公交线路转乘选择的优化模型数学建模论文.docx

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公交线路转乘选择的优化模型

摘要：

本文以奥运会的公交线路换乘为大背景，建立了在公汽线路、地铁以及步行三种方式中综合进行路线转乘的模型。

此问题可以归结为两个站点之间的最短路问题，由于直接以站点构建最短路问题计算量较大，本文在处理三个问题时分别提出了相应的模型与求解算法，以乘坐时间最短为标准回答了问题一与问题二，对问题三提出了最短路模型。

在问题一建模过程中，我们以任意两条线路是否可以直接换乘为突破口，建立了以每条线路为顶点，两条线路之间的换乘信息为弧的图，将问题一归结为弧长可变的最短路问题，提出了结合动态规划方法与分枝定界思想的算法。

首先将题目所给出的路线与站点信息翻译为两条线路是否可以直接相交以及在何处相交的信息矩阵；其次以换乘时间最短或者费用最小为决策函数，建立动态规划问题；再次设计相应的算法进行求解。

通过求解，以最短时间为目标，问题一的结果如下所示（以

（1）,

（2）组为例，其它见正文表1）：

组

（1）：

S3359→S1828，S3359¾¾L15®S2903¾¾L¾201®S458¾¾L¾41®S1828，最短时间

73分钟，费用3元；组

（2）：

S1557→S0481，S1557¾¾L¾84®S1919¾¾L1¾89®S3186¾¾L4¾60®S481，最短时间

106分钟，费用3元。

同时文章对运算结果进行了相关分析。

在问题二建模过程中，沿用问题一的求解思想，将新增加的地铁视为新的线路，将所有线路信息转化为新的转乘矩阵，同时按照新的背景得到新的乘车时间与费用计算方法，同样以最短时间为目标，相同的算法可以得到问题二的结果（以（5）,（6）组为例，具体见正文表2）：

组（5）：

S0148→S0485，

S0148¾¾L¾24®S1487-D02¾¾T1®D21-S466¾¾L¾51®S485最短时间87.5分钟，费用5元；

组（6）：

S0087→S3676，S0087-D27¾¾T2®D36-S3676，最短时间28分钟

（已经加上地铁站到地面站点的步行时间，其中地铁运行时间20分钟），费用3元。

在问题三建模过程中，由于增加了步行的信息，问题一、二的方法无法直接使用，文章建立了一个新的最短路问题。

以每个站点为顶点，以两个顶点之间的最短路径（最短达到时间或者最小到达费用）为弧构造有向图，其中最短达到时间由问题二得到的两个站点之间使用公交网络的换乘时间与步行时间的最小值决定。

从而将问题三归结为一个有向图的最短路模型，文章对此模型给出了算法建议。

最后文章对所提出的模型进行了优缺点分析与推广评价。

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关键词：

城市公交线路、图与网络、最短路模型、动态规划

一、问题重述：

近些年来，城市公共交通系统有了很大发展，使得公众的出行更加通畅、便利。

绝大多数市民出行时首先会考虑选择公交设施，同时也面临如何在众多条线路中如何选择合适线路的问题。

针对市场需求，要求开发一个解决公交线路选择问题的自主查询计算机系统，可以满足查询者的各种不同需求，对不同的起点和终点给出最佳的公交转乘路线。

竞赛要求设计线路选择的模型与算法，解决以下三个问题：

1、仅考虑公汽线路，给出任意两公汽站点之间线路选择问题的一般数学模型与算法。

并根据附录数据，利用模型与算法，求出以下6对起始站→终到站之间的最佳路线（要有清晰的评价说明）。

（1）、S3359→S1828

（2）、S1557→S0481 （3）、S0971→S0485（4）、S0008→S0073 （5）、S0148→S0485 （6）、S0087→S3676

2、同时考虑公汽与地铁线路，解决以上问题。

3、假设又知道所有站点之间的步行时间，请你给出任意两站点之间线路选择问题的数学模型。

二、问题分析：

（1）从影响出行选择的因素看，每个人主要会从两个标准对线路进行选择与优劣衡量：

从起点到终点所需要的总时间最短；从起点到终点需要花费的费用。

（2）从本质上讲，选择线路的问题可以归结为最短路问题，但是考虑到转乘线路需要时间，并且一条公交线路不能按照站点进行拆分，因此以每个站点构造路线图不利于解决问题。

注意到从起点站到目标站关键是选择乘坐哪些公交线路，需要在公交线路中如何选择转乘线路，因此可以以公交线路为顶点，以两个站点之间是否可以转乘为弧构造图，而点到点之间最佳路线的选择可以转化为经过分别两个端点的公交线路集合之间的最短路问题。

同时我们需要任意两个线路之间是否可以转乘的信息。

（3）在给出的线路信息中，我们发现主要有三类线路：

下行线路与上行线路不同，下行线路是上行线路的原路返回，环形线路。

为了区分同一条线路不同的运行方向，我们人为地将每一条线路变为两条线路，这样做既可以分清楚所换乘的是那条线路的哪个方向，同时也可以将两条线路换乘点的信息与每个站点在本条线路上的位置相联系，这样可以用来判断乘坐某条线路公交车从某个站点出发时，可以换乘哪些公交线路（换乘站点必须在乘车点沿着公交车运行方向的后方）。

（4）在公交线路信息中，与决策目标有关的元素还有每条线路的计费方式及每条线路乘坐时花费的时间。

对于计费方式，我们按照单一票价与分段计价进行识别，分段计价与乘坐的站点数有关，这也是我们需要每个站点在每条线路上具体位置的原因；同样运行时间也与站点的具体位置有关。

（5）问题一仅对公共汽车进行分析，可以转化为一个图论问题，使用动态规

划方法进行算法设计与计算。

问题二增加两条地铁信息后，对问题一模型的影响仅在于需要考虑线路数的增加，也只需要将地铁线路与公车线路是否可以换乘的信息表现出即可。

问题三增加步行信息后，问题变得较为复杂，因为我们并不知道在哪些地方将会步行，因此我们采用简单列举的方法建立模型。

三、 模型假设：

1.乘客在乘坐公交线路过程中，以平均耗时为实际乘车、等车、转乘耗时；

2.乘客在选择转乘线路时，考虑的因素有两个：

花费的时间最少与费用最小；

3.在计算换乘时间时，由公交车换公交车、地铁换地铁、公交车换地铁以及地铁换公交车时不单独计算步行时间；

4.由起点所在站点直接乘坐地铁及从地铁直接到终点时，需单独计算步行时间。

四、 符号说明及定义：

LS（i,j）：

衡量每条线路在每个站点是否停靠的0—1矩阵；

LSN（i,j）：

衡量每条线路经过的每个站点是从起点起算的第几站的矩阵；

i

Li=LS（i,:

）：

线路L的停靠站点向量

C：

存储每条线路的收费信息；

SB（Si）：

停靠Si的所有公交线路的集合；

LB（Li）：

线路Li停靠的所有站点；

Cost（i,a,b）：

乘坐Li从其第a站到第b（b>a）站的费用

Tim（i,a,b）=Tb（b-a）：

表示从线路L的第a站到第b站的时间函数

b i

b

Tb：

表示相邻公汽站平均行驶时间，本题为3

Time（Sm,L,Sn）：

从站点Sm经过一系列线路到达Sn的总时间

TCost（Sm,L,Sn）：

从站点Sm经过一系列线路到达Sn的总费用

TR：

所有线路的转乘矩阵

tr（i,j）：

公交线路Li，Lj两两转乘集合；

V：

为所有站点集合；

E：

有向图中表示两个站点之间最短距离（最少时间或者最少费用）信息

五、 问题一建模与求解

一个城市所有的公交线路和停车点构成了一个复杂的网络图,这些停车点

可以看作该网络图的结点,这些结点由相应的公交路线相连。

结点之间的边就是公交路线。

有的结点之间有边相连（即在某一条公交线上）,有的结点之间无边相连（即这两个结点不在任何一条公交线上）。

因此,城市的公交路线网络图非常复杂,结点很多,公交线路纵横交错。

描述公交线路网络的一个简单方法是以每个站点为顶点，以两个顶点之间的公交线路信息（需要花费的时间、花费的费用等）为弧建立赋权图，本题中站点个数共有3957个，这样得到的矩阵将是3957阶方阵，如此庞大的矩阵在使用计算机处理时，将会遇到很大的困难，我们所拥有的计算机硬件达不到要求。

因此我们需要从另外一个角度重新描述公交线路网络。

进而我们可以使用通过动态规划方法、最短路方法等建模思想构造算法、编写程序，使问题得到圆满地解决。

5.1原始数据处理

（1）公交线路处理

我们将题中给出的520条公交线路进行处理，将每条线路人为地变成两条，每一条代表一个具体的行驶方向，得到1040条起点终点固定的单方向行驶的公交线路。

具体的处理方法如下：

a）对于上行与下行站点相同的线路，如图1中（a），将上行与下行视为不同的两条线路，每一条作为一条新的单方向行驶的公交线路，即

A®B及B®A；由于两个走向站点相同，因此这两条线路经过的站点集合相同，但是每个站点在两条线路中的位置不同，这对衡量从某个站点出发乘坐该线路是否可以换乘其他线路，以及换乘哪条线路非常重要（详细说明见后续命题）；

b）对于上行与下行站点不同的线路，如图1中（b），将上行方向与下行方向视为两个不同的线路A®B及B®A，这两条线路经过的站点集合不同，从而每个站点在两条线路中的站点位置也不同；

c）对于环形线路，如图1中（c），起点与终点为A的环形道路，从中间某个站点断开，作为前一路线的终点以及后一路线的起点，这样就形成两条新的线路。

由于环线中间某些站可能重合，因此分割线路时要保证同一线路中没有公共站点（编程设计的需要）并且兼顾两条新线路长度均等。

A B

（a）

A B A

（b） （c）

图1

通过以上处理，我们将所有情况统一转化为以起点和终点确定的1040条具有单一方向的有向线段。

（2）建立站点与线路关系矩阵

利用

（1）得到的1040条线路及其上每个站点的信息，构造下列两个反映

1040条线路与3957个站点相关信息的矩阵，称为停靠信息矩阵：

LS与LSN。

LS为1040行3957列的矩阵，元素为0或者1，反映每条线路是否经过每个站点，元素取值为：

ì1

0

LS（i,j）=í

î

线路Li经过站点Sj 。

线路Li不经过站点Sj

LSN也为1040行3957列的矩阵，元素为0或者某个自然数k，反映每条线路经过每个站点时，从该线路的起始点算起，该站为第k站，元素取值为：

ìk

LSN（i,j）=í0

站点Sj为线路Li的第k站。

线路L不经过站点S

î i j

定义向量Li=LS（i,:

）为线路L的停靠向量，LB（L）为线路L停靠的站点集

i i i

合：

LB（Li）={Sj|LS（i,j）=1}。

SB（Sj）为停靠站点Sj的公汽线路集合：

SB（Sj）={Li|LS（i,j）=1}。

（3）每条线路的计费信息

定义向量C=（c1,c2,L,c1040）为每条线路的计费信息，按照题中所给出的计费信息，元素取值为

=

ì0

ci í

î1

第i条线路为单一计费。

第i条线路为分段计费

若ci=0，则线路Li为单一收费，票价均为1元；

若ci=1，则线路Li为分段收费，按照题中所给定的公汽票价方案，可以得到乘坐Li从其第a站到第b（b>a）站的费用为Cost（i,a,b）=cik+1，其中

k=min（b-a-1,2）。

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可以发现单