E经过的路径是以OC的中点K为圆心,以OC为半径的一段圆弧,
当D与B重合时,如图2,E和L重合.
∵∠A=60°
,∴∠BOC=120°
,∴∠COE=60°
.∵OK=KL,
∴△OKL是等边三角形,∴∠OKL=60°
当D运动到C时,如图3,D、E、C三点重合,
此时∠OKC=180°
,∴E运动的圆弧的圆心角为240°
过O作OM⊥BC于M,如图3,则BM=BC=12.
∵∠BOC=120°
,OB=OC,
∴∠MBO=(180°
-120°
)÷
2=30°
∴OM=,OB=2OM=,∴OK=OB=,
∴点E经过的路径长为=.故选C.
3.如图,线段EF的长为4,O是EF的中点,以OF为边长做正方形OABC,连接AE、CF交于点P,将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始,绕着点O逆时针旋转90°
止,则点P运动的路径长为()
A.B.C.2πD.
【详解】如图,连接AC.首先证明∠EPF=135°
,推出点P在与K为圆心的圆上,点P的运动轨迹是弧PEF,
在⊙K上取一点M,连接ME、MF、EK、FK,则∠M=180°
﹣∠EPF=45°
推出∠EKF=2∠M=90°
,因为EF=4,所以KE=KF=,
根据弧长公式计算可得P运动的路径长==故选B.
4.如图,等边三角形OPQ的边长为2,以O为圆心,AB为直径的半圆经过点P,点Q,连接AQ,BP相交于点C,将等边三角形OPQ从OA与OP重合的位置开始,绕着点O顺时针旋转120度,则交点C运动的路径是( )
解:
如图,∵,∴,
∴,
∴点C的运动轨迹是弧,所在圆的半径是等边三角形△ABD的外接圆的半径,
∴设等边三角形△ABD的外接圆的半径为r,
则有:
,即,∴,
∴点C运动的路径.故选:
B.
5.如图,等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE,∠BAC=∠DAE=90°
,AB=2AD=6,直线BD、CE交于点P,Rt△ABC固定不动,将△ADE绕点A旋转一周,点P的运动路径长为( )
A.12πB.8πC.6πD.4π
【详解】如图,作△ABC的外接圆⊙O,△ADE绕点A旋转一周,点P的运动路径是2弧PP′的长.
当AD⊥BD时,∵AB=2AD,∴∠ABD=30°
∵∠ABC=45°
,∴∠OBP=15°
∵OP=OB,∴∠OPB=∠OBP=15°
∴∠POC=∠OPB+∠OBP=30°
当AE′⊥CE′时,同理可得∠BOP′=30°
,∴∠POP′=120°
∵AC=AB=6,∠BAC=90°
,∴BC=AB=12,∴OP=6,
∴弧PP′的长==4π,∴点P的运动路径是8π.故选B.
6.(2019年武汉市)如图,AB是⊙O的直径,M、N是(异于A.B)上两点,C是上一动点,∠ACB的角平分线交⊙O于点D,∠BAC的平分线交CD于点E.当点C从点M运动到点N时,则C.E两点的运动路径长的比是( )
【解答】如图,连接EB.设OA=r.
∵AB是直径,∴∠ACB=90°
,∵E是△ACB的内心,
∴∠AEB=135°
,∵∠ACD=∠BCD,∴=,∴AD=DB=r,∴∠ADB=90°
易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上,运动轨迹是,点C的运动轨迹是,
∵∠MON=2∠GDF,设∠GDF=α,则∠MON=2α
∴==.故选:
A.
7.在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动.当E,F分别在边DC,CB上移动时,连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动,使得点P也随之运动,若AD=2,则线段CP的最小值为.
如图:
由于点P在运动中保持∠APD=90°
∴点P的路径是一段以AD为直径的弧,
设AD的中点为O,连接OC交弧于点P,此时CP的长度最小,
在Rt△ODC中,OC=,∴CP=OC﹣OP=.
8.如图,边长为的正方形的顶点、在一个半径为的圆上,顶点、在圆内,将正方形沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动.当点第一次落在圆上时,点运动的路径长为________.
【详解】如图所示:
设圆心为O,连接AO,BO,AC,AE,
∵AB=,AO=BO=,∴AB=AO=BO,
∴△AOB是等边三角形,∴∠AOB=∠OAB=60°
△FAO是等边三角形,∠FAB=2∠OAB=120°
∠DAF=120°
-90°
=30°
,即旋转角为30°
∴∠EAC=30°
,∠GFE=∠FAD=120°
,∵AD=AB=,∴AC=2,
∴当点C第一次落在圆上时,点C运动的路径长为=()π;
故答案为:
()π
9.如图,BC是⊙O的直径,BC=,D,E是直径BC上方半圆上不与B、C重合的两点,且∠DOE=90°
,△ABC的内心为P,当点A在弧DE上从点D运动到点E时,点P运动的路径长是
【详解】如图,作OT⊥BC交⊙O于T,连接BT,TC,以T为圆心,TB为半径作⊙T,在优弧BC上取一点G,连接BG,CG,
∵BC是直径,∴∠BAC=90°
∵P是△ABC的内心,∴∠CPB=90°
+∠BAC=135°
∵OT⊥BC,OC=OB,∴TC=TB,∠CTB=90°
,∴∠CGB=∠CTB=45°
.∴∠CPB+∠G=180°
.∴点B,P,C,G四点共圆,∴点I的运动轨迹是弧MN,由题意可知∠DTE=∠DOE=45°
.在Rt△BCT中,BC=,∴TB=TC=2.∴TB=TM=2.
∴点P的运动路径长为.故填.
10.如图,已知点D,E是半圆O上的三等分点,C是弧DE上的一个动点,连结AC和BC,点I是△ABC的内心,若⊙O的半径为3,当点C从点D运动到点E时,点I随之运动形成的路径长是_____.
【详解】如图,连接AI,BI,作OT
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- 专题 三十二 有关 圆弧 路径 轨迹 问题 探究 答案