三角函数三角函数公式表文档格式.docx
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sec0=r/x
角a的斜边比邻边
余割函数
Cosecant
csc0=r/y
角a的斜边比对边
注:
tan、cot曾被写作tg、ctg,现已不用这种写法。
非常见三角函数
除了上述六个常见的函数,还有一些不常见的三角函数,这些运算已趋于淘汰:
函数名
与常见函数转化关系
正矢函数
versin0=1-cos0
余矢函数
covers0=1-sin0
半正矢函数
havers0=(1-cos0)/2
半余矢函数
hacovers0=(1-sin0)/2
外正割函数
exsec0=sec0-1
外余割函数
excsc0=csc0-1
单位圆定义
六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。
单位圆定义在实
际计算上没有大的价值;
实际上对多数角它都依赖于直角三角形。
但是单位圆定义的
确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义,而不只是对于在0和n/2弧度
之间的角。
它也提供了一个图像,把所有重要的三角函数都包含了。
根据勾股定理,
三角函数
单位圆的方程是:
xA2+yA2=1
图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。
逆时针方向的度量是正角,而顺时针
的度量是负角。
设一个过原点的线,同x轴正半部分得到一个角0,并与单位圆相
交。
这个交点的x和y坐标分别等于cos0和sin0。
图像中的三角形确保了
这个公式;
半径等于斜边且长度为1,所以有sin0=y/1和cos0=x/1。
单
位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度,但保持斜边等于1的一种查看无限
个三角形的方式。
对于大于2n或小于等于2n的角度,可直接继续绕单位圆旋转。
在这种方式下,正弦和余弦变成了周期为2n的周期函数:
对于任何角度0和任何整数k。
周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”。
正弦、余弦、正割或余割
的基本周期是全圆,也就是2n弧度或360°
;
正切或余切的基本周期是半圆,也
就是n弧度或180°
。
上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的,其他四个三角函数的定义如图所示。
吕m3
1
tun0—
set'
0
castf
C15C0=
CDt0
am9
sin0
其他四个三角函数的定义
在正切函数的图像中,在角kn附近变化缓慢,而在接近角(k+1/2)n的时候变
化迅速。
正切函数的图像在0=(k+1/2)n有垂直渐近线。
这是因为在0从左
侧接进(k+1/2)n的时候函数接近正无穷,而从右侧接近(k+1/2)n的时候函
另一方面,所有基本三角函数都可依据中心为
O的单位圆来定义,类似于历史
数接近负无穷。
上使用的几何定义。
特别
是,对于这个圆的弦AB,这里的0是对向角的一半,sin0是AC(半弦),这
是印度的阿耶波多介入的定义。
cos0是水平距离OCversin0=1-cos0是CD>
tan0是通过A的切线的线段AE的长度,所以这个函数才叫正切。
cot0是另
一个切线段AF。
sec0=OE和csc0=OF是割线(与圆相交于两点)的线段,所以可以看作OA沿着A的切线分别向水平和垂直轴的投影。
DE是exsec0=sec
0-1(正割在圆外的部分)。
通过这些构造,容易看出正割和正切函数在0接近
n/2的时候发散,而余割和余切在0接近零的时候发散。
三角函数线
依据单位圆定义,
我们可以做三个有向线段(向量)来表示正弦、余弦、正切的值。
如图所示,圆0是一个单位圆,P是a的终边与单位圆上的交点,M点是P在x
轴的投影,S(1,0)是圆0与x轴正半轴的交点,过S点做圆0的切线I。
那么向量MP对应的就是a的正弦值,向量0M对应的就是余弦值。
0P的延长线
(或反向延长线)与I的交点为T,则向量ST对应的就是正切值。
向量的起止点不
能颠倒,因为其方向是有意义的。
借助线三角函数线,我们可以观察到第二象限角a的正弦值为正,余弦值为负,
正切值为负
特殊角的三角函数
角度
sin
cos
tan
cot
0°
无意义
30°
1/2
V3/2
V3/3
V3
45°
V2/2
60°
90°
180°
01
-1
270°
同角三角函数关系式
平方关系
sinA2(a)+cosA2(a)=1
cos(2a)=cos^2(a)-sinA2(a)=1-2sinA2(a)=2cosA2(a)-1
sin(2a)=2sin(a)cos(a)
tanA2(a)+仁1/cosA2(a)
2sinA2(a)=1-cos(2a)
cotA2(a)+1=1/sinA2(a)
积的关系
sina=tanaXcosa
cosa=cotaXsina
tana=sinaXseca
cota=cosaXCSCa
seca=tanaXcsca
csca=secaXcota
倒数关系
tana•cota=1
sina•csca=1
cosa•seca=1
商的关系
sina/cosa=tana=seca/csca
cosa/sina=cota=CSCa/seca
直角三角
sjnaeosa
secacsca
1.討為贱的韋积为【
1空白三角谢椚上两个穫一區的平方*普于下顶伍的平方人六建垮相邻林宇*顶点*bt有姜第;
4c-b
形ABC中,
角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,
余弦等于角A的邻边比斜边
正切等于对边比邻边,
•对称性
180度-a的终边和a的终边关于y轴对称。
-a的终边和a的终边关于X轴对称。
180度+a的终边和a的终边关于原点对称。
90度-a的终边和a的终边关于y=X对称。
诱导公式
任意角a与-a的二角函数值之间的关系
cos(—a)=cosa
tan(—a)=—tana
cot(—a)=—cota
公式四:
利用公式—和公式二可以得到n-a与a的二角函数
值之间的关系
sin(n—a)=sina
cos(n—a)=—cos
a
tan(n—a)=—tan
cot(n—a)=—cot
公式五:
利用公式一和公式三可以得到2n-a与a的二角函数
sin(2n—a)=—sin
cos(2n—a)=cos
tan(2n—a)=—ta
na
cot(2n—a)=—co
ta
公式六:
sin(n12+a)=COSa
cos(n/2+a)
=—s
ina
n/2±
a及3n/2±
a与a的二角函数值之间的关系
tan(n/2+a)=—c
Ota
COt(n/2+a)=—t
ana
sin(n/2—a)=cos
cos(n/2—a)=sin
tan(n/2—a)=cot
cot(n/2—a)=tansin(3n/2+a)=—c
OSa
COS(3n12+a)=Si
tan(3n/2+a)=—c
COt(3n/2+a)=—t
sin(3n/2—a)=—c
COS(3n/2—a)=—Sina
tan(3n/2—a)=cota
COt(3n/2—a)=ta
诱导公式的表格以及推导方法(定名法则和定号法则)
sin3
cos3
tan3
cot3
sec3
CSC3
360°
k+
sina
COSa
tana
COta
seca
CSCa
-a
+a
-sina
-COta
-tana
-CSCa
-COSa
-seca
+a
_a
定名法则
的奇数倍+a的三角函数,其绝对值与a三角函数的绝对值互为余函数。
的偶数倍+a的三角函数与a的三角函数绝对值相同。
也就是“奇余偶同,奇变
偶不变”
定号法则
将a看做锐角(注意是“看做”),按所得的角的象限,取三角函数的符号。
也就是“象限定号,符号看象限”•(或为“奇变偶不变,符号看象限”
2在Kn/中如果K为奇数时函数名不变,若为偶数时函数名变为相反的函数名。
正负号看原函数中a所在象限的正负号。
关于正负号有可口诀;
一全二正弦,三切
四余弦,即第一象限全部为正,第二象限角正弦为正,第三为正切、余切为正,第四象限余弦为正。
)
比如:
90°
+a。
定名:
是90°
的奇数倍,所以应取余函数;
定号:
将a看
做锐角,那么90°
+a是第二象限角,第二象限角的正弦为正,余弦为负。
所以
sin(90°
+a)=COSa,cos(90°
+a)
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