高考数学大一轮复习第十一章概率随机变量及其分布114二项分布及其应用教师用书Word文件下载.docx

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　）

（3）对于任意两个事件，公式P（AB）＝P（A）P（B）都成立．（　×

（4）二项分布是一个概率分布，其公式相当于（a＋b）n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.（　×

1．甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（　　）

A.B.C.D.

答案　B

解析　设事件A：

甲实习生加工的零件为一等品；

事件B：

乙实习生加工的零件为一等品，

则P（A）＝，P（B）＝，

所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为

P（A）＋P（B）＝P（A）P（）＋P（）P（B）

＝×

（1－）＋（1－）×

＝.

2．（教材改编）小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是（　　）

答案　A

解析　所求概率P＝C·

（）1·

（1－）3－1＝.

3．（教材改编）国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙去北京旅游的概率为，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．

答案　

解析　记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A，“乙去北京旅游”为事件B，又P（）＝P（）·

P（）＝[1－P（A）][1－P（B）]＝（1－）（1－）＝，

“甲、乙二人至少有一人去北京旅游”的对立事件为“甲、乙二人都不去北京旅游”，故所求概率为1－P（）＝1－＝.

4．（教材改编）抛掷两枚骰子，当至少一枚5点或一枚6点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中成功次数的均值为________．

解析　抛掷两枚骰子，当两枚骰子不出现5点和6点时的概率为×

＝，所以至少有一次出现5点或6点的概率为1－＝，用X表示10次试验中成功的次数，则X～B（10，），E（X）＝10×

题型一　相互独立事件的概率

例1　（2016·

青岛模拟）为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过22千米的地铁票价如下表：

乘坐里程x（单位：

km）

0<

x≤6

6<

x≤12

12<

x≤22

票价（单位：

元）

3

4

5

现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22千米．已知甲、乙乘车不超过6千米的概率分别为，，甲、乙乘车超过6千米且不超过12千米的概率分别为，.求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率．

解　由题意可知，甲、乙乘车超过12千米且不超过22千米的概率分别为，，

则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率

P1＝×

＋×

＝，

所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率P＝1－P1＝1－＝.

思维升华　求相互独立事件同时发生的概率的方法

（1）首先判断几个事件的发生是否相互独立．

（2）求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：

①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；

②正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．

　甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（　　）

A.B.

C.D.

答案　D

解析　设Ai（i＝1,2）表示继续比赛时，甲在第i局获胜；

B事件表示甲队获得冠军，则B＝A1＋A2，

∴P（B）＝P（A1）＋P（A2）＝＋×

题型二　独立重复试验

例2　甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立．分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率．

解　设“甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利”分别为事件A，B，C，则P（A）＝×

×

P（B）＝C2×

P（C）＝C2×

2×

思维升华　在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．

　投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且每次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（　　）

A．0.648B．0.432

C．0.36D．0.312

解析　所求概率为C×

0.62×

0.4＋0.63＝0.648.

题型三　二项分布的均值、方差

例3　某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p.

（1）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；

（2）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及均值E（ξ）．

解　

（1）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么

1－P（）＝1－·

p＝，解得p＝.

（2）由题意，得随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3，

则P（ξ＝0）＝3＝，

P（ξ＝1）＝C×

2＝，

P（ξ＝2）＝C×

P（ξ＝3）＝3＝.

∴随机变量ξ的分布列为

ξ

1

2

P

故随机变量ξ的均值

E（ξ）＝0×

＋1×

＋2×

＋3×

（或∵ξ～B（3，），∴E（ξ）＝3×

＝.）

思维升华　在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率，列出分布列．

　某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的均值为（　　）

A．100B．200C．300D．400

解析　记不发芽的种子数为Y，则Y～B（1000,0.1），

∴E（Y）＝1000×

0.1＝100.又X＝2Y，

∴E（X）＝E（2Y）＝2E（Y）＝200.

16．独立事件与互斥事件

典例　

（1）中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是，乙夺得冠军的概率是，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．

（2）某射手每次射击击中目标的概率都是，这名射手射击5次，有3次连续击中目标，另外两次未击中目标的概率是________．

错解展示

解析　　

（1）设“甲夺得冠军”为事件A，“乙夺得冠军”为事件B，则P（A）＝，P（B）＝，由A、B是相互独立事件，得所求概率为P（A）＋P（B）＋P（AB）＝×

＝＝.

（2）所求概率P＝C×

（）3×

（）2＝.

答案　

（1）　

（2）

现场纠错

解析　

（1）设“甲夺得冠军”为事件A，“乙夺得冠军”为事件B，则P（A）＝，P（B）＝.

∵A、B是互斥事件，

∴P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝＋＝.

（2）设“第i次射击击中目标”为事件Ai（i＝1,2,3,4,5），“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则

P（A）＝P（A1A2A345）＋P（1A2A3A45）

＋P（12A3A4A5）

＝3×

2＋×

3×

3＝.

纠错心得　

（1）搞清事件之间的关系，不要混淆“互斥”与“独立”．

（2）区分独立事件与n次独立重复试验.

1．（2016·

宁波模拟）一射手对同一目标进行4次射击，且射击结果之间互不影响．已知至少命中一次的概率为，则此射手的命中率为（　　）

答案　C

解析　设此射手未命中目标的概率为p，则1－p4＝，

所以p＝，故1－p＝.

2．已知A，B是两个相互独立事件，P（A），P（B）分别表示它们发生的概率，则1－P（A）P（B）是下列哪个事件的概率（　　）

A．事件A，B同时发生

B．事件A，B至少有一个发生

C．事件A，B至多有一个发生

D．事件A，B都不发生

解析　P（A）P（B）是指A，B同时发生的概率，1－P（A）·

P（B）是A，B不同时发生的概率，即事件A，B至多有一个发生的概率．

3．甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为（　　）

解析　设“甲命中目标”为事件A，“乙命中目标”为事件B，“丙命中目标”为事件C，则击中目标表示事件A，B，C中至少有一个发生．又P（）＝P（）P（）P（）＝[1－P（A）]·

[1－P（B）]·

[1－P（C）]＝×

故目标被击中的概率P＝1－P（）＝.

4．（2016·

长春模拟）一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P（X＝12）等于（　　）

A．C（）10（）2B．C（）9（）2

C．C（）9（）2D．C（）10（）2

解析　“X＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，

因此P（X＝12）＝C（）9（）2＝C（）10（）2.

5．（2017·

南昌质检）设随机变量X服从二项分布X～B（5，），则函数f（x）＝x2＋4x＋X存在零点的概率是（　　）

解析　∵函数f（x）＝x2＋4x＋X存在零点，

∴Δ＝16－4X≥0，∴X≤4.∵X服从X～B（5，），

∴P（X≤4）＝1－P（X＝5）＝1－＝.

6．已知随机变量X服从二项分布，且E（X）＝2.4，D（X）＝1.44，则二项分布的参数n，p的值分别为（　　）

A．4,0.6B．6,0.4

C．8,0.3D．24,0.1

解析　由二项分布X～B（n，p）及E（X）＝np，D（X）＝np·

（1－p）得2.4＝np，且1.44＝np（1－p），解得n＝6，p＝0.4.故选B.

7．如图所示的电路有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为________．

解析　灯泡甲亮满足的条件是a，c两个开关都开，b开关必须断开，否则短路．设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则甲灯亮应为事件AC，且A，B，C之间彼此独立，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝，由独立事件概率公式知P（AC）＝P（A）P（）P（C）＝×

8．设随机变量X～B（2，p），随机变量Y～B（3，p），若P（X≥1）