人教版高中数学选修4414《坐标系》章末回顾Word下载.docx
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(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求经过⊙O1,⊙O2交点的直线的直角坐标方程.
【知识点】极坐标与直角坐标互化
【数学思想】转化与化归的思想
【解题过程】以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.
(1)x=ρcosθ,y=ρsinθ,由ρ=4cosθ,
得ρ2=4ρcosθ,
所以x2+y2=4x.
即x2+y2-4x=0为⊙O1的直角坐标方程,
同理x2+y2+4y=0为⊙O2的直角坐标方程.
(2)由解得或
即⊙O1,⊙O2交于点(0,0)和(2,-2),
故过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.
【思路点拨】极坐标方程化为直角坐标方程时通常通过构造ρcosθ,ρsinθ,的形式进行整体代换,其中方程两边同乘以ρ或同时平方是常用的变形方法,要注意变形的等价性.
【答案】
(1)⊙O1x2+y2-4x=0,⊙O2x2+y2+4y=0;
(2)y=-x.
例3 已知定点A(a,0),动点P对极点O和点A的张角∠OPA=.在OP的延长线上取点Q,使|PQ|=|PA|.当P在极轴上方运动时,求点Q的轨迹的极坐标方程.
【知识点】曲线的极坐标方程
【数学思想】坐标法思想
【解题过程】 设Q,P的坐标分别是(ρ,θ),(ρ1,θ1),则θ=θ1.
在△POA中,ρ1=·
sin(-θ),
|PA|=,又|OQ|=|OP|+|PA|,
∴ρ=2acos(-θ).
【思路点拨】求曲线的极坐标的方法和步骤,和求直角坐标方程类似,就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹,将已知条件用曲线上的极坐标(ρ,θ)的关系式f(ρ,θ)=0表示出来,就得到曲线的极坐标方程.
用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系,如果几何关系不容易通过极坐标表示时,可以先化为直角坐标方程,将不熟悉的问题转化为熟悉的问题.
【答案】ρ=2acos(-θ)
三、检测题
(一)、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.以直角坐标系的O为极点,轴正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的单位长度,平面内的点的极坐标为(3,4),则在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【解题过程】选C.平面内的点P的极坐标为(3,4),由于,所以P在第三象限.
【思维点拨】由极坐标与直角坐标互化处理,转化到平面直角坐标系中
【答案】C
2.将曲线y=sin2x按照伸缩变换后得到的曲线方程为( )
A.y=3sinx B.y=3sin2x
C.y=3sinxD.y=sin2x
【解题过程】 由伸缩变换,得x=,y=.
代入y=sin2x,有=sinx′,即y′=3sinx′.
∴变换后的曲线方程为y=3sinx.
【思维点拨】由伸缩变换公式求解
【答案】A
3.有相距m的A、B两个观察站,在A站听到爆炸声的时间比在B站听到时间晚4s.已知当时声音速度为340m/s,则爆炸点所在的曲线为( )
A.双曲线B.直线C.椭圆D.抛物线
【知识点】曲线与方程
【解题过程】 设爆炸点为P,则|PA|-|PB|=4×
340<
1500m,∴P点在以A、B为焦点的双曲线上.
【思维点拨】利用双曲线的定义求解
【答案】 A
4.点P的直角坐标为(1,-),则点P的极坐标为( )
A.(2,)B.(2,)
C.(2,-)D.(2,-)
【解题过程】 因为点P(1,-)在第四象限,与原点的距离为2,且OP与x轴所成的角为-.
【思维点拨】根据点的极坐标的定义求解
【答案】 C
5.已知点的极坐标为,那么过点且垂直于极轴的直线的极坐标方程为()
A.B.C.D.
【知识点】极坐标方程
【数学思想】数形结合
【解题过程】依题意,结合图形可知
【思维点拨】结合图形分析
【答案】D
6.在极坐标系中,点A(2,)与B(2,-)之间的距离为( )
A.1B.2C.3D.4
【知识点】极坐标系
【解题过程】由A(2,)与B(2,-),知∠AOB=,
∴△AOB为等边三角形.因此|AB|=2.
【思维点拨】利用在极坐标系下的图形求解
【答案】B
7.极坐标系中,直线2ρsin(θ+)=2+,与圆ρ=2sinθ的位置关系为( )
A.相离B.相切
C.相交D.以上都有可能
【知识点】直线与圆的位置关系
【解题过程】 直线2ρsin(θ+)=2+与圆ρ=2sinθ的直角坐标方程分别为x+y=+1,x2+(y-1)2=1,
圆心C(0,1)到直线x+y-(+1)=0的距离为d==1,又r=1,所以直线与圆相切.
【思维点拨】转化为直角坐标系下的方程求解
8.椭圆+=1的一个焦点的极坐标为( )
A.(1,0)B.(0,1)
C.(1,)D.(1,π)
【解题过程】 由a2=4,b2=3,∴c2=1,c=1,∴椭圆+=1的焦点直角坐标为(0,1)或(0,-1).∴ρ==1,且θ=.
9.极坐标方程ρ=cosθ化为直角坐标方程为( )
A.(x+)2+y2=B.x2+(y+)2=
C.x2+(y-)2=D.(x-)2+y2=
【解题过程】由ρ=cosθ,得ρ2=ρcosθ,∴x2+y2=x,即(x-)2+y2=.
【思维点拨】利用极坐标与直角坐标互化公式求解
10.圆ρ=4cosθ的圆心到直线tanθ=1的距离为( )
A.B.C.2D.2
【知识点】极坐标方程的应用
【解题过程】 圆ρ=4cosθ的圆心C(2,0),
如右图,|OC|=2,在Rt△COD中,
∠ODC=,∠COD=,
∴|CD|=.
即圆ρ=4cosθ的圆心到直线tanθ=1的距离为.
11.在极坐标系中,设圆ρ=3上的点到直线ρ(cosθ+sinθ)=2的距离为d,则d的最大值为( ).
A.5B.6C.4D.3
【知识点】圆与直线的关系
【解题过程】极坐标方程ρ=3转化成直角坐标方程为x2+y2=9,所以圆心为(0,0),半径为3,ρ(cosθ+)=2转化成直角坐标方程为x+=2.则圆心到直线x+=2的距离d′=1.
【思维点拨】转化为普通方程,找利用极坐标方程与普通方程的关系求解
12.极坐标方程ρ=2sin(θ+)的图形是( )
【解题过程】 法一 圆ρ=2sin(θ+)是把圆ρ=2sinθ绕极点按顺时针方向旋转而得,圆心的极坐标为(1,),故选C.
法二 圆ρ=2sin(θ+)的直角坐标方程为(x-)2+(y-)2=1,圆心为(,),半径为1,故选C.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上)
13.极坐标系中,ρ≥0,过点(1,0)倾斜角为的射线的极坐标方程为________.
【解题过程】 设(ρ,θ)是射线上任意一点,则ρcosθ=1,且0≤θ<
.
【思维点拨】寻找的几何关系,得到等量关系式,从而求出极坐标方程
【答案】 ρcosθ=1,0≤θ<
14.设正弦曲线C按伸缩变换后得到曲线方程为y=sinx,则正弦曲线C的周期为________.
【知识点】伸缩变换、三角函数
【数学思想】变换的思想
【解题过程】 由伸缩变换知3y=sinx,∴y=sinx.∴T==4π.
【答案】
15.曲线ρ=2cosθ-2sinθ(0≤θ<
2π)与极轴的交点的极坐标是____________.
【数学思想】转化思想
【解题过程】 将曲线的方程化为直角坐标系下的方程为,令,得.
【思维点拨】转化为普通方程
【答案】 (0,0)(2,0)
16.极坐标方程)和所表示的曲线围成的图形的面积是____________.
【知识点】极坐标方程、扇形面积
【解题过程】如图所示,
射线)与圆ρ=4围成的图形面积是阴影扇形的面积:
【思维点拨】结合极坐标系中图形求解
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线(x′-5)2+(y′+6)2=1,求曲线C的方程,并判断其形状.
【解题过程】 将代入(x′-5)2+(y′+6)2=1,
得(2x-5)2+(2y+6)2=1,
即(x-)2+(y+3)2=,
故曲线C是以(,-3)为圆心,半径为的圆.
【思维点拨】利用伸缩变换公式求解
【答案】曲线C是以(,-3)为圆心,半径为的圆
18.(本小题满分12分在极坐标系中,已知直线l的极坐标方程为,圆C的圆心的极坐标是,圆的半径为1.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)求直线l被圆C所截得的弦长.
【知识点】极坐标方程、直线与圆的位置关系
【解题过程】
(1)设O为极点,OD为圆C的直径,A(ρ,θ)为圆C上的一个动点,则∠AOD=-θ或∠AOD=θ-,
OA=ODcos或OA=ODcos,
∴圆C的极坐标方程为ρ=2cos.
(2)由ρsin=1,得ρ(sinθ+cosθ)=1,
∴直线l的直角坐标方程为x+y-=0,
又圆心C的直角坐标为,满足直线l的方程,
∴直线l过圆C的圆心,故直线被圆所截得的弦长为直径2.
【思维点拨】化极坐标方程为普通方程,转化为熟悉的知识求解
(1)ρ=2cos;
(2)2
19.(本小题满分12分)已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8,曲线C2的极坐标方程为θ=,曲线C1,C2相交于A,B两点.求A,B两点的极坐标.
【解题过程】由得ρ2cos=8,
所以ρ2=16,即ρ=±
4.
所以A,B两点的极坐标为:
或
【思维点拨】由点极坐标中的几何意义求解
【答案】或
20.(本小题满分12分)在极坐标系中,已知圆C的圆心,半径r=3.
(1)求圆C
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