版高中数学苏教版选修21学案313 空间向量基本定理314 空间向量的坐标表示文档格式.docx
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(3)推论:
O,A,B,C是____________的四点.
对空间中任意一点P,都存在惟一的有序实数组(x,y,z),使得=________________.
知识点二 空间向量的坐标表示
思考1 对于空间任意两个向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),若a与b共线,则一定有==吗?
思考2 若向量=(x1,y1,z1),则点B的坐标一定为(x1,y1,z1)吗?
梳理
(1)空间向量的坐标表示
①向量a的坐标:
在空间直角坐标系O-xyz中,分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的________向量i,j,k作为基向量,对于空间任意一个向量a,根据空间向量基本定理,存在________的有序实数组________,使________,有序实数组________叫做向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,记作________.
②向量的坐标:
对于空间任一点A(x,y,z),向量是确定的,即=(x,y,z).
(2)空间中有向线段的坐标表示
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),
①坐标表示:
=-=________________.
②语言叙述:
空间向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的________________.
(3)空间向量的加减法和数乘的坐标表示
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),试根据下面的提示填空.
运算
表示方法
加法
a+b=________________
减法
a-b=________________
数乘
λa=________________(λ∈R)
(4)空间向量平行的坐标表示
若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),且a≠0,则a∥b⇔b1=λa1,b2=λa2,b3=λa3(λ∈R).
类型一 空间向量基本定理及应用
命题角度1 空间基底的概念
例1 已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,试判断{,,}能否作为空间的一个基底.
反思与感悟 基底判断的基本思路及方法
(1)基本思路:
判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;
若不共面,则能构成基底.
(2)方法:
①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;
如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底.
②假设a=λb+μc,运用空间向量基本定理,建立λ,μ的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;
若无解,则不共面,能作为基底.
跟踪训练1 以下四个命题中正确的是________.
①空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示;
②若{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c全不是零向量;
③如果向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,则一定有a与b共线;
④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.
命题角度2 空间向量基本定理的应用
例2 在空间四边形OABC中,点D是边BC的中点,点G,H分别是△ABC,△OBC的重心,设=a,=b,=c,试用向量a,b,c表示向量和.
引申探究
若将本例中的“G是△ABC的重心”改为“G是AD的中点”,其他条件不变,应如何表示,?
反思与感悟 用空间向量基本定理时,选择合适的基底是解题的关键.
跟踪训练2 如图所示,在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,=a,=b,=c,P是CA′的中点,M是CD′的中点,N是C′D′的中点,点Q在CA′上,且CQ∶QA′=4∶1,用基底{a,b,c}表示以下向量.
(1);
(2);
(3);
(4).
类型二 空间向量的坐标表示
例3 棱长为1的正方体ABCD-A′B′C′D′中,E、F、G分别为棱DD′、D′C′、BC的中点,以{,,}为基底,求下列向量的坐标.
(1),,;
(2),,.
本例中,若以{,,}为基底,试写出,,的坐标.
反思与感悟 用坐标表示空间向量的步骤
跟踪训练3 空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且OM=2MA,N为BC的中点,在基底{a,b,c}下的坐标为________.
类型三 空间向量的坐标运算及应用
例4 已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).
(1)求+,-;
(2)是否存在实数x,y,使得=x+y成立,若存在,求x,y的值;
若不存在,请说明理由.
反思与感悟 向量的坐标可由其两个端点的坐标确定,即向量的坐标等于其终点的坐标减去始点的坐标.特别地,当向量的起点为坐标原点时,向量的坐标即是终点的坐标.
进行空间向量的加减、数乘的坐标运算的关键是运用好其运算性质.
跟踪训练4 已知a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),求|b-a|的最小值.
1.有下列三个命题
①三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底,则a、b、c共面;
②不两两垂直的三个不共面的向量也可以作为空间向量的一组基底;
③若a、b是两个不共线的向量,而c=λa+μb(λ、μ∈R且λμ≠0),则{a,b,c}构成空间的一个基底.
其中为真命题的是________.
2.已知a=(1,-2,1),a-b=(-1,2,-1),则b=________.
3.已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),则4a+2b=________.
4.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中建立空间直角坐标系.已知AB=AD=2,BB1=1,则的坐标为________,的坐标为________.
5.在四面体OABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则=________.(用a,b,c表示)
用基底表示空间向量,一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则,及加法的平行四边形法则,加法、减法的三角形法则,逐步向基向量过渡,直到全部用基向量表示.
答案精析
问题导学
知识点一
思考1 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其中,不共线的e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
思考2 不一定,只需三个向量不共面,就可作为空间向量的一组基底,不需要两两垂直.
梳理
(1)①不共面 ②p=xe1+ye2+ze3
(2)不共面 基底 e1,e2,e3 垂直
单位向量 {i,j,k} (3)①不共面
②x+y+z
知识点二
思考1 不一定.当b中的x2,y2,z2中存在0时,式子==无意义,故此种说法错误.
思考2 不一定.由向量的坐标表示知,若向量的起点A与原点重合,则B点的坐标为(x1,y1,z1),若向量的起点A不与原点重合,则B点的坐标就不为(x1,y1,z1).
梳理
(1)①单位 惟一 (x,y,z)
a=xi+yj+zk (x,y,z) a=(x,y,z)
(2)①(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
②终点坐标减去它的起点坐标
(3)(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3) (λa1,λa2,λa3)
题型探究
例1 解 假设,,共面,
由向量共面的充要条件知存在实数x,y,
使=x+y成立.
所以=e1+2e2-e3
=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3)
=(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3.
得解得
故,,共面,不可以构成空间的一个基底.
跟踪训练1 ②③
例2 解 因为=+,
而=,=-,
又点D为BC的中点,
所以=(+),
所以=+
=+(-)
=+×
(+)-
=(++)
=(a+b+c).
而=-,
又因为==·
(+)=(b+c),
所以=(b+c)-(a+b+c)
=-a.
所以=(a+b+c),=-a.
解 =(+)
(+)
=a+b+c.
==×
=(b+c).
所以=-
=(b+c)-(a+b+c)
=-a+b+c.
跟踪训练2 解 连结AC,AD′.
(1)=(+)=(++)=(a+b+c).
(2)=(+)=(a+2b+c)
(3)=(+)
=[(++)+(+)]=a+b+c.
(4)=+=+
=+(-)=+
=(+)+
例3 解
(1)=+
=+=+
=,=+
=+=,
=++
=++=.
(2)=-=(++)-(+)=+=,
=-=(+)-(+)
=--
=,
=-=+-
=-=(1,-,0).
解 =+=-+
=(-1,0,),
=+=-
=-+=(-,1,0),
=+=(0,,).
跟踪训练3
例4 解 =(-1,1,2)-(-2,0,2)
=(1,1,0),
=(-3,0,4)-(-2,0,2)
=(-1,0,2).
(1)+=(1,1,0)+(-1,0,2)
=(0,1,2).
-=(1,1,0)-(-1,0,2)
=(2,1,-2).
(2)假设存在x,y∈R满足条件,由已知可得=(-2,-1,2).由题意得
(-1,0,2)=x(1,1,0)+y(-2,-1,2),
所以(-1,0,2)=(x-2y,x-y,2y),
所以所以
所以存在实数x=1,y=1使得结论成立.
跟踪训练4 |b-a|min=.
当堂训练
1.①② 2.(2,-4,2) 3.(8,0,4)
4.(0,2,1) (2,2,1) 5.a+b+c
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