山西省忻州一中临汾一中长治二中康杰中学届高三数学下学期第四次联考试题B卷理含答案Word文档格式.docx
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由表中数据,求得线性回归方程为,,若某儿童的记忆能力为时,则他的识图能力为
A.9.2B.9.5C.9.8D.10
6.从6个盒子中选出3个来装东西,且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有
A.16种B.18种C.22种D.37种
7.如果的展开式中各项系数之和为128,则展开式中的系数是
A.-7B.7C.-21D.21
8.某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为6的正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是
A.96B.108
C.180D.198
9.如上图所示程序框图中,输出S=
A.45B.﹣55C.﹣66D.66
10.已知函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公
差为的等差数列,把函数的图象沿轴向左平移个单位,得到函数的图象.若在区间上随机取一个数,则事件“”发生的概率为
A.B.C.D.
11.已知抛物线的焦点F到双曲线C:
渐近线的距离为,点P是抛物线上的一动点,P到双曲线C的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为3,则该双曲线的方程为
A.B.C.D.
12.已知函数,若对,均有,则的最小值为
A.B.C.-2D.0
第Ⅱ卷(非选择题90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)
13.设满足约束条件,则的最大值为__________
14.已知是边长为1的正三角形的中心,则__________
15.已知函数的图象如图所示,它与轴在原点相切,且轴与函数图象所围成的区域(如图阴影部分)的面积为,则的值为_________
16.在中,分别为角所对的边,且,若,则__
三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写在答卷纸的相应位置上)
17.(本小题满分12分)
已知数列的前项和为,且
(1)求数列的通项公式;
(2)若,且数列{}的前项和为,求证:
。
18.(本小题满分12分)
组别
PM2.5(微克/立方米)
频数(天)
频率
第一组
(0,15]
4
0.1
第二组
(15,30]
12
0.3
第三组
(30,45]
8
0.2
第四组
(45,60]
第五组
(60,75]
第六组
(75,90)
根据国家《环境空气质量标准》规定:
居民区中的PM2.5(PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称可入肺颗粒物)年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据,数据统计如下:
(1)写出该样本的众数和中位数(不必写出计算过程);
(2)求该样本的平均数,并根据样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境是否需要改进?
说明理由;
(3)将频率视为概率,对于去年的某2天,记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为,求的分布列及数学期望和方差.
19.(本小题满分12分)
在四棱锥中,底面是直角梯形,,,平面⊥平面
(1)求证:
⊥平面;
(2)求平面与平面所成的锐二面角的大小.
20.(本小题满分12分)
已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为.以原点
为圆心,椭圆的短轴长为直径的圆与直线相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图,若斜率为的直线与轴、椭圆顺次相交于(点在椭圆右顶点的右侧),且.求证直线恒过定点,并求出斜率的取值范围.
21.(本小题满分12分)
设函数
(1)求的单调区间;
(2)若为整数,且当时,恒成立,其中为的导函数,求的最大值.
选做题:
请考生从第22、23、24三题中任选一题作答。
注意:
只能做所选定的题目。
如果多做,则按所做的第一个题目计分.做答时请写清题号
22.(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图,的两条中线和相交于点,且四点共圆.
;
(2)若,求.
23.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线C的参数方程为(其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系中,直线的极坐标方程为.
(1)求C的普通方程和直线的倾斜角;
(2)设点(0,2),和交于两点,求.
24.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知
(1)若,求不等式的解集;
(2)对有恒成立,求实数的取值范围.
数学(理)答案
一.B卷:
ABDCBADCBCDA
二.3-1
17.
(1)当时有……………………………1分
所以,当时有,………………………………………3分
又符合上式,所以…………………………………4分
(2)………………………………8分
所以………………………………………………………………11分
所以……………………………………………………………………………12分
18.
(1)众数为22.5微克/立方米,中位数为37.5微克/立方米.………4分
(2)去年该居民区PM2.5年平均浓度为(微克/立方米).因为,所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准,
故该居民区的环境需要改进.…………………………………………7分
(3)记事件表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”,
则.随机变量的可能取值为0,1,2.且.
所以,所以变量的分布列为
1
2
10分
(天),或(天)……11分
12分
19.解:
(1)证明:
因为,所以AB⊥BC
因为平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,AB平面ABCD,
所以AB⊥平面PBC.…………4分
(2)如图,取BC的中点O,连接PO,因为PB=PC,所以PO⊥BC.因为PB=PC,所以PO⊥BC,因为平面PBC⊥平面ABCD,所以PO⊥平面ABCD.以O为原点,OB所在的直线为x轴,在平面ABCD内过O垂直于BC的直线为y轴,OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系O-xyz.
不妨设BC=2.由AB=PB=PC=BC=2CD得,.6分
所以,设平面PAD的法向量为.因为,所以令,则.所以.
8分
取平面BCP的一个法向量,9分
所以11分
所以平面ADP与平面BCP所成的锐二面角的大小为…………12分
20.
(1)由题意知e==,∴e2===,即a2=2b2.又∵b==1,∴a2=2,b2=1,∴椭圆方程为+y2=1.4分
(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+m(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).
由得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0.
由Δ=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-2)>0,得m2<2k2+1,
则有x1+x2=,x1x2=.7分
∵∠NF2F1=∠MF2A,
且∠MF2A≠90°
,kMF2+kNF2=0.
又F2(1,0),则+=0,即+=0,
化简得2kx1x2+(m-k)(x1+x2)-2m=0.
将x1+x2=,x1x2=代入上式得m=-2k,9分
∴直线l的方程为y=kx-2k,即直线过定点(2,0).10分
将m=-2k代入m2<2k2+1,
得4k2<2k2+1,即k2<,又∵k≠0,
∴直线l的斜率k的取值范围是∪.12分
21.
(1)函数f(x)=ex-ax-2的定义域是R,f′(x)=ex-a,1分
若a≤0,则f′(x)=ex-a≥0,所以函数f(x)=ex-ax-2在(-∞,+∞)上单调递增2分
若a>0,则当x∈(-∞,lna)时,f′(x)=ex-a<0;
当x∈(lna,+∞)时,f′(x)=ex-a>0;
所以,f(x)在(-∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)上单调递增。
5分
(2)由于a=1,
7分
令,,
令,在单调递增,9分
且在上存在唯一零点,设此零点为,则
当时,,当时,
,11分
由,又
所以的最大值为212分
(22)选修:
本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力等,考查化归与转化思想等.满分10分.
解法一:
(Ⅰ)连结,因为四点共圆,则.2分
又因为为△的两条中线,
所以分别是的中点,故∥.3分
所以,4分
从而.5分
(Ⅱ)因为为与的交点,
故为△的重心,延长交于,
则为的中点,且.6分
在△与△中,因为,,
所以△∽△,7分
所以,即.9分
因为,,,
所以,即,
又,所以.10分
解法二:
(Ⅰ)同解法一.5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,
因为四点共圆,所以,6分
所以∽,所以,7分
由割线定理,,9分
又因为是的中线,所以是的重心,
所以,又,
所以,所以,
所以,因为,所以.10分
23.解法一:
(Ⅰ)由消去参数,得,2分
由,得,(*)3分
将代入(*),化简得,4分
所以直线的倾斜角为.5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,点在直线上,可设直线的参数方程为(为参数),
即(为参数),7分
代入并化简,得.8分
.设两点对应的参数分别为,
则,所以9分
所以.10分
解法二:
(Ⅰ)同解法一.5分
(Ⅱ)直线的普通方程为.
由消去得,7分
于是.
设,则,所以.
故.10分
24.
(1)因为,所以有
当时,有,所以2分
当时,有.3分
当时,有,所以4分
综上所述,原不等式的解集为或}5分
(2)由题意可得7分
又8分
当且仅当时取等号9分
所以有即的取值范围时或10分
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