高考数学0失误须过七关函数关Word文档格式.docx
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分析:
不少考生对对映射观点意识不强,在审题过程中把所求的结论中的符号“”仍看成了符号“”进行运算而出错.
正解:
∴,故应选B.
评析:
本题通过新定义的运算,以一一映射的观点考查了方程思想在解决此类开放题.解题时应当注意对应关系的“对号入座”.要避免出现方程组列关系式出现错位现象,解题中仍需要注意认真审题后再思考.
例2.如图,,是直线上的两点,
且.两个半径相等的动圆分别与相切于,点,
是这两个圆的公共点,则圆弧,与线段
围成图形面积的取值范围是.
大多考生取了两个特殊的位置,取两个半径为1的圆,作为该面积的最大值,取两圆半径为2的圆,得最小值.
考生审题过程中过于简单化,觉得此类问题过于浅显,盲目地作出论断而出错.
【解析】取两个极限位置,当两圆半径减小时,两圆半径为1时为最小圆,此时两圆相切,此时圆弧,与线段围成图形是长为2,宽为1的矩形去除两个半径为1的圆,其面积=;
当两圆的半径无限增大时,两圆间的间隙越来越小,且两圆半径趋近于时,圆弧,与线段围成图形面积趋近于0,
∴.
本题属于图象信息类型,是高考中常考的一个热点问题,它与动手动脑密切相关,特别是它以课本为基础,以运动为载体,将问题的本质回归到图形面积的变化范围中去,考查了考生数学建模的能力.
例3.某人定制了一批地砖.每块地砖(如图1所示)是边长为米的正方形,点E、F分别在边BC和CD上,△、△和四边形均由单一材料制成,制成△、△和四边形的三种材料的每平方米价格之比依次为3:
2:
1.若将此种地砖按图2所示的形式铺设,能使中间的深色阴影部分成四边形.
(1)求证:
四边形是正方形;
(2)在什么位置时,定制这批地砖所需的材料费用最省?
错解:
不少考生平面几可关系论证没有过关,体现为第一问的证明过程太繁,没有经过认真的审题环节,
本题考查了地砖铺设的形式排列及几何图形的几何论证与材料使用的最优化问题.以日常生活中常见的生活现象为背景,降低了考生对此类问题的心理恐惧问题.
正确答案:
(1)图2是由四块图1所示地砖绕点按顺时针旋转后得到,△为等腰直角三角形,
∴四边形是正方形.
(2)设,则,每块地砖的费用为,制成△、△和四边形三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a(元),
.
由,当时,有最小值,即总费用为最省.
答:
当米时,总费用最省.
解决这类问题的关键是要对题目中的关键图象信息进行反复的推敲,正确理解其表达的数学意义和其内在的数学关系,这些往往可以从图象的关键点挖掘出一些隐含的信息,及时准确地梳理解题思路和建立辅助方程,在头脑中形成一幅清晰的数学图景,就能建立起正确的数学模型.
第二关防概念不清
解题时,概念不清、公式错用、张冠李戴也是考试之大忌.如等差数列前n项和可看作关于n的不含常数项的二次函数,而解题时则错误地假设为=(n+1)k(k为常数),应用等比数列时忘了对公比q不等于0.
例4.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密),接收方由密文明文(解密),已知加密规则为:
明文对应密文例如,明文对应密文当接收方收到密文时,则解密得到的明文为
(A) (B) (C) (D)
本题中不少考生选了D答案.
考生多将明文与密文间的间的对应关系搞混淆,致使方程组错位而得出错误的明文.
由已知条件可得明文与密文的对应关系为方程组
解之得,从而得解密后得到的明文为,故应选B.
本题考查了明文与密文间的映射对应关系,对新信息的处理过程中分析问题与解决问题的能力.解决本题的关键点就是需要认真阅读,理解新的定义规则.然后运用题目所提供的规则来处理后面的问题.
例5.对于函数①,②,
③,判断如下三个命题的真假:
命题甲:
是偶函数;
命题乙:
在上是减函数,在上是增函数;
命题丙:
在上是增函数.
能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是.
A.①③B.①②C.③D.②
本题不少考生选了B答案.
考生在分析问题时仅分析了甲乙两个命题均为真命题,而忽视了对条件中“使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号”理解错位而致错.
①为偶函数,②为偶函数,③既不是奇函数也不是偶函数,即由命题甲可得①②正确;
∵函数与均关于直线对称,
而当时,函数与均单调递增,
∴时,函数与均单调递减,
即由命题乙可得①②也正确;
由可知该函数不是增函数,
由可知该函数是增函数,即由由命题丙可得仅②正确,
综上可得使甲、乙、丙均为真命题的函数的序号是②,故应选D.
要深入理解概念,在清楚概念来龙去脉的基础上,在解题过程中可以通过阅读启发﹑认真反思概念,并能够逐字逐句推敲,培养学生养成一种严密的逻辑思维.
例6.已知函数(a,b为常数)且方程f(x)-x+12=0有两个实根为x1=3,x2=4.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设k>
1,解关于x的不等式;
本题错解有两处,一是解析式中字母参数值、的方程组求解,二是含参不等式的分类讨论错误.
求函数定义域时对定义域的本质理解不清,特别是对于f[g(x)]形的定义域的求法容易出错.
(1)将得
(2)不等式即为,
即
①当
②当
③.
本题既全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力,又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力,从而对考查考生的创新精神、实践能力和运用数学的能力,有着十分重要的作用.
第三关防思维僵化
考试中遇到困难时,不要始终抱着一种思想不放,应该善于变换角度去思考问题,运用多种方法去解题.
例7.定义在R上的函数既是奇函数,又是周期函数,是它的一个正周期.若将方程在闭区间上的根的个数记为,则可能为()
(A)0(B)1(C)3(D)5
∵为R上的奇函数,∴;
又∵T是函数的一个正周期,∴,
∴方程=0在闭区间上的根的个数可能为3.故应选C.
考生对于奇函数、周期函数的第一联想往往就是正弦函数,而利用正弦函数而得的答案恰好为C.
∵为R上的奇函数,∴;
又∵T是函数的一个正周期,∴.
又且,∴,于是可得,
∴方程=0在闭区间上的根的个数可能为5.故应选D.
由于学生思维经常受阻,导致学生产生消极惰性心理,抽取概念的共同属性即把具有相同“外延”或一个概念的外延包含在另外一个概念的外延的概念融合在一起,这样容易将思维的局限性结论在一些抽象性问题求解中形成僵化式的应用.
例8.若曲线与直线没有公共点,则的取值范围是_________.
不少考生得错误答案、、、
等.
对于曲线的真正曲线分析作图不正
是本题错误的根源,很多考生仅画出了轴上方有图象,而
简单得解.
本题考查了数形结合思想的应用.
曲线|y|=+1图象如右图所示,
由图象可得|y|=+1与直线=没有公共点,
则应满足的条件是.
本题中问题错误分析的关键是信息感知把握不准,思维指向性模糊,观察只停滞在感知表象中,即使撞上关键信息,也不能加工形成有价值的反馈信息,致使思路受阻,从而懒于动脑,思维活动中,学生不自觉的会产生思维失误,这并非坏事,在产生思维障碍时,如果能及时查找原因,养成敢于探索的良好习惯,正确思维活动就会逐渐养成.
例9.已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求的值;
(2)证明:
函数在上是减函数;
(3)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围;
错解:
多数考生在第(3)小问上失分严重,有不少考生采用了直接代入原函数解析式而去解不等式,对于不等式不能够灵活的变形与转化为是失分的关键,这是说明了考生在解题过程中对抽象不等式的转化能力较低.
分析:
对于函数的奇偶性条件考生往往不能够深入的分析,而简单的思考问题,对于第
(2)问的作用考生需要认真的分析,否则第三问的解题将转入较难的境地.
解析:
(1)因为是奇函数,且定义域为R,所以,
又,知
而当时是奇函数
(2)证明:
法一:
由(Ⅰ)知,
令,则,
>0,即
函数在R上为减函数.
法二:
,
,
即函数在R上为减函数.
(3)是奇函数,不等式
等价于,因为减函数,
,即对一切横成立,
“失败是成功之母”,失败的教训可转化为成功的经验.对比较抽象﹑学生难理解和掌握的概念或者是概念中高度概括﹑抽象的关键词,只要能够给出现实生活中的例子或图例,把概念化为通俗易懂的形式,便可以方便处理问题并将难点理解消化.
爱因斯坦曾说:
“单凭传统的逻辑思维而想有所发现是困难的甚或是不可能的;
但是,假如认为不必借助逻辑思维而想有所发现,这同样是不可思议的事情.”[1]这就是说,只有逻辑思维与直觉思维巧妙的结合,才可能对创造力培养起作用.
第四关防掉入陷阱
所谓陷阱,是学生思维中的薄弱环节,命题人为了考查学生灵活应用知识的能力和识别能力,有意设置了这样的陷阱,如果思维不全面、仔细,极容易掉入陷阱中.
例10.设
(A)0 (B)1(C)2(D)3
由,故应选B.
考生仅将2代入计算了一次而得出的函数值,而没有深入的思考.
则,故选C.
本题解题过程中,或由于受“思维定势”的影响,致使考生对于定理、公式、法则的成立条件的遗忘,或由于考虑问题不周密,往往导致解题的失误.命题者针对这种情况设置“陷阱”,以利于培养学生全面、深入、严密的思维品质.
例11.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.
已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y
(毫克)与时间t(小时)成正比;
药物释放完毕后,
y与t的函数关系式为(a为常数),
如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题:
(Ⅰ)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y
(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为.
(Ⅱ)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到
0.25毫克以下时,学生方可进教室,那从药物释放开始,
至少需要经过小时后,学生才能回到教室.
大多数考生第二问计算或中出现错误.
本题中“空气中每立方米的含药量”是一个抽象不易理解的概念,而本题中所设置的“陷阱”却是一个指数不等式的解法问题.
当时,设,点(0.1,1)代入可得;
当时,将(0.1,1)代入可得,即得,
∴
当时,可得,即得,
∴.即至少需要经过0.6小时后,学生才能回到教室.
先进行“通读”,粗略浏览一遍,并用铅笔先划掉多余的叙述,筛掉一些无用的干扰信息缩短题目的篇幅,有时还可以从题目的附图中查找,即要多角度、无遗漏地收集有用信息;
再“精读”,对提练出解决问题的相关信息反复推敲,正确理解其表达的数学意义.建立起正确的数学模型,形成解题的基本途径.
例12.设函数
(I)求的反函数;
(II)若在[0,1]上的最大值与最小值互为相反数,求a的值;
(III)若的图象不经过
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