九年级中考数学复习练习类型三 二次函数与圆结合Word文档格式.docx

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（3）设抛物线交x轴于A、B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形OPMN＝8S△QAB，且△QAB∽△OBN成立，若存在，请求出Q点的坐标；

若不存在，请说明理由．

第3题图

4.（2017长沙中考模拟卷一）如图，直线y＝x＋2与抛物线y＝x2－2mx＋m2＋m交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与直线AB交于点M，与x轴交于点N.

（1）若点P为直线OD上一动点，求△APB的面积；

（2）当四边形CODM是菱形时，求点D的坐标；

（3）作点B关于直线MD的对称点B′，以点M为圆心，MD为半径作⊙M，点Q是⊙M上一动点，求QB′＋QB的最小值．

第4题图

答案

1.解：

（1）令y＝0，则x2－2nx－3n2＝0，

解得x＝－n或3n，

∵n＞0且A点在B点左侧，

∴A点坐标为（－n，0），B点坐标为（3n，0），

∵二次函数对称轴为x＝－＝n，将x＝n代入函数得y＝－4n2，

∴顶点为（n，－4n2）；

（2）在抛物线上存在点P能够使得以线段PD为直径的⊙O′经过坐标原点O.

理由如下：

∵AB＝4n＝4，解得n＝1，

∴y＝x2－2x－3，

设P点的坐标为（x，x2－2x－3），

∵线段PD为⊙O′的直径，D（4，－1），

∴O′点的坐标为（，），

∵O′O＝O′D，

∴（）2＋（）2＝（－4）2＋（＋1）2，

整理得x2－6x－3＝0，解得x＝3±

2，

当x＝3＋2时，x2－2x－3＝（3＋2）2－2（3＋2）－3＝12＋8，

此时P点的坐标为（3＋2，12＋8），

当x＝3－2时，x2－2x－3＝（3－2）2－2（3－2）－3＝12－8，此时P点的坐标为（3－2，12－8），

综上所述，当P点坐标为（3＋2，12＋8）或（3－2，12－8）时，以线段PD为直径的⊙O′经过坐标原点O；

（3）E点所有可能坐标为（0，0），（－2，0），（－3，0），（－7，0）．理由如下：

F点在抛物线y＝x2－2x－3上，E点在x轴上，设E点的坐标为（m，0），

设F点的坐标为（m，m2－2m－3），分两种情况：

①当BE为正方形BEFG的边时，

∵四边形BEFG是正方形，

∴BE＝EF，

∴|m－3|＝|m2－2m－3|，

即m－3＝m2－2m－3，或m－3＝－（m2－2m－3），

解得m1＝0，m2＝3，或m3＝－2，m4＝3，

当m＝3时，E点与B点重合，不合题意，舍去，

∴E点的坐标为（0，0）或（－2，0）；

②当BE为正方形BFEG的对角线时，

∵BE＝FG，BE⊥FG，BE与FG互相平分，

∴点F在BE的垂直平分线上，且点F到x轴的距离BE，

∴F点的坐标为（，||），

∵点F在抛物线y＝x2－2x－3上，

∴||＝（）2－2（）－3，

即＝（）2－2（）－3，

或－＝（）2－2（）－3，

解得m1＝－3，m2＝3，或m3＝－7，m4＝3，

∴E点的坐标为（－3，0）或（－7，0），

综上可知，E点所有可能的坐标为（0，0）或（－2，0）或（－3，0）或（－7，0）．

2.解：

（1）∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于点A（－1，0）、B（2，0），

∴设该二次函数的解析式为y＝a（x＋1）（x－2），

又∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象交y轴于点C（0，－2），

将x＝0，y＝－2代入得

－2＝a（0＋1）（0－2），解得a＝1，

∴抛物线的解析式为y＝（x＋1）（x－2），即y＝x2－x－2；

（2）设OP＝x，则PC＝PA＝x＋1，

在Rt△POC中，OP＝x，PC＝x＋1，OC＝2，

由勾股定理可得：

x2＋22＝（x＋1）2，解得x＝，

即OP＝；

（3）①∵△CHM∽△AOC，点C与点A对应，

∴∠MCH＝∠CAO，

情形Ⅰ：

如解图①，当H在点C下方时，

∵∠MCH＝∠CAO，

∠CAO＋∠OCA＝90°

，

∴∠MCH＋∠OCA＝90°

∴∠OCM＝90°

∴CM∥x轴，

∴yM＝－2，

又∵点M在二次函数图象上，

∴x2－x－2＝－2，

解得x1＝0（舍去）或x2＝1，

∴M（1,－2）；

情形Ⅱ：

如解图②，当H在点C上方时，

∴PA＝PC，

由

（2）得，M为直线CP与抛物线的另一交点，

设直线CM的解析式为y＝kx－2，

将点P（，0）的坐标代入，

得k－2＝0，解得k＝，

∴y＝x－2，

由x－2＝x2－x－2，

解得x＝0（舍去）或x＝，

∴y＝×

－2＝，

∴M（，），

∴点M的坐标为（1，－2）或（，）；

②在x轴上取一点D，如解图③，过点D作DE⊥AC于点E，使DE＝，作D关于点A的对称点D′也满足要求．

在Rt△AOC中

AC＝＝＝，

∵∠COA＝∠DEA＝90°

∠OAC＝∠EAD，

∴△AED∽△AOC，

∴＝，

∴＝，解得AD＝2，

∴点D的坐标为（1，0）或（－3，0），

如解图③，过点D作DM∥AC，交抛物线于点M，

设直线AC的解析式为y＝kx－2，

将A（－1，0）代入得k＝－2，

∴设直线DM的解析式为y＝－2x＋b，

将D（1，0）或（－3，0）代入得

－2＋b＝0或6＋b＝0，解得b＝2或b＝－6，

∴直线DM的解析式为：

y＝－2x＋2或y＝－2x－6，

当－2x－6＝x2－x－2时，

即x2＋x＋4＝0，Δ＝b2－4ac＝－15＜0，方程无实数根，

当－2x＋2＝x2－x－2时，

即x2＋x－4＝0，

得x1＝，x2＝，

当x＝时，

－2x＋2＝3＋，

－2x＋2＝3－，

∴点M的坐标为（，3＋）或（，3－）．

3.解：

（1）∵⊙C经过M、N、O三点，且∠MON是直角，

∴MN是⊙C的直径，即MN过圆心C，

∵M（4，0），N（0，3），

∴OM＝4，ON＝3，C（2，），

∴MN＝＝＝5，

∴⊙C的半径为，

∵CP所在直线为抛物线的对称轴，且与x轴垂直，

垂足为点D，CP为⊙C的半径，

∴D（2，0），

∴CD＝，

∴DP＝CP－CD＝－＝1，

∴P（2，－1）；

（2）∵抛物线的顶点坐标为P（2，－1），

∴可设抛物线表达式为y＝a（x－2）2－1，

∵抛物线经过点N（0，3），

∴3＝a（0－2）2－1，

解得a＝1，

∴抛物线的表达式为y＝（x－2）2－1；

（3）存在．理由如下：

∵P（2，－1），

∴DP＝1，

∵OM＝4，ON＝3，

∴S四边形OPMN＝S△MON＋S△MOP＝OM·

ON＋OM·

DP＝8，

∵S四边形OPMN＝8S△QAB，

∴S△QAB＝1，

将y＝0代入y＝（x－2）2－1中，

解得x＝1或x＝3，

∴A（1，0），B（3，0），

∴AB＝2，

∴△QAB中AB边上的高为＝1，

∴若存在满足条件的点Q，则Q点的纵坐标为1或－1，

∵OB＝ON＝3，∠NOB＝90°

∴△OBN为等腰直角三角形，

∵△OBN∽△QAB，

∴△QAB为等腰直角三角形，∠BQA＝∠NOB＝90°

当点Q在x轴上方的抛物线上时，∠BQA不可能为直角，

∴点Q不可能在x轴上方；

当点Q在x轴下方时，

∵△QAB是等腰直角三角形，∠BQA＝90°

∴AQ＝BQ，

∴点Q在抛物线的对称轴上，

∴点Q为抛物线的顶点，

当Q（2，－1）时，其纵坐标为－1，满足条件，且AQ＝BQ＝，

∵AB＝2，AQ2＋BQ2＝AB2，

∴∠AQB为直角，△ABQ为等腰直角三角形，满足题意，

综上所述：

抛物线上存在点Q（2，－1），使得S四边形OPMN＝8S△QAB，且△QAB∽△OBN.

4.解：

（1）由，

解得或，

∵点A在点B的左侧，

∴A（m－1，m＋1），B（m＋2，m＋4），

∴AB＝[m－1－（m＋2）]2＋[（m＋1）－（m＋4）]2＝3.

∵y＝x2－2mx＋m2＋m＝（x－m）2＋m，

∴D（m，m），

∴∠DON＝∠COD＝45°

∴直线OD的解析式为y＝x.

∵直线y＝x＋2与y轴交于点C，

∴C（0，2）．

∴OC＝2，

∵直线AB的解析式为y＝x＋2，

∴AB∥OD，

∴直线AB与OD之间的距离h＝OC＝，

∴S△APB＝AB·

h＝×

3×

＝3；

（2）∵AB∥OD，OC∥DM，

∴四边形CODM是平行四边形，

∵四边形CODM是菱形，

∴OD＝OC.

∴（m）2＝22，解得：

m＝±

∴点D的坐标为（，）或（－，－）；

（3）∵四边形CODM是平行四边形，

∴MQ＝MD＝OC＝2，

∵A（m－1，m＋1），B（m＋2，m＋4），抛物线对称轴为x＝m，

∴点B到对称轴的距离为m＋2－m＝2，

如解图，连接BF，

∴∠FMB＝∠MBF＝45°

∴BF＝MF＝2，∠MFB＝90°

∴MB＝2，取MB的中点E，则ME＝，

∴MQ2＝4＝ME·

MB，即＝

又∵∠QME＝∠BMQ，

∴△QME∽△BMQ，

∴＝＝，

∴QE＝QB，

∴QB′＋QB的最小值即为QB′＋QE的最小值，亦即线段B′E的长，

设直线MD与⊙M相交于另一点F，

∵点B关于直线MD的对称点为B′，

∴∠B′MF＝∠BMF＝45°

，MB′＝MB＝2，

∴∠B′MB＝90°

∴B′E＝＝＝.