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对称性
函数的图象关于x=-对称
1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)二次函数y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是.( ×
)
(2)二次函数y=ax2+bx+c,x∈R,不可能是偶函数.( ×
(3)若函数f(x)=(k2-1)x2+2x-3在(-∞,2)上单调递增,则k=±
.( ×
(4)已知f(x)=x2-4x+5,x∈[0,3),则f(x)max=f(0)=5,f(x)min=f(3)=2.( ×
2.(2013·
重庆)(-6≤a≤3)的最大值为( )
A.9B.C.3D.
答案 B
解析 因为=
=,
所以当a=-时,的值最大,最大值为.
3.函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(-5,-3)上( )
A.先减后增B.先增后减
C.单调递减D.单调递增
答案 D
解析 由f(x)为偶函数可得m=0,∴f(x)=-x2+3,
∴f(x)在区间(-5,-3)上单调递增.
4.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围为________.
答案 [1,2]
解析 y=x2-2x+3的对称轴为x=1.
当m<
1时,y=f(x)在[0,m]上为减函数.
∴ymax=f(0)=3,ymin=f(m)=m2-2m+3=2.
∴m=1,无解.
当1≤m≤2时,ymin=f
(1)=12-2×
1+3=2,
ymax=f(0)=3.
当m>
2时,ymax=f(m)=m2-2m+3=3,
∴m=0或m=2,无解.∴1≤m≤2.
题型一 二次函数的图象和性质
例1
已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].
(1)当a=-2时,求f(x)的最值;
(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数;
(3)当a=1时,求f(|x|)的单调区间.
思维启迪 对于
(1)和
(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解,对于(3),应先将函数化为分段函数,再求单调区间,注意函数定义域的限制作用.
解
(1)当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,由于x∈[-4,6],
∴f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增,
∴f(x)的最小值是f
(2)=-1,又f(-4)=35,f(6)=15,故f(x)的最大值是35.
(2)由于函数f(x)的图象开口向上,对称轴是x=-a,所以要使f(x)在[-4,6]上是单调函数,应有-a≤-4或-a≥6,即a≤-6或a≥4.
(3)当a=1时,f(x)=x2+2x+3,
∴f(|x|)=x2+2|x|+3,此时定义域为x∈[-6,6],
且f(x)=,
∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6],
单调递减区间是[-6,0].
思维升华
(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:
轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考查对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论;
(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解.
(1)二次函数的图象过点(0,1),对称轴为x=2,最小值为-1,则它的解析式是________.
答案 y=(x-2)2-1
(2)若函数f(x)=2x2+mx-1在区间[-1,+∞)上递增,则f(-1)的取值范围是____________.
答案 (-∞,-3]
解析 ∵抛物线开口向上,对称轴为x=-,
∴-≤-1,∴m≥4.
又f(-1)=1-m≤-3,∴f(-1)∈(-∞,-3].
题型二 二次函数的应用
例2
已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R),x∈R.
(1)若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,求f(x)的解析式,并写出单调区间;
(2)在
(1)的条件下,f(x)>
x+k在区间[-3,-1]上恒成立,试求k的范围.
思维启迪 利用f(x)的最小值为f(-1)=0可列两个方程求出a、b;
恒成立问题可以通过求函数最值解决.
解
(1)由题意有f(-1)=a-b+1=0,
且-=-1,∴a=1,b=2.
∴f(x)=x2+2x+1,单调减区间为(-∞,-1],
单调增区间为[-1,+∞).
(2)f(x)>
x+k在区间[-3,-1]上恒成立,
转化为x2+x+1>
k在区间[-3,-1]上恒成立.
设g(x)=x2+x+1,x∈[-3,-1],则g(x)在[-3,-1]上递减.
∴g(x)min=g(-1)=1.
∴k<
1,即k的取值范围为(-∞,1).
思维升华 有关二次函数的问题,数形结合,密切联系图象是探求解题思路的有效方法.用函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点.
已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].
(1)当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小值;
(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.
解
(1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-5,5],
所以当x=1时,f(x)取得最小值1;
当x=-5时,f(x)取得最大值37.
(2)函数f(x)=(x+a)2+2-a2的图象的对称轴为直线x=-a,
因为y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数,
所以-a≤-5或-a≥5,即a≤-5或a≥5.
故a的取值范围是(-∞,-5]∪[5,+∞).
分类讨论思想在函数中的应用
典例:
(12分)已知函数f(x)=ax2-|x|+2a-1(a为实常数).
(1)若a=1,作出函数f(x)的图象;
(2)设f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a),求g(a)的表达式.
思维启迪
(1)因f(x)的表达式中含|x|,故应分类讨论,将原表达式化为分段函数的形式,然后作图.
(2)因a∈R,而a的取值决定f(x)的表现形式,或为直线或为抛物线,若为抛物线又分为开口向上和向下两种情况,故应分类讨论解决.
规范解答
解
(1)当a=1时,
f(x)=x2-|x|+1
=.[3分]
作图(如右图所示)[5分]
(2)当x∈[1,2]时,f(x)=ax2-x+2a-1.[6分]
若a=0,则f(x)=-x-1在区间[1,2]上是减函数,
g(a)=f
(2)=-3.[7分]
若a≠0,
则f(x)=a2+2a--1,
f(x)图象的对称轴是直线x=.
当a<
0时,f(x)在区间[1,2]上是减函数,
g(a)=f
(2)=6a-3.
当0<
<
1,即a>
时,f(x)在区间[1,2]上是增函数,
g(a)=f
(1)=3a-2.
当1≤≤2,即≤a≤时,
g(a)=f=2a--1.
当>
2,即0<
a<
时,f(x)在区间[1,2]上是减函数,
g(a)=f
(2)=6a-3.[11分]
综上可得,g(a)=[12分]
温馨提醒 本题解法充分体现了分类讨论的数学思想方法,在二次函数最值问题的讨论中,一是要对二次项系数进行讨论,二是要对对称轴进行讨论.在分类讨论时要遵循分类的原则:
一是分类的标准要一致,二是分类时要做到不重不漏,三是能不分类的要尽量避免分类,绝不无原则的分类讨论.
方法与技巧
二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律:
(1)在研究一元二次方程根的分布问题时,常借助于二次函数的图象数形结合来解,一般从:
①开口方向;
②对称轴位置;
③判别式;
④端点函数值符号四个方面分析.
(2)在研究一元二次不等式的有关问题时,一般需借助于二次函数的图象、性质求解.
失误与防范
对于函数y=ax2+bx+c,要认为它是二次函数,就必须满足a≠0,当题目条件中未说明a≠0时,就要讨论a=0和a≠0两种情况.
A组 专项基础训练
一、选择题
1.若f(x)=x2-ax+1有负值,则实数a的取值范围是( )
A.a≤-2B.-2<
2
C.a>
2或a<
-2D.1<
3
答案 C
解析 ∵f(x)=x2-ax+1有负值,
∴Δ=a2-4>
0,则a>
-2.
2.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象大致是( )
解析 若a>
0,则一次函数y=ax+b为增函数,二次函数y=ax2+bx+c的开口向上,故可排除A;
若a<
0,一次函数y=ax+b为减函数,二次函数y=ax2+bx+c开口向下,故可排除D;
对于选项B,看直线可知a>
0,b>
0,从而-<
0,而二次函数的对称轴在y轴的右侧,故应排除B,因此选C.
3.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意的实数x,都有f(1+x)=f(-x),那么( )
A.f(-2)<
f(0)<
f
(2)
B.f(0)<
f(-2)<
C.f
(2)<
f(-2)
D.f(0)<
f
(2)<
解析 由f(1+x)=f(-x)知f(x)的图象关于x=对称,
又抛物线开口向上,结合图象(图略)可知f(0)<
f(-2).
4.设二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,且f(m)≤f(0),则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,0]B.[2,+∞)
C.(-∞,0]∪[2,+∞)D.[0,2]
解析 二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,则a≠0,f′(x)=2a(x-1)<
0,x∈[0,1],
所以a>
0,即函数图象的开口向上,对称轴是直线x=1.
所以f(0)=f
(2),则当f(m)≤f(0)时,有0≤m≤2.
二、填空题
5.若函数y=mx2+x+5在[-2,+∞)上是增函数,则m的取值范围是________.
答案 0≤m≤
解析 m=0时,函数在给定区间上是增函数;
m≠0时,函数是二次函数,对称轴为x=-≤-2,
由题意知m>
0,∴0<
m≤.综上0≤m≤.
6.若方程x2-11x+30+a=0的两根均大于5,则实数a的取值范围是________.
答案 0<
a≤
解析 令f(x)=x2-11x+30+a.
结合图象有,∴0<
a≤.
三、解答题
7.已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>
-2x的解集为(1,3).若方程f(x)+6a=0有两个相等的根,求f(x)的单调区间.
解 ∵f(x)+2x>
0的解集为(1,3),
设f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a<
0,
∴f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.①
由方程f(x)+6a=0得ax2-(2+4a)x+9a=0.②
∵方程②有两个相等的根,
∴Δ=[-(2+4a)]2-4a·
9a=0,
解得a=1或a=-.由于a<
0,舍去a=1.
将a=-代入①式
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- 关 键 词:
- 二次 函数