广义积分的收敛判别法Word格式.docx

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比较判别法：

定理（无限区间上的广义积分）设在[a,+）上恒有（k为正常数）

则当收敛时,也收敛;

当发散时,也发散．

由Cauchy收敛原理马上得结论成立．

对瑕积分有类似的结论判别法

定理设f（x）,g（x）均为[a,b）上的非负函数，b为两个函数的奇点，如存在一个正常数k,使

[a,b）,则

1）如收敛，则也收敛。

2）如发散，则也发散．

比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式．

定理如果f（x）,g（x）是[a,+上的非负函数,且则

（1）如果,且收敛,则积分也收敛．

（2）如果,且发散，则积分也发散．

如果则对于,存在A,

当时,

即成立.显然与同时收敛或同时发散，在l=0或l=时，可类似地讨论.

使用同样的方法，我们有

定理对以b为唯一瑕点的两个瑕积分与如果f（x）,g（x）是非负函数，且则

（1）当,且收敛时，则也收敛．

（2）当，且发散时，则也发散．

对无限区间上的广义积分中，取作比较标准，则得到下列Cauchy判别法：

设f（x）是[a,+的函数，在其任意闭区间上可积,那么:

定理　若0f（x），p>

1,那么积分收敛，如f（x），p1,则积分发散．

其极限形式为

定理如（,p>

1）,则积分收敛．

如,而,1,则　发散.

例判断下列广义积分的收敛性。

（1）

（2）（m>

0,n>

0）

解：

（1）因为0

由收敛推出收敛．

（2）因为所以当n－m>

1时，积分收敛.当n－m1时，积分发散．

对于瑕积分，使用作为比较标准，我们有下列柯西判别法．

定理　设x=a是f（x）在[a,b上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积,那么

（1）如0f（x）（c>

0）,p<

1,则收敛．

（2）如f（x）（c>

0）,p1,则发散．

瑕积分的Cauchy判断法的极限形式为

定理设

如0k<

p<

1,则收敛

如0<

k,p1,那么发散．

例判别下列瑕积分的敛散性。

（1）（k2<

1）

（2）（p,q>

（1）1是被积函数的唯一瑕点

因为=

由知瑕积分收敛．

（2）0与都是被积函数的瑕点．

先讨论由

知:

当p<

1时,瑕积分收敛;

当p1时,瑕积分发散．

再讨论

因

所以当q<

1时,瑕积分收敛，

当q1时，瑕积分发散．

综上所述，当p<

1且q<

其他情况发散．

例求证:

若瑕积分收敛，且当时函数f（x）单调趋向于+，则xf（x）=0.

不妨设,f（x）0,且f（x）在（0,1）上单调减少。

已知收敛，由柯西收敛准则，有

（<

1）,有

从而

0<

或

xf（x）

即xf（x）=0.

例求证瑕积分（>

0）,当<

时收敛

当时发散.

证明:

∵=

=

所以当3<

1时，即<

时，瑕积分收敛．当31，即时，瑕积分发散．

前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论，我们先给出下面的重要结果．

定理（积分第二中值定理）设g（x）在[a,b]上可积，f（x）在[a,b]上单调，则存在ξ[a,b]　使

为了证明定理，我们先讨论下列特殊情况．

引理设f（x）在[a,b]上单调下降并且非负，函数g（x）在[a,b]上可积，则存在c[a,b]，使

=f（a）

作辅助函数=f（a）对[a,b]的任一分法

P:

a=x0<

x1<

x2<

…<

xn=b

我们有

由此得到

|－|

=||

△xi

这里L是|g（x）|在[a,b]的上界,是在上的振幅，从这个估计式可知,当时,应当有

我们来证明

为此，引入记号

G（x）=

并作如下变换

=　　　（）　　

因为,,

所以

=

{}

同样可证

我们证明了不等式

即

现令|p|,取极限，就得到

因此，存在c[a,b]，使得

=　（因为在［］上是连续函数）

也就是=证毕

下面我们证明定理

如f（x）是单调下降的，则f（x）－f（b[a,b,使

即

对f（x）单调上升的情形，可作类似讨论.

使用积分第二中值定理，我们得到下列一般函数的广义积分敛散性的判别法

定理　若下列两个条件之一满足，则收敛

（1）（Abel判别法）收敛，g（x）在[a,]上单调有界;

（2）（Dirichlet判别法）设F（A）=在[a,]上有界，g（x）在[a,上单调,且g（x）=0.

（1）,设|g（x）|M，[a,）,因收敛，由Cauchy收敛原理，,使时,有

由积分第二中值定理，我们得到

+=

再由Cauchy收敛原理知收敛

（2）设M为F（A）在[a,+上的一个上界，则,显然有

同时,因为g（x）=0，所以存在,当x>

A0时,有

g（x）|<

于是，对有

+=

由Cauchy收敛原理知收敛

例讨论广义积分的敛散性，

令f（x）=,g（x）=cosx

则当x时，f（x）单调下降且趋于零，

F（A）==在[a,上有界．

由Dirichlet判别法知收敛，

另一方面

因发散，收敛

从而非负函数的广义积分发散

由比较判别法知发散，

所以条件收敛

例讨论广义积分的敛散性．

由上一题知，广义积分收敛,而arctanx在[a,+上单调有界，所以由Abel判别法知收敛。

另一方面,当时,有

前面已证发散

由比较判别法知发散,所以条件收敛.

对瑕积分也有下列形式的Abel判别法和Dirichlet判别法

定理若下列两个条件之一满足，则收敛：

（b为唯一瑕点）

（1）（Abel判别法）收敛,g（x）在[a,上单调有界

（2）（Dirichlet判别法）=在[a,上有界,g（x）在（上单调,且.

（1）只须用第二中值定理估计

2）的证明.

例讨论积分（0<

p2）的敛散性

解:

对于0<

p<

1,因为

由收敛知

绝对收敛敛

对于0p<

2,因为函数f（x）=,当时单调趋于0,而函数

g（x）=

满足

所以积分

收敛.

但在这种情况下,

是发散的,

事实上

由

因发散,收敛,知发散

从而当0p<

2时,积分条件收敛.最后我们讨论p=2的情形,

因为

当时,上式无极限,所以积分发散.

值得注意的是,两种广义积分之间存在着密切的联系,设中x=a为f（x）的瑕点,作变换y=,则有=而后者是无限区间上的广义积分.

习题

1、论下列积分的敛散性（包括绝对收敛，条件收敛，发散）

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）；

（9）；

（10）；

（11）；

（12）．

2．证明：

若瑕积分收敛，且当时，函数f（x）单调趋于+，则xf（x）=0．

3.若函数f（x）在有连续导数f/（x），且无穷积分与都收敛，则f（x）=0．

4.设f（x）在上可导，且单调减少，f（x）=0,求证:

收敛收敛．

5.证明：

若函数f（x）在上一致连续，且无穷积分收敛，则f（x）=0．

6.求证：

若无穷积分收敛，函数f（x）在内单调，则f（x）=o（）．

7.计算下列广义二重积分的值．

（1）其中D=；

（3）,并由此证明.

8、讨论下列广义重积分的敛散性．

（1）,；

（2）．