1718年度9年级数学上第9次Word格式文档下载.docx
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③以②中的点M为圆心,以为半径作圆.在此圆上找一点P,使PA+PB的值最小,直接写出此最小值.
附:
下列知识可直接应用:
1、中点公式:
已知A(x₁,y₁)与B(x₂,y₂),则线段AB的中点M的坐标为:
M(,)
2、如果两条直线y=k1x+m,和y=k2x+n垂直,则k1•k2=﹣1.
8.已知,AB是⊙O的直径,点P在弧AB上(不含点A、B),把△AOP沿OP对折,点A的对应点C恰好落在⊙O上.
①当P、C都在AB上方时(如图1),判断PO与BC的位置关系(只回答结果);
②当P在AB上方而C在AB下方时(如图2),①中结论还成立吗?
证明你的结论;
③当P、C都在AB上方时(如图3),过C点作CD⊥直线AP于D,且CD是⊙O的切线,求证:
AB=4PD.
9.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC上的任意一点.
(1)过A、B、D三点作⊙O,交线段AC于点E(用直尺和圆规作图,保留作图痕迹,不写作法);
(2)若=,求证:
AB是⊙O的直径;
(3)在
(2)的条件下,若AB=13,BC=10,求AE的长.
10.如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8.动点E,F同时分别从点A,B出发,分别沿着射线AD和射线BD的方向均以每秒1个单位的速度运动,连接EF,以EF为直径作⊙O交射线BD于点M,设运动的时间为t.
(1)当点E在线段AD上时,用关于t的代数式表示DE,DM.
(2)在整个运动过程中:
①连结CM,当t为何值时,△CDM为等腰三角形.
②圆心O处在矩形ABCD内(包括边界)时,求t的取值范围(直接写出答案).
11.(2016•无锡二模)在直角坐标系中,矩形OABD的边OA、OC在坐标轴上,B点坐标是(2,1),M、N分别是边OA、OC上的点.将△OMN沿着直线MN翻折,若点O的对应点是O′.
(1)①若N与C重合,M是OA的中点,则O′的坐标是 ;
②MN∥AC,若翻折后O′在AC上,求MN的解析式.
(2)已知M坐标是(1.5,0),若△MNO′的外接圆与线段BC有公共点,求N的纵坐标n的取值范围.
(3)若O′落在△OAC内部,过O′作平行于x轴的直线交CO于点E,交AC于点F,若O′是EF的中点,求O′横坐标x的取值范围.
切线最值
12.(13咸宁)如图,在Rt△AOB中,OA=OB=3,⊙O的半径为1,点P是AB边上的动点,过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点),则切线PQ的最小值为 .
13.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线AB经过点A(﹣4,0)、B(0,4),⊙O的半径为1(O为坐标原点),点P在直线AB上,过点P作⊙O的一条切线PQ,Q为切点,则切线长PQ的最小值为 .
1.解:
连接AA1.
由折叠的性质可得:
AA1⊥DE,DA=DA1,
又∵D是AB中点,∴DA=DB,∴DB=DA1,∴∠BA1D=∠B,∴∠ADA1=2∠B,
又∵∠ADA1=2∠ADE,∴∠ADE=∠B,∴DE∥BC,
∴AA1⊥BC,∴AA1=2,∴h1=2﹣1=1,
同理,h2=2﹣,h3=2﹣×
=2﹣…
∴经过第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距离hn=2﹣.∴h2016=2﹣.
故选:
D.
2.解:
如图所示,点C随A运动所形成的图形为圆,可得OC=OA,OC′=OA′,
∴CC′=OC′﹣OC=(OA′﹣OA)=AA′=6,
∴点C随点A运动所形成的圆的面积为π×
(3)2=27π,故选B.
3.解:
如图,设⊙O与AC相切于点E,连接OE,作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1,
此时垂线段OP1最短,P1Q1最小值为OP1﹣OQ1,
∵AB=10,AC=8,BC=6,∴AB2=AC2+BC2,∴∠C=90°
,
∵∠OP1B=90°
,∴OP1∥AC
∵AO=OB,∴P1C=P1B,∴OP1=AC=4,∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1=1,
如图,当Q2在AB边上时,P2与B重合时,P2Q2经过圆心,经过圆心的弦最长,
P2Q2最大值=5+3=8,
∴PQ长的最大值与最小值的和是9.
故选C.
4.解:
如图,连接OE、OF,
∵由切线的性质可得OE=OF=⊙O的半径,∠OEC=∠OFC=∠C=90°
∴OECF是正方形,
∵由△ABC的面积可知×
AC×
BC=×
OE+×
BC×
OF,
∴OE=OF=×
2a=EC=CF,BF=BC﹣CF=a,GH=2OE=2a,
∵由切割线定理可得BF2=BH•BG,∴a2=BH(BH+2a),
∴BH=(﹣1+)a或BH=(﹣1﹣)a(舍去),
∵OE∥DB,OE=OH,∴△OEH∽△BDH,∴=,
∴BH=BD,CD=BC+BD=2a+(﹣1+)a=(1+)a,
5.解:
如图所示:
当∠AFE=∠GFE,点G在CE上时,此时CG的值最小,
根据折叠的性质,△AFE≌△GFE,∴AE=GE,
∵E是AB边的中点,AB=2,∴AE=BE=GE=1,
∵BC=AB=2,∴CE==,∴CG=CE﹣EG=﹣1,
6.解:
连接OQ,
∵MN=OP(矩形对角线相等),⊙O的半径为2,∴OQ=MN=OP=1,
可得点Q的运动轨迹是以O为圆心,1为半径的圆,当CQ与此圆相切时,∠QCN最大,则tan∠QCN的最大值,
此时,在直角三角形CQ′O中,∠CQ′O=90°
,OQ′=1,CO=2,
∴CQ′==,即线段CQ的长为.
7.解:
(1)最小值函数的图象见图中实线,
∵x=1时,y=3,
∴点A(1,3)在这个最小值函数的图象上.
(2)①如图2中,作ON⊥AB于N.
∵AB∥OM,∴S△ABM=S△ABO,
∵A91,3),B(3,5),ON=,AB=2∴S△ABM=×
2×
=2.
②∵直线AB的解析式为y=x+2,
∴线段AB的中垂线的解析式为y=y=﹣x+6,由,解得,∴点M坐标为(3,3);
③PA+PB的最小值为,理由如下:
如图,A(1,3)B(3,5),M(3,3),
取MB的中点D,P为圆上任意一点,PM=,MB=2,MD=1,可证△MPD∽△MBP,
可得PD=PB,则PA+PB最小也就是PA+PD最小,所以连接AD,线段AD的长是所求的最小值,最小值为.
12.解:
连接OP、OQ.∵PQ是⊙O的切线,∴OQ⊥PQ;
根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2,∴当PO⊥AB时,线段PQ最短,
∵在Rt△AOB中,OA=OB=3,∴AB=OA=6,∴OP==3,
∴PQ===2.
13.解:
根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2,
∵当PO⊥AB时,线段PQ最短;
又∵A(﹣4,0)、B(0,4),
∴OA=OB=4,∴AB=4∴OP=AB=2,∴PQ=;
8.解:
(1)PO与BC的位置关系是PO∥BC;
理由如下:
∵∠CPO对着劣弧,∠PCB对着优弧,和之和恰为圆周弧,
∴∠CPO+∠PCB=180°
,∴PO∥BC;
(2)
(1)中的结论PO∥BC成立,理由为:
由折叠可知:
△APO≌△CPO,∴∠APO=∠CPO,
又∵OA=OP,∴∠A=∠APO,∴∠A=∠CPO,
又∵∠A与∠PCB都为所对的圆周角,
∴∠A=∠PCB,∴∠CPO=∠PCB,∴PO∥BC;
(3)∵CD为圆O的切线,
∴OC⊥CD,又AD⊥CD,∴OC∥AD,∴∠APO=∠COP,
由折叠可得:
∠AOP=∠COP,∴∠APO=∠AOP,
又OA=OP,∴∠A=∠APO,∴∠A=∠APO=∠AOP,
∴△APO为等边三角形,∴∠AOP=60°
又∵OP∥BC,∴∠OBC=∠AOP=60°
,又OC=OB,
∴△BCO为等边三角形,∴∠COB=60°
∴∠POC=180°
﹣(∠AOP+∠COB)=60°
,又OP=OC,
∴△POC也为等边三角形,∴∠PCO=60°
,PC=OP=OC,
又∵∠OCD=90°
,∴∠PCD=30°
在Rt△PCD中,PD=PC,又∵PC=OP=AB,∴PD=AB,即AB=4PD.
9.
(1)解:
如图,⊙O即为所求;
(2)证明:
∵过A、B、D三点作⊙O,交线段AC于点E,
∴A、B、D、E四点共圆,∴∠DEC=∠ABC,
∵AB=AC,∴∠ACB=∠ABC,∴∠DEC=∠ACB,∴DE=CD,
∵=,∴DE=BD,∴CD=BD,∴AD⊥BC,∴AB是⊙O的直径;
(3)解:
连结BE,
∵AB是⊙O的直径,
∴BE⊥AC,
由勾股定理可得,AB2﹣AE2=BC2﹣(AC﹣AE)2,即132﹣AE2=102﹣(13﹣AE)2,
解得AE=.
故AE的长是.
10.解:
(1)如图1所示:
连接ME.
∵AE=t,AD=8,∴ED=AD﹣AE=8﹣t.
∵EF为⊙O的直径,∴∠EMF=90°
.∴∠EMD=90°
.∴MD=ED•cos∠MDE=.
(2)①a、如图2所示:
连接MC.
当DM=CD=6时,=6,解得t=;
b、如图3所示:
当MC=MD时,连接MC,过点M作MN⊥CD,垂足为N.
∵MC=MD,MN⊥CD,∴DN=NC.
∵MN⊥CD,BC⊥CD,∴BC∥MN.
∴M为BD的中点.∴MD=5,即=5,解得t=;
c、如图4所示:
CM=CD时,过点C作CG⊥DM.
∵CM=
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