高中数学人教版必修四常见公式及知识点系统总结全Word格式.docx

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90°

例：

终边在y轴非正半轴上的角的集合为{α|α=k·

终边在第二、第四象限角平分线上的集合为{α|α=k·

+135°

终边在四个象限角平分线上的角的集合为{α|α=k·

+45°

易错提醒：

区别锐角、小于90度的角、第一象限角、0～90、小于180度的角

考点二弧度制有关概念与公式

1.弧度制与角度制互化

，

，1弧度

2.扇形的弧长和面积公式（分别用角度制、弧度制表示方法）

弧长公式：

其中

为弧所对圆心角的弧度数

扇形面积公式：

=

R2|

|,其中

利用S=

|求解扇形面积公式时，

为弧所对圆心角的弧度数，不可用角度数

规律总结：

“扇形周长、面积、半径、圆心角”4个量，“知二求二”，注意公式选取技巧

考点三任意角的三角函数

1.任意角的三角函数定义

设

是一个任意角，它的终边与单位圆交于点

，那么

（

）；

化简为

.

2.三角函数值符号

利用三角函数定义或“一全正、二正弦、三正切、四余弦”口诀记忆象限角或轴线角的三角函数值符号.

3.特殊角三角函数值

SIN15º

=SIN（60º

-45º

）=SIN60º

COS45º

-SIN45º

COS60º

=（√6-√2）/4

COS15º

=COS（60º

）=COS60º

+SIN60º

SIN45º

=（√6+√2）/4

除此之外，还需记住150、750的正弦、余弦、正切值

4.三角函数线

经典结论：

（1）若

，则

（2）若

（3）

考点四三角函数图像与性质

图象

定义域

值域

最值

当

时，

；

．

既无最大值也无最小值

周期性

奇偶性

奇函数

偶函数

单调性

在

上是增函数；

上是减函数．

上是增函数．

对称性

对称中心

对称轴

无对称轴

考点五正弦型（y=Asin（ωx＋φ））、余弦型函数（y=Acos（ωx＋φ））、正切性函数（y=Atan（ωx＋φ））图像与性质

1.解析式求法

（1）y＝Asin（ωx＋φ）＋B或y=Acos（ωx＋φ）＋B解析式确定方法

字母

确定途径

说明

A

由最值确定

A＝

B

B＝

ω

由函数的周期确定

相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点（或最低点）的横坐标与相邻零点差的绝对值为0.25个周期

φ

由图象上的特殊点确定

可通过认定特殊点是五点中的第几个关键点，然后列方程确定；

也可通过解简单三角方程确定

A、B通过图像易求，重点讲解φ、ω求解思路：

①φ求解思路：

代入图像的确定点的坐标.如带入最高点

或最低点坐标

或

，求

值．

y=Asin（ωx＋φ），当ω>

0，且x=0时的相位（ωx+φ=φ）称为初相.如果不满足ω>

0，先利用诱导公式进行变形，使之满足上述条件，再进行计算.如y=-3sin（-2x+600）的初相是-600

②ω求解思路：

利用三角函数对称性与周期性的关系，解ω.相邻的对称中心之间的距离是周期的一半；

相邻的对称轴之间的距离是周期的一半；

相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期的四分之一.

2.“一图、两域、四性”

“一图”：

学好三角函数，图像是关键。

“左加右减、上加下减”中“左加右减”仅仅针对自变量x，不可针对-x或2x等.

“两域”：

（1）定义域

求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象或数轴法来求解.

（2）值域（最值）：

a.直接法（有界法）：

利用sinx，cosx的值域.

b.化一法：

化为y=Asin（ωx+φ）+k的形式逐步分析ωx+φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域（最值）.

c.换元法：

把sinx或cosx看作一个整体，化为求一元二次函数在给定区间上的值域（最值）问题.

1.y=asinx2+bsinx+c

2.y=asinx2+bsinxcosx+ccosx2

3.y=（asinx+c）/（bcosx+d）

4.y=a（sinx±

cosx）+bsinxcosx+c

“四性”：

（1）单调性

①函数y=Asin（ωx+φ）（A>

0,ω>

0）图象的单调递增区间由2kπ-

ωx+φ<

2kπ＋

，k∈Z解得,单调递减区间由2kπ+

2kπ＋1.5π，k∈Z解得;

②函数y=Acos（ωx+φ）（A>

0）图象的单调递增区间由2kπ+π<

2kπ＋2π,k∈Z解得,单调递减区间由2kπ<

2kπ＋π，k∈Z解得;

③函数y=Atan（ωx+φ）（A>

0）图象的单调递增区间由kπ-

kπ＋

，k∈Z解得,.

注意ω、A为负数时的处理技巧．

（2）对称性

①函数y=Asin（ωx+φ）的图象的对称轴由ωx+φ=kπ＋

（k∈Z）解得,对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ（k∈Z）解得;

②函数y=Acos（ωx+φ）的图象的对称轴由ωx+φ=kπ（k∈Z）解得,对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ＋

（k∈Z）解得;

③函数y=Atan（ωx+φ）的图象的对称中心由ωx+φ=kπ（k∈Z）解得.

φ可以是单个角或多个角的代数式.无需区分ω、A符号.

（3）奇偶性

①函数y＝Asin（ωx＋φ），x∈R是奇函数⇔φ＝kπ（k∈Z），函数y＝Asin（ωx＋φ），x∈R是偶函数⇔φ＝kπ＋

（k∈Z）；

②函数y＝Acos（ωx＋φ），x∈R是奇函数⇔φ＝kπ＋

函数y＝Acos（ωx＋φ），x∈R是偶函数⇔φ＝kπ（k∈Z）；

③函数y＝Atan（ωx＋φ），x∈R是奇函数⇔φ＝

（k∈Z）．

（4）周期性

函数y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ））的最小正周期T＝

y＝Atan（ωx＋φ）的最小正周期T＝

考点六常见公式

常见公式要做到“三用”：

正用、逆用、变形用

1.同角三角函数的基本关系

2.三角函数化简思路：

“去负、脱周、化锐”

（1）去负，即负角化正角：

sin（-a）=-sina；

cos（-a）=cosa；

tan（-a）=-tana；

（2）脱周，即将不在（0,2π）的角化为（0,2π）的角：

sin（2kπ+a）=sina；

cos（2kπ+a）=cosa；

tan（2kπ+a）=-tana；

（3）化锐，即将在（0,2π）的角化为锐角：

6组诱导公式

口诀：

奇变偶不变，符号看象限.均化为“kπ/2±

a”,做到“两观察、一变”。

一观察：

k是奇数还是偶数；

二观察：

kπ/2±

a终边所在象限，再由kπ/2±

a终边所在象限，确定原函数对应函数值的正负.一变：

正弦变余弦、余弦变正弦、正切利用商的关系变换.其中公式

（1）也可理解为终边相同角的三角函数值相同，公式（3）也可按照函数奇偶性理解

3.两角和差公式

4.二倍角公式

二倍角公式是两角和的正弦、余弦、正切公式，当α=β时的特殊情况

倍角是相对的，如0.5α是0.25α的倍角，3α是1.5α的倍角

5.升降幂公式

（升幂缩角）.

（降幂扩角），

6.辅助角公式

=

（辅助角

所在象限由点

的象限决定,

，-

）.

7.半角公式

sin

=±

cos

tan

8.其它公式

1+sina=（sin

+cos

）2；

1-sina=（sin

-cos

）2

9.万能公式

sina=

cosa=

tana=

10.和差化积

sina+sinb=2sin

sina-sinb=2cos

cosa+cosb=2cos

cosa-cosb=-2sin

tana+tanb=

11.积化和差

sinAsinB=-

[cos（A+B）-cos（A-B）]；

cosAcosB=

[cos（A+B）+cos（A-B）]

sinAcosB=

[sin（A+B）+sin（A-B）]；

cosAsinB=

[sin（A+B）-sin（A-B）]

12.三倍角公式

14.三角形中三角函数关系

在△ABC中，有

tan（A+B）=-tanC;

等．

15.三角函数化简的常用技巧

1.三角函数化简要做到“四看、四变”

（1）看角、做好角的变换：

观察角与角之间和、差、倍、互补、互余等关系，采取诱导公式、两角和差公式、倍角公式、拼凑角等办法化简.

（2）看名、做好名的变换：

利用同角三角函数基本关系实现弦切互化，掌握弦的一次齐次式或二次齐次式化简方法

（3）看次数、做好次数的变换：

利用升降幂公式实现扩角降次、缩角升次

（4）看形、做好形的变换：

利用辅助角公式，统一函数形式

2.具体技巧

（1）遇分式通分、遇根式升幂.

（2）和积转换法

掌握sinα±

cosα，sinαcosα化简方法，利用（sinα±

cosα）2＝1±

2sinαcosα，“知一求二”．

（3）巧用“1”的变换

1＝sin2θ＋cos2θ＝＝tan450＝sin

＝cos0….

3.四种常见题型

给角求值、给值求值、给值求角，辅助角公式

若角的范围在（0,90），选择正弦、余弦函数均可；

若角