题直线和圆易错起源Word下载.docx
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【解析】设,由,易得,由,可得或,由得P点在圆左边弧上,结合限制条件,可得点P横坐标的取值范围为.
4.【2016高考新课标2理数】圆的圆心到直线的距离为1,则a=()
(A)(B)(C)(D)2
【答案】A
【解析】圆的方程可化为,所以圆心坐标为,由点到直线的距离公式得:
,解得,故选A.
5.【2016高考上海理数】已知平行直线,则的距离___________.
【解析】利用两平行线间距离公式得.
6.【2016高考新课标3理数】已知直线:
与圆交于两点,过分别做的垂线与轴交于两点,若,则__________________.
【答案】4
7.【2016高考新课标1卷】
(本小题满分12分)设圆的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
(I)证明为定值,并写出点E的轨迹方程;
()设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
(Ⅰ)()()
【解析】
(Ⅰ)因为,,故,
所以,故.
又圆的标准方程为,从而,所以.
由题设得,,,由椭圆定义可得点的轨迹方程为:
().
(Ⅱ)当与轴不垂直时,设的方程为,,.
由得.
则,.
所以.
过点且与垂直的直线:
,到的距离为,所以
.故四边形的面积
.
可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为.
当与轴垂直时,其方程为,,,四边形的面积为12.
综上,四边形面积的取值范围为.
8.【2016高考江苏卷】
(本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系中,已知以为圆心的圆及其上一点
(1)设圆与轴相切,与圆外切,且圆心在直线上,求圆的标准方程;
(2)设平行于的直线与圆相交于两点,且,求直线的方程;
(3)设点满足:
存在圆上的两点和,使得,求实数的取值范围。
(1)
(2)(3)
(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为.
设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,
则圆心M到直线l的距离
因为
而
所以,解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.
(3)设
因为,所以……①
因为点Q在圆M上,所以…….②
将①代入②,得.
于是点既在圆M上,又在圆上,
从而圆与圆没有公共点,
所以解得.
因此,实数t的取值范围是.
易错起源1、直线的方程及应用
例1、
(1)已知直线l1:
(k-3)x+(4-k)y+1=0与l2:
2(k-3)x-2y+3=0平行,则k的值是( )
A.1或3B.1或5
C.3或5D.1或2
(2)已知两点A(3,2)和B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则m的值为( )
A.0或-B.或-6
C.-或D.0或
答案
(1)C
(2)B
解析
(1)两直线平行,则A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0或B1C2-B2C1≠0,所以有-2(k-3)-2(k-3)(4-k)=0,解得k=3或5,且满足条件,故正确答案为C.
(2)依题意,得=.
所以|3m+5|=|m-7|.
所以(3m+5)2=(m-7)2,
所以8m2+44m-24=0.
所以2m2+11m-6=0.
所以m=或m=-6.
【变式探究】已知直线l1:
ax+2y+1=0与直线l2:
(3-a)x-y+a=0,若l1⊥l2,则a的值为( )
A.1B.2
C.6D.1或2
答案 D
解析 由l1⊥l2,则a(3-a)-2=0,
即a=1或a=2,选D.
【名师点睛】
(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况;
(2)对解题中可能出现的特殊情况,可用数形结合的方法分析研究.
【锦囊妙计,战胜自我】
1.两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1∥l2⇔k1=k2,l1⊥l2⇔k1k2=-1.若给出的直线方程中存在字母系数,则要考虑斜率是否存在.
2.求直线方程
要注意几种直线方程的局限性.点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直.而截距式方程不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线.
3.两个距离公式
(1)两平行直线l1:
Ax+By+C1=0,
l2:
Ax+By+C2=0间的距离d=.
(2)点(x0,y0)到直线l:
Ax+By+C=0的距离公式d=.
易错起源2、圆的方程及应用
例2、
(1)若圆C经过(1,0),(3,0)两点,且与y轴相切,则圆C的方程为( )
A.(x-2)2+(y±
2)2=3B.(x-2)2+(y±
)2=3
C.(x-2)2+(y±
2)2=4D.(x-2)2+(y±
)2=4
(2)已知圆M的圆心在x轴上,且圆心在直线l1:
x=-2的右侧,若圆M截直线l1所得的弦长为2,且与直线l2:
2x-y-4=0相切,则圆M的方程为( )
A.(x-1)2+y2=4B.(x+1)2+y2=4
C.x2+(y-1)2=4D.x2+(y+1)2=4
答案
(1)D
(2)B
解析
(1)因为圆C经过(1,0),(3,0)两点,所以圆心在直线x=2上,又圆与y轴相切,所以半径r=2,设圆心坐标为(2,b),则(2-1)2+b2=4,b2=3,b=±
,所以选D.
【变式探究】
(1)一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为________________.
(2)两条互相垂直的直线2x+y+2=0和ax+4y-2=0的交点为P,若圆C过点P和点M(-3,2),且圆心在直线y=x上,则圆C的标准方程为______________.
答案
(1)2+y2=
(2)(x+6)2+(y+3)2=34
解析
(1)由题意知圆过(4,0),(0,2),(0,-2)三点,
(4,0),(0,-2)两点的垂直平分线方程为y+1=-2(x-2),
令y=0,解得x=,圆心为,半径为.
得该圆的标准方程为(x-)2+y2=.
(2)由直线2x+y+2=0和直线ax+4y-2=0垂直得2a+4=0,故a=-2,代入直线方程,联立解得交点坐标为P(-1,0),易求得线段MP的垂直平分线的方程为x-y+3=0,设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>
0),则圆心(a,b)为直线x-y+3=0与直线y=x的交点,由解得圆心坐标为(-6,-3),从而得到r2=34,所以圆C的标准方程为(x+6)2+(y+3)2=34.
解决与圆有关的问题一般有两种方法:
(1)几何法,通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系,进而求得圆的基本量和方程;
(2)代数法,即用待定系数法先设出圆的方程,再由条件求得各系数.
1.圆的标准方程
当圆心为(a,b),半径为r时,其标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,特别地,当圆心在原点时,方程为x2+y2=r2.
2.圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0,其中D2+E2-4F>
0,表示以(-,-)为圆心,为半径的圆.
易错起源3、直线与圆、圆与圆的位置关系
例3、
(1)已知直线2x+(y-3)m-4=0(m∈R)恒过定点P,若点P平分圆x2+y2-2x-4y-4=0的弦MN,则弦MN所在直线的方程是( )
A.x+y-5=0B.x+y-3=0
C.x-y-1=0D.x-y+1=0
(2)已知P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>
0)上一动点,PA,PB是圆C:
x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为( )
A.3B.
C.2D.2
答案
(1)A
(2)D
解析
(1)对于直线方程2x+(y-3)m-4=0(m∈R),取y=3,则必有x=2,所以该直线恒过定点P(2,3).
设圆心是C,则易知C(1,2),
所以kCP==1,
由垂径定理知CP⊥MN,所以kMN=-1.
又弦MN过点P(2,3),
故弦MN所在直线的方程为y-3=-(x-2),
即x+y-5=0.
(2)如图,把圆的方程化成标准形式得x2+(y-1)2=1,所以圆心为(0,1),半径为r=1,四边形PACB的面积S=2S△PBC,所以若四边形PACB的最小面积是2,则S△PBC的最小值为1.而S△PBC=r·
|PB|,即|PB|的最小值为2,此时|PC|最小,|PC|为圆心到直线kx+y+4=0的距离d,此时d===,
即k2=4,因为k>
0,所以k=2.
(1)若直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是( )
A.-2或12B.2或-12
C.-2或-12D.2或12
(2)已知在平面直角坐标系中,点A(2,0),B(0,1)到直线l的距离分别为1,2,则这样的直线l共有________条.
答案
(1)D
(2)3
(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注意数形结合,充分利用圆的几何性质寻找解题途径,减少运算量.
(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题,可以转化为圆心到点的距离问题;
圆上的点与直线上点的距离的最值问题,可以转化为圆心到直线的距离问题;
圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题,可以转化为圆心到圆心的距离问题.
1.直线与圆的位置关系:
相交、相切和相离,判断的方法主要有点线距离法和判别式法.
(1)点线距离法:
设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,则d<
r⇔直线与圆相交,d=r⇔直线与圆相切,d>
r⇔直线与圆相离.
(2)判别式法:
设圆C:
(x-a)2+(y-b)2=r2,直线l:
Ax+By+C=0,方程组消去y,得关于x的一元二次方程根的判别式Δ,则直线与圆相离⇔Δ<
0,直线与圆相切⇔Δ=0,直线与圆相交⇔Δ>
0.
2.圆与圆的位置关系有五种,即内含、内切、相交、外切、外离.
设圆C1:
(x-a1)2+(y-b1)2=r,圆C2:
(x-a2)2+(y-b2)2=r,两圆心之间的距离为d,则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下:
(1)d>
r1+r2⇔两圆外离;
(2)d=r1+r2⇔两圆外切;
(3)|r1-r2|<
d<
r1+r2⇔两圆相交;
(4)d=|r1-r2|(r1≠r2)⇔两圆内切;
(5)0≤d<
|r1-r2|(r1≠r2)⇔两圆内含.
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