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引言5
1小车位顺利停车5
1.1方案一的建立和求解6
1.2方案二的建立和求解8
1.3讨论结果及其分析9
2小车位中合理停车9
2.1问题分析9
2.2方案一的建立和求解10
2.3方案一的结果分析11
2.4方案二的建立和求解11
2.5方案二的进一步优化14
结束语16
参考文献17
致谢18
魏治杰
指导老师:
胡建伟
(黄山学院数学与统计学院,黄山,安徽245041)
摘要:
随着社会经济的高速发展,汽车的需求量一直在与日俱增。
相应的,总的来说汽车所要占据的空间也越来越大,对城市居民的生活产生的影响也越来越严重。
怎样在狭窄的空间里把车顺利的停放在合适的位置,使得停车空间得到充分的利用,是当前社会亟待需要解决的问题。
本文通过建立相应的数学模型,利用简单的几何知识对此问题做了一个浅显的探究。
从不同的角度,建立不同的模型,做出一定的假设和对模型的一些细节的理想化,从而得出相应合理的方案。
关键词:
侧位停车;
转弯半径;
合理方案;
数学模型
StudyoftheReasonableSolutiontotheSideParking
ZhijieWei
Instructor:
JianweiHu
(Schoolofmathematicsandstatistics,HuangshanUniversity,Anhui,China,245041)
Abstract:
Withtherapiddevelopmentofthesocialeconomy,thedemandofthecarhasbeenincreasing.Accordingly,thecaroccupiesmoreandmorespaceandplaysamoreimportantroleoncitizens'
life.Inthenarrowspace,howtoparkthecarintherightpositionsmoothlyandtomakefulluseoftheparkingspacearethecurrentsocialproblemsthatneedtobesolvedquickly.Bytheestablishmentofmathematicalmodel,thisarticleusessimplegeometricknowledgetoexplorethisissuefromaplainlevel.Wecansolvetheproblemfromdifferentangles,settingupdifferentmodels,makingcertainassumptions,idealizingsomedetailsofthemodelandthenobtainingthecorrespondingreasonablescheme.
KeyWords:
sideaparking;
Turningradius;
reasonablesolution;
mathematicalmodeling
引言
本文讨论的是在狭小的空间里把车停放在合适的位置,或在短小的停车位上侧位停车,一直是考验驾照员技术与信心的问题。
对侧位停车而言,⑴在空位较短的时候,建立合适的模型,判断车子能否停入;
⑵在一定的车位上,怎样选则合适的位置和角度才能将车停入。
方案的假设:
1、地面时平坦的;
2、车身可以看作为一个长方体,侧位停车过程中,汽车的运动轨迹可近似为是相应的几何体(长方体)的中心的运动轨迹;
3、车轮与地面无打滑情况发生;
4、汽车转弯行驶时,所有的运动轨迹均似为标准圆弧;
5、停车为是长方形的形状,汽车的车体得的长宽给定,是常数;
6、汽车的最小转弯半径和前轮最大转角由汽车本身所确定,为常数;
7、停车时汽车的速度可近似为零,缓慢行驶,无惯性;
8、汽车在侧位停车前与车位保持平行,且汽车与车位之间有一定的安全距离;
9、为了研究方便,我们假定汽车几何体的中心在轴上,车位底边在轴上。
基本符号说明:
符号
表示意义
停车位的长度
汽车题的长度
停车位的宽度
汽车体的宽度
汽车的最小转弯半径
汽车前轮的最大偏转角
1、小车位顺利停车
已知:
车位长,车位宽,车长,车宽,汽车的最小转弯半径,前轮的最大偏转角,汽车与后车障碍物的最小允许安全距离为,前后车轴距为,车尾部与后轮距的距离等参数。
要求:
建立合理模型,以判断本车是否能在该处侧位停车。
分析:
对该问题建立合理模型,从而判断本车是否能在该处的车位顺利地进行侧位停车,即判断出汽车能否顺利进入停车的区域。
根据日常的操作经验及简单的几何分析可知,停车位的尺寸即长度和宽度必须大于车辆的长度和宽度。
更加重要的是一个合适的车位还应该考虑到停车的可操作性,即驾驶员可以通过正常操作程序的驾驶,将汽车无碰撞地驶入固定的车位。
侧位停车的轨迹路线是一个可逆的路线,为了方便研究,可以从侧位停车的过程的逆过程进行模型建立,即将车辆无碰撞地驶出停车位的过程。
1.1方案一的建立和求解
图1-1-1侧位停车的车位长度大小示意图
如上图,一辆长为,宽为的小车停在车和车两车之间。
为了让车辆能驶出停车位,首先将小车后倒退至与车距离为m(即与后车障碍物的最小安全距离)的位置,而后把方向盘向左打满舵,使小车前轮向左侧偏转到最大角度,小车缓慢前进,直到小车右前角到达与停车位的左边缘线平行的位置,即图1-1-1中的位置;
最后,小车可以继续前进离开车位。
从图中可以看出,要确保小车驶出时不与,车碰撞,则停车位的长度应该满足以下条件:
(1-1-1)
其中的定义如图1-1-1所示。
因小车转弯行驶时,可看作是围绕某一点作圆弧运动。
在图1-1-1中,点是小车运动轨迹的圆心点,点及是小车后轮轴的中点和前轮轴的中点。
记是前后车轴距的长,的大小等于前轮偏转角度,线段的长度定义为最小转弯半径,是线段的长度,是线段的长度。
则由简单的几何关系,可列出以下等式:
(1-1-2)
综合以上的(1-1-1)、(1-1-2)两个式子可得,侧方位停车时的车位的最小长度为:
(1-1-3)
对于侧方位停车的车位的宽度要求,如下图(1-1-2)所示:
图1-1-2车位宽度分析示意图
小车右边后角移动至延长线上的点时,与车位右边的距离应该大于(即与路边障碍物的最小安全距离)。
设线段或的长度为,线段长度为。
车位的宽度满足以下条件:
(1-1-4)
从几何关系列出以下等式:
(1-1-5)
则由(1-1-4)、(1-1-5)和(1-1-2)式可得,侧位停车时候,车位最小宽度为:
(1-1-6)
1.2方案二的建立和求解
极限转弯最远点值的确定如图1-2-1所示,代表侧位停车起始位置,代表车位走势,把方向盘转到极限位置后,以最小的转弯半径且较低的速度转弯。
图1-2-1极限转弯最远点值得计算示意图
汽车最小转弯半径为,车宽,车长。
车辆中心点距车位右前角点距离为,则可计算得出极限转弯最远点的值。
根据实际生活中的经验,当车辆到达位置时,车声方向与车位的夹角为,则
(1-2-1)
现在来确定最小停车位空间的大小。
侧位停车开始时车辆放于点,缓慢行驶到点,此时恰好是内侧车头不与前方车辆碰撞的位置状态。
在这个时候驾驶员反向转动方向盘至极限位置。
当到达点时,为防止车尾与后方障碍物、右车轮与右侧路边相碰撞,则取定车尾与后方障碍物、车身与右侧路边障碍物距离为,则如图所表示:
图1-2-2侧位停车最小停车位空间示意图
由简单的几何知识可知:
(1-2-2)
(1-2-3)
其中为汽车最小转弯半径,为车宽度,为泊车预备时候车距离车道实线的最小安全距离,为(1-2-1)式子所确定,单位:
米。
1.3讨论结果及其分析
由以上两模型的分析可知,只有当车位长大于且车位宽度大于时,车辆才能在该处侧位停车,否则本车不能在该处侧位停车。
现假设车长米,车宽米,米,米,,米。
则由模型一得出车位的最小长度为米,大约为车长度的倍。
车位的最小宽度为米,这与小车宽度相近。
从这里可以看出,停车位尺寸大于汽车尺寸只是车能停入的一个必要条件,即使满足停车位尺寸大于汽车尺寸也不一定能顺利侧位停车。
2、小车位合理停车
2.1方案一的分析与建立
该问题要求给出停车侧位的初始位置和角度,并将理想线路以及允许的偏差显示在图上。
由前面的假设可知,满足动力学模型约束条件的汽车,其运动轨迹可似为若干相切圆弧的组合(直线可看作半径无限大的圆弧)。
汽车的状态可用其位置坐标和车身偏向角表示,即状态变量,停车过程是汽车从初始状态转换到目的状态的过程。
从日常的操作经验及一定的几何分析可知,侧位停车的最理想的线路是由两个相切圆弧组成的‘S’型路径,并且目标位置为车位的正中央。
包括以下两种情况:
1、相切圆弧的半径为汽车的最小转弯半径;
2、两圆相切且切点固定。
首先,分别就这两种情况建立模型。
2.2方案一的建立与求解
问题分析:
如图2-1-1所示,汽车的初始位置在处,目标位置在(,)处。
汽车首先把方向盘向右打满舵,使前轮向右偏转到最大值,从而使汽车以最小的转弯半径缓慢倒退向右运动,且汽车运动的圆心为;
当汽车到达切点以后,汽车的车身的偏向角即与平行路面的夹角为。
此时,改变方向盘方向,使前轮向左偏转到最大值,汽车以最小的转弯半径缓慢后退向左运动且汽车运动轨迹的圆心为,最终汽车驶入停车位位置。
图2-1-1
方案的建立与求解:
由图2-1-1中的几何关系可知:
(2-1-1)
(2-1-2)
消去可得,从而的坐标为。
同时还能求出汽车在处的偏向角。
此时,汽车从初始位置在到目标位置的停车线路如图2-1-1中所示。
2.3方案一的结果分析:
汽车要从理想线路到达车位正中央位置,应从上面所求得的处开始进入,把前轮向右偏转到最大值,使汽车以最小的转弯半径缓慢向右运动;
当汽车偏向角达到时,改变方向盘方向,使前轮向左偏转到最大值,汽车以最小的转弯半径向左运动,最终汽车驶入停车位的正中央位置。
2.4方案二的建立与求解
首先考虑汽车转弯时的转弯半径,转弯宽度和内轮差问题(如图2-2-1)
图2-2-1
由实际生活经验可知,现实生活中的汽车普遍都是前轮转弯,在转弯的每一时刻都是围一个中心点做圆弧行驶,它的位置在全部车轮的速度方向(向量)垂线的相交点上。
将方向盘向左(右)转到底的时候,汽车绕圆周行驶其半径最小,对此称为汽车最小的转弯半径,也就是前文所说的转弯半径。
根据图2-2-1及相应的几何知识可知,轮的转弯半径为:
(2-2-1)
有如图2-2-2可知,转弯半径的大小与汽车本身的结构有关,前轮转向角大,车身短的转弯半径小,否则转弯半径大。
转弯半径的大小决定了汽车转向机动性。
图2-2-2
图2-2-3
根据转弯半径的公式以及解放牌和跃进汽车参数算得一些最小转弯半径及内轮差
表2-2-1单位:
米
车型
轴距
内轮差
解放CA10B
4
9.2
1
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- 浅析 停车 合理