实际问题与二元一次方程组题型归纳Word格式文档下载.docx
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(1)解实际应用问题必须写“答”,而且在写答案前要根据应用题的实际意义,检查求得的结果是否合理,不符合题意的解应该舍去;
(2)“设”、“答”两步,都要写清单位名称;
(3)一般来说,设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
(4)列方程组解应用题应注意的问题
1弄清各种题型中基本量之间的关系;
②审题时,注意从文字,图表中获得有关信息;
③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写,设未知数和写答案都要带单位,列方程组与解方程组时,不要带单位;
④正确书写速度单位,避免与路程单位混淆;
⑤在寻找等量关系时,应注意挖掘隐含的条件;
⑥列方程组解应用题一定要注意检验。
知识点三:
列方程组解应用题中常用的基本等量关系
类型一:
列二元一次方程组解决——行程问题
(1)追击问题:
追击问题是行程问题中很重要的一种,它的特点是同向而行。
这类问题比较直观,
画线段,用图便于理解与分析。
其等量关系式是:
两者的行程差=开始时两者相距的路程;
;
(2)相遇问题:
相遇问题也是行程问题中很重要的一种,它的特点是相向而行。
这类问题也比较直观,因而也画线段图帮助理解与分析。
这类问题的等量关系是:
双方所走的路程之和=总路程。
(3)航行问题:
①船在静水中的速度+水速=船的顺水速度;
2船在静水中的速度-水速=船的逆水速度;
3顺水速度-逆水速度=2×
水速。
注意:
飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行,解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。
例1.甲、乙两地相距160千米,一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行,1小时20分
相遇.相遇后,拖拉机继续前进,汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回,在汽车再次出发
半小时后追上了拖拉机.这时,汽车、拖拉机各自行驶了多少千米?
思路点拨:
画直线型示意图理解题意:
(1)这里有两个未知数:
①汽车的行程;
②拖拉机的行程
(2)有两个等量关系:
1相向而行:
汽车行驶小时的路程+拖拉机行驶小时的路程=160千米;
2
答:
汽车行驶了165千米,拖拉机行驶了85千米.
总结升华:
根据题意画出示意图,再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系,是行程问题的常用的解决策略。
【变式1】甲、乙两人相距36千米,相向而行,如果甲比乙先走2小时,那么他们在乙出发
2.5小时后相遇;
如果乙比甲先走2小时,那么他们在甲出发3小时后相遇,甲、乙两人每小时各走多少千米?
【变式2】两地相距280千米,一艘船在其间航行,顺流用14小时,逆流用20小时,求船在静水中的速度和水流速度。
类型二:
列二元一次方程组解决——工程问题
工程问题:
工作效率×
工作时间=工作量.
例2.一家商店要进行装修,若请甲、乙两个装修组同时施工,8天可以完成,需付两组费用共
3520元;
若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可完成,需付两组费用共3480元,问:
(1)甲、乙两组工作一天,商店应各付多少元?
(2)已知甲组单独做需12天完成,乙组单独做需24天完成,单独请哪组,商店所付费用最少?
本题有两层含义,各自隐含两个等式,第一层含义:
若请甲、乙两个装修组同时施
工,8天可以完成,需付两组费用共3520元;
第二层含义:
若先请甲组单独做6天,再请乙组单独做12天可完成,需付两组费用共3480元。
设甲组单独做一天商店应付x元,乙组单独做一天商店应付y元,由第一层含义可得方程8(x+y)=3520,由第二层含义可得方程6x+12y=3480.
解:
(1)设甲组单独做一天商店应付x元,乙组单独做一天商店应付y元,依题意得:
解得
甲组单独做一天商店应付300元,乙组单独做一天商店应付140元。
(2)单独请甲组做,需付款300×
12=3600元,单独请乙组做,需付款24×
140=3360元,故请乙组单独做费用最少。
请乙组单独做费用最少。
工作效率是单位时间里完成的工作量,同一题目中时间单位必须统一,一般地,将工作总量设为1,也可设为a,需根据题目的特点合理选用;
工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。
【变式】小明家准备装修一套新住房,若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元;
若甲公司单独做4周后,剩下的由乙公司来做,还需9周完成,需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成,从节约开支的角度考虑,小明家应选甲公司还是乙公司?
请你说明理由.
类型三:
列二元一次方程组解决——商品销售利润问题
(1)利润=售价-成本(进价);
(2);
(3)利润=成本(进价)×
利润
率;
定价=成本(进价)×
(1+利润率);
(5)实际售价=标价×
打折率;
“商品利润=售价-成本”中的右边为正时,是盈利;
为负时,就是亏损。
打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售。
(例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十)例3.有甲、乙两件商品,甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元。
价格调整后,甲商品的利润率为4%,乙商品的利润率为5%,共可获利44元,则两件商品的进价分别是多少元?
思路点拨:
做此题的关键要知道:
利润=进价×
利润率
甲商品的进价为x元,乙商品的进价为y元,由题意得:
,解得:
两件商品的进价分别为600元和400元。
【变式1】
(2011湖南衡阳)李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜,共获利18000
元,其中甲种蔬菜每亩获利2000元,乙种蔬菜每亩获利1500元,李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩?
变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品,销售完后共获利6万元,其进价和售价如下表:
A
B
进价(元/件)
1200
1000
售价(元/件)
1380
(4)(注:
获利=售价—进价)求该商场购进A、B两种商品各多少件;
类型四:
列二元一次方程组解决——银行储蓄问题
(1)基本概念
①本金:
顾客存入银行的钱叫做本金。
②利息:
银行付给顾客的酬金叫做利息。
③本息和:
本金与利息的和叫做本息和。
④期数:
存入银行的时间叫做期数。
⑤利率:
每个期数内的利息与本金的比叫做利率。
⑥利息税:
利息的税款叫做利息税。
(2)基本关系式
①利息=本金×
利率×
期数
3本息和=本金+利息=本金+本金×
期数=本金×
(1+利率×
期数)
4利息税=利息×
利息税率=本金×
期数×
利息税率。
5税后利息=利息×
(1-利息税率)⑤年利率=月利率×
12⑥
免税利息=利息
例4.小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用,现在以两种方式在银行共存了2000元钱,一种是年利率为2.25%的教育储蓄,另一种是年利率为2.25%的一年定期存款,一年后可取出2042.75元,问这两种储蓄各存了多少钱?
(利息所得税=利息金额×
20%,教育储蓄没有利息所得税)
设教育储蓄存了x元,一年定期存了y元,我们可以根据题意可列出表格:
设存一年教育储蓄的钱为x元,存一年定期存款的钱为y元,则列方程:
,解得:
存教育储蓄的钱为1500元,存一年定期的钱为500元.
总结升华:
我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时,有时候不容易找出其等量关系,这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系,题目中的相等关系随之浮现出来.
【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元,一年后全部取出,扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%,问这两种储蓄的年利率各是百分之几?
(注:
公民应缴利息所得税=利息金额×
20%)
4000元钱.
变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用,在银行同时用两种方式共存了第一种,一年期整存整取,共反复存了3次,每次存款数都相同,这种存款银行利率为年息2.25%;
第二种,三年期整存整取,这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计
利息税),问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元?
类型五:
列二元一次方程组解决——生产中的配套问题解这类问题的基本等量关系是:
总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。
例5.某服装厂生产一批某种款式的秋装,已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖
5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗),应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套?
本题的第一个相等关系比较容易得出:
衣身、衣袖所用布料的和为132米;
第二个
相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的,即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍(注意:
别
把2倍的关系写反了).
设用米布料做衣身,用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套,根据题意,得:
用60米布料做衣身,用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.总结升华:
生产中的配套问题很多,如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等.各种配套都有数量比例,依次设未知数,用未知数可把它们之间的数量关系表示出来,从而得到方程组,使问题得以解决,确定等量关系是解题的关键.
【变式1】现有190张铁皮做盒子,每张铁皮做8个盒身或22个盒底,一个盒身与两个盒底配
成一个完整盒子,问用多少张铁皮制盒身,多少张铁皮制盒底,可以正好制成一批完整的盒子?
【变式2】某工厂有工人60人,生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品,每人每天生产螺栓14个或螺母20个,应分配多少人生产螺栓,多少人生产螺母,才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。
【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成,如果1立方米木料可以做桌面50个,或做桌
腿300条。
现有5立方米的木料,那么用多少立方米木料做桌面,用多少立方米木料做桌腿,做出
的桌面和桌腿,恰好配成方桌?
能配多少张方桌?
类型六:
列二元一次方程组解决——增长率问题
解这类问题的基本等量关系式是:
原量×
(1+增长率)=增长后的量;
(
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- 实际问题 二元 一次 方程组 题型 归纳
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