高考数学一轮复习配套讲义第3篇 第6讲 正弦定理和余弦定理Word下载.docx
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(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角;
(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角
(1)已知三边,求三个角;
(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角
2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a=bsinA
bsinA<a<b
a≥b
a>b
解的个数
一解
两解
3.三角形中常用的面积公式
(1)S=ah(h表示边a上的高).
(2)S=bcsinA=absinC=acsinB.
(3)S=r(a+b+c)(r为△ABC内切圆半径).
辨析感悟
1.三角形中关系的判断
(1)在△ABC中,sinA>sinB的充分不必要条件是A>B.(×
)
(2)(教材练习改编)在△ABC中,a=,b=,B=45°
,则A=60°
或120°
.(√)
2.解三角形
(3)在△ABC中,a=3,b=5,sinA=,则sinB=.(√)
(4)(教材习题改编)在△ABC中,a=5,c=4,cosA=,则b=6.(√)
3.三角形形状的判断
(5)在△ABC中,若sinAsinB<cosAcosB,则此三角形是钝角三角形.(√)
(6)在△ABC中,若b2+c2>a2,则此三角形是锐角三角形.(×
[感悟·
提升]
1.一条规律 在三角形中,大角对大边,大边对大角;
大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC中,A>B⇔a>b⇔sinA>sinB,如
(1).
2.判断三角形形状的两种途径 一是化边为角;
二是化角为边,并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.
学生用书第63页
考点一 利用正弦、余弦定理解三角形
【例1】
(1)(·
湖南卷)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB=b,则角A等于( ).
A.B.C.D.
(2)(·
杭州模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,c=4,B=45°
,则sinC=______.
解析
(1)在△ABC中,由正弦定理及已知得2sinA·
sinB=sinB,
∵B为△ABC的内角,∴sinB≠0.
∴sinA=.又∵△ABC为锐角三角形,
∴A∈,∴A=.
(2)由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=1+32-8×
=25,即b=5.
所以sinC===.
答案
(1)A
(2)
规律方法已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;
已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
【训练1】
(1)在△ABC中,a=2,c=2,A=60°
,则C=
( ).
A.30°
B.45°
C.45°
或135°
D.60°
(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=bc,sinC=2sinB,则A=( ).
B.60°
C.120°
D.150°
解析
(1)由正弦定理,得=,
解得:
sinC=,又c<a,所以C<60°
,所以C=45°
.
(2)∵sinC=2sinB,由正弦定理,得c=2b,
∴cosA====,
又A为三角形的内角,∴A=30°
答案
(1)B
(2)A
考点二 判断三角形的形状
【例2】(·
临沂一模)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC.
(1)求角A的大小;
(2)若sinB+sinC=,试判断△ABC的形状.
解
(1)由2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC,
得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,
∴cosA==,∴A=60°
(2)∵A+B+C=180°
,∴B+C=180°
-60°
=120°
由sinB+sinC=,得sinB+sin(120°
-B)=,
∴sinB+sin120°
cosB-cos120°
sinB=.
∴sinB+cosB=,即sin(B+30°
)=1.
∵0°
<
B<
120°
,∴30°
B+30°
150°
∴B+30°
=90°
,B=60°
∴A=B=C=60°
,△ABC为等边三角形.
规律方法解决判断三角形的形状问题,一般将条件化为只含角的三角函数的关系式,然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式;
或将条件化为只含有边的关系式,然后利用常见的化简变形得出三边的关系.另外,在变形过程中要注意A,B,C的范围对三角函数值的影响.
【训练2】
(1)(·
山东省实验中学诊断)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c2=2a2+2b2+ab,则△ABC是( ).
A.钝角三角形B.直角三角形
C.锐角三角形D.等边三角形
(2)在△ABC中,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC,则△ABC的形状是( ).
A.锐角三角形B.直角三角形
C.等腰三角形D.等腰或直角三角形
解析
(1)由2c2=2a2+2b2+ab,得a2+b2-c2=-ab,所以cosC===-<0,所以90°
<C<180°
,即△ABC为钝角三角形.
(2)由已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC,
得b2[sin(A-B)+sinC]=a2[sinC-sin(A-B)],
即b2sinAcosB=a2cosAsinB,
即sin2BsinAcosB=sin2AcosAsinB,
所以sin2B=sin2A,由于A,B是三角形的内角,
故0<2A<2π,0<2B<2π.
故只可能2A=2B或2A=π-2B,
即A=B或A+B=.
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
答案
(1)A
(2)D
考点三 与三角形面积有关的问题
【例3】(·
新课标全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+csinB.
(1)求B;
(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.
审题路线
(1)a=bcosC+csinBsinA=…⇒sin(B+C)=…⇒求出角B.
(2)由⇒得出a2与c2的关系式⇒利用基本不等式求ac的最大值即可.
解
(1)由已知及正弦定理,
得sinA=sinBcosC+sinCsinB.①
又A=π-(B+C),
故sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC.②
由①,②和C∈(0,π)得sinB=cosB.
又B∈(0,π),所以B=.
(2)△ABC的面积S=acsinB=ac.
由已知及余弦定理,得
4=a2+c2-2accos.又a2+c2≥2ac,
故ac≤,当且仅当a=c时,等号成立.
因此△ABC面积的最大值为+1.
规律方法在解决三角形问题中,面积公式S=absinC=bcsinA=acsinB最常用,因为公式中既有边又有角,容易和正弦定理、余弦定理联系起来.
学生用书第64页
【训练3】(·
湖北卷)在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c.已知cos2A-3cos(B+C)=1.
(2)若△ABC的面积S=5,b=5,求sinBsinC的值.
解
(1)由cos2A-3cos(B+C)=1,
得2cos2A+3cosA-2=0,
即(2cosA-1)(cosA+2)=0,解得cosA=或cosA=-2(舍去).因为0<A<π,所以A=.
(2)由S=bcsinA=bc·
=bc=5,得bc=20.
又b=5,所以c=4.
由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA=25+16-20=21,
故a=.
又由正弦定理,得sinBsinC=sinA·
sinA
=sin2A=×
=.
1.在解三角形的问题中,三角形内角和定理起着重要作用,在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号,防止出现增解或漏解.
2.正、余弦定理在应用时,应注意灵活性,尤其是其变形应用时可相互转化.如a2=b2+c2-2bccosA可以转化为sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA,利用这些变形可进行等式的化简与证明.
答题模板6——解三角形问题
【典例】(12分)(·
山东卷)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB=.
(1)求a,c的值;
(2)求sin(A-B)的值.
[规范解答]
(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,
得b2=(a+c)2-2ac(1+cosB),
又b=2,a+c=6,cosB=,
所以ac=9,解得a=3,c=3,(6分)
(2)在△ABC中,
sinB==,(7分)
由正弦定理得sinA==.(9分)
因为a=c,所以A为锐角,
所以cosA==.(10分)
因此sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=.(12分)
[反思感悟]
(1)在处理三角形中的边角关系时,一般全部化为角的关系,或全部化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理,出现边的二次式一般采用到余弦定理.应用正、余弦定理时,注意公式变式的应用.解决三角形问题时,注意角的限制范围.
(2)在本题第
(2)问中,不会判断角A为锐角,易造成求错cosA,导致sin(A-B)的结果出错.
答题模板 第一步:
定已知.即梳理已知条件,确定三角形中已知的边与角;
第二步:
选定理.即根据已知的边角关系灵活地选用定
理和公式;
第三步:
代入求值.
【自主体验】
已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=asinC-ccosA.
(1)求A;
(2)若a=2,△ABC的面积为,求b,c.
解
(1)由c=asinC-ccosA及正弦定理,得
sinAsinC-cosA·
sinC-sinC=0,
由于sinC≠0,所以sin=,
又0<
A<
π,所以-<
A-<
,故A=.
(2)△ABC的面积S=bcsinA=,故bc=4.
而a2=b2+c2-2bccosA,故b2+c2=8,解得b=c=2.
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