中考数学专题突破导学练第17讲等腰三角形试题0731232Word文件下载.docx
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的三角形是等边三角形。
【考点解析】
考点一:
等腰三角形的性质与判定
【例1】已知实数x,y满足,则以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长是( )
A.20或16B.20
C.16D.以上答案均不对
【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值,再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解.
【解答】解:
根据题意得
解得,
(1)若4是腰长,则三角形的三边长为:
4、4、8,
不能组成三角形;
(2)若4是底边长,则三角形的三边长为:
4、8、8,
能组成三角形,周长为4+8+8=20.
故选B.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系;
解题主要利用了非负数的性质,分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断.根据题意列出方程是正确解答本题的关键.
考点二、等边三角形的性质与判定
【例2】如图,点P在等边△ABC的内部,且PC=6,PA=8,PB=10,将线段PC绕点C顺时针旋转60°
得到P'
C,连接AP'
,则sin∠PAP'
的值为 .
【考点】R2:
旋转的性质;
KK:
等边三角形的性质;
T7:
解直角三角形.
【分析】连接PP′,如图,先利用旋转的性质得CP=CP′=6,∠PCP′=60°
,则可判定△CPP′为等边三角形得到PP′=PC=6,再证明△PCB≌△P′CA得到PB=P′A=10,接着利用勾股定理的逆定理证明△APP′为直角三角形,∠APP′=90°
,然后根据正弦的定义求解.
连接PP′,如图,
∵线段PC绕点C顺时针旋转60°
C,
∴CP=CP′=6,∠PCP′=60°
∴△CPP′为等边三角形,
∴PP′=PC=6,
∵△ABC为等边三角形,
∴CB=CA,∠ACB=60°
∴∠PCB=∠P′CA,
在△PCB和△P′CA中
∴△PCB≌△P′CA,
∴PB=P′A=10,
∵62+82=102,
∴PP′2+AP2=P′A2,
∴△APP′为直角三角形,∠APP′=90°
∴sin∠PAP′===.
故答案为.
【中考热点】
(2017•宁德)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在边BC和AC上,若AD=AE,则下列结论错误的是( )
A.∠ADB=∠ACB+∠CADB.∠ADE=∠AED
C.∠CDE=∠BADD.∠AED=2∠ECD
【考点】KH:
等腰三角形的性质.
【分析】由三角形的外角性质、等腰三角形的性质得出选项A、B、C正确,选项D错误,即可得出答案.
∵∠ADB是△ACD的外角,
∴∠ADB=∠ACB+∠CAD,选项A正确;
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED,选项B正确;
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD,∠AED=∠CDE+∠C,
∴∠CDE+∠C+∠CDE=∠B+∠BAD,
∴∠CDE=∠BAD,选项C正确;
∵∠AED=∠ECD+∠CDE,∠ECD≠∠CDE,
∴选项D错误;
故选:
D.
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角性质;
熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的外角性质是解决问题的关键.
【达标检测】
一选择题:
1.如图,正△ABC的边长为2,过点B的直线l⊥AB,且△ABC与△A′BC′关于直线l对称,D为线段BC′上一动点,则AD+CD的最小值是( )
A.4B.3C.2D.2+
【考点】轴对称-最短路线问题;
等边三角形的性质.
【分析】连接CC′,连接A′C交y轴于点D,连接AD,此时AD+CD的值最小,根据等边三角形的性质即可得出四边形CBA′C′为菱形,根据菱形的性质即可求出A′C的长度,从而得出结论.
连接CC′,连接A′C交l于点D,连接AD,此时AD+CD的值最小,如图所示.
∵△ABC与△A′BC′为正三角形,且△ABC与△A′BC′关于直线l对称,
∴四边形CBA′C′为边长为2的菱形,且∠BA′C′=60°
∴A′C=2×
A′B=2.
故选C.
2.(2017山东滨州)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,则∠B的大小为( )
A.40°
B.36°
C.30°
D.25°
【分析】根据AB=AC可得∠B=∠C,CD=DA可得∠ADB=2∠C=2∠B,BA=BD,可得∠BDA=∠BAD=2∠B,在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠B.
∵CD=DA,
∴∠C=∠DAC,
∵BA=BD,
∴∠BDA=∠BAD=2∠C=2∠B,
又∵∠B+∠BAD+∠BDA=180°
∴5∠B=180°
∴∠B=36°
3.(2017广西河池)已知等边△ABC的边长为12,D是AB上的动点,过D作DE⊥AC于点E,过E作EF⊥BC于点F,过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时,AD的长是( )
A.3B.4C.8D.9
【考点】KK:
KO:
含30度角的直角三角形.
【分析】设AD=x,根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°
,由垂直的定义得到∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°
,解直角三角形即可得到结论.
设AD=x,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°
∵DE⊥AC于点E,EF⊥BC于点F,FG⊥AB,
∴∠ADF=∠DEB=∠EFC=90°
∴AF=2x,
∴CF=12﹣2x,
∴CE=2CF=24﹣4x,
∴BE=12﹣CE=4x﹣12,
∴BD=2BE=8x﹣24,
∵AD+BD=AB,
∴x+8x﹣24=12,
∴x=4,
∴AD=4.
4.经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形,如果其中一个是等腰三角形,另外一个三角形和原三角形相似,那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.如图,线段CD是△ABC的“和谐分割线”,△ACD为等腰三角形,△CBD和△ABC相似,∠A=46°
,则∠ACB的度数为 113°
或92°
.
【考点】S7:
相似三角形的性质;
KH:
【分析】由△ACD是等腰三角形,∠ADC>∠BCD,推出∠ADC>∠A,即AC≠CD,分两种情形讨论①当AC=AD时,②当DA=DC时,分别求解即可.
∵△BCD∽△BAC,
∴∠BCD=∠A=46°
∵△ACD是等腰三角形,∵∠ADC>∠BCD,
∴∠ADC>∠A,即AC≠CD,
①当AC=AD时,∠ACD=∠ADC==67°
∴∠ACB=67°
+46°
=113°
②当DA=DC时,∠ACD=∠A=46°
∴∠ACB=46°
=92°
故答案为113°
.
二填空题:
5.(2017江西)如图1是一把园林剪刀,把它抽象为图2,其中OA=OB.若剪刀张开的角为30°
,则∠A= 75 度.
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论.
∵OA=OB,∠AOB=30°
∴∠A==75°
故答案为:
75.
6.有一面积为5的等腰三角形,它的一个内角是30°
,则以它的腰长为边的正方形的面积为 20和20 .
【考点】正方形的性质;
【分析】分两种情形讨论①当30度角是等腰三角形的顶角,②当30度角是底角,分别作腰上的高即可.
如图1中,当∠A=30°
,AB=AC时,设AB=AC=a,
作BD⊥AC于D,∵∠A=30°
∴BD=AB=a,
∴•a•a=5,
∴a2=20,
∴△ABC的腰长为边的正方形的面积为20.
如图2中,当∠ABC=30°
,AB=AC时,作BD⊥CA交CA的延长线于D,设AB=AC=a,
∴∠ABC=∠C=30°
∴∠BAC=120°
,∠BAD=60°
在RT△ABD中,∵∠D=90°
∴BD=a,
故答案为20或20.
7.如图,等边三角形的顶点A(1,1)、B(3,1),规定把等边△ABC“先沿x轴翻折,再向左平移1个单位”为一次変换,如果这样连续经过2016次变换后,等边△ABC的顶点C的坐标为 .
【考点】翻折变换(折叠问题);
坐标与图形变化-平移.
【分析】据轴对称判断出点A变换后在x轴上方,然后求出点A纵坐标,再根据平移的距离求出点A变换后的横坐标,最后写出即可.
解:
∵△ABC是等边三角形AB=3﹣1=2,
∴点C到x轴的距离为1+2×
=+1,
横坐标为2,
∴A(2,+1),
第2016次变换后的三角形在x轴上方,
点A的纵坐标为+1,
横坐标为2-2016×
1=-2014,
所以,点A的对应点A′的坐标是(-2014,+1)
(-2014,+1).
8.如图是一张长方形纸片ABCD,已知AB=8,AD=7,E为AB上一点,AE=5,现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP),使点P落在长方形ABCD的某一条边上,则等腰三角形AEP的底边长是.
【考点】矩形的性质;
等腰三角形的性质;
勾股定理.
【分析】分情况讨论:
①当AP=AE=5时,则△AEP是等腰直角三角形,得出底边PE=AE=5即可;
②当PE=AE=5时,求出BE,由勾股定理求出PB,再由勾股定理求出等边AP即可;
③当PA=PE时,底边AE=5;
即可得出结论.
如图所示:
①当AP=AE=5时,
∵∠BAD=90°
∴△AEP是等腰直角三角形,
∴底边PE=AE=5;
②当PE=AE=5时,
∵BE=AB﹣AE=8﹣5=3,∠B=90°
∴PB==4,
∴底边AP===4;
综上所述:
等腰三角形AEP的对边长为5或4或5;
5或4或5.
三解答题:
9.爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时,发现了“中垂三角形”,即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.如图
(1)、图
(2)、图(3)中,AM、BN是△ABC的中线,AN⊥BN于点P,像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”.设BC=a,AC=b,AB=c.
【特例探究】
(1)如图1,当tan∠PAB=1,c=4时,a= 4 ,b= 4 ;
如图2,当∠PAB=30°
,c=2时,a= ,b= ;
【归纳证明】
(2)请你观察
(1)中的计算结果,猜想a2、b2、c2三者之间的关
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