实变与泛函分析初步0201湖北教育考试院Word下载.docx
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了解可测函数列几乎处处收敛与一致收敛的关系、可测函数列依测度收敛与几乎处处收敛的关系、可测函数与连续函数的关系;
掌握勒贝格积分的基本思想、基本性质以及勒贝格积分极限定理及其应用;
了解绝对连续函数的可微性和牛顿-莱布尼兹公式。
通过本课程的学习,培养并提高用现代数学的思想方法分析、解决问题的能力,为后续课程的顺利学习提供保证,为今后学习、研究现代数学和从事数学教育工作奠定基础。
三、与本专业其他课程的关系
本课程是数学与应用数学专业基础课程之一,它的先行课程是《数学分析》,而概率论与数理统计、泛函分析、分形几何、微分方程与动力系统、偏微分方程等都是与它有着密切联系的后续课程。
其中《数学分析》是学习本课程的基础,而本课程又是进一步学习概率论与数理统计、泛函分析、分形几何、微分方程与动力系统、偏微分方程等课程的基础。
第二部分考核内容与考核目标
第一章集合
一、学习目的与要求
通过本章的学习,应理解集合的概念,熟练掌握集合的并、交、差、余这四种基本运算,掌握集合列的极限运算;
了解康托假设的含义,理解一一映射、集合对等与势(基数)的概念,掌握证明集合对等的基本方法;
理解可数集与不可数集的概念、熟练掌握基本性质以及判别方法;
掌握n维欧氏空间中集合的聚点、内点、外点、边界点的概念及互相之间的关系;
了解并掌握开集、闭集、完备集的定义及性质,以及直线上开集、闭集、完备集的构造;
掌握康托集的构造和康托集的基本性质。
二、考核知识点与考核目标
(一)重点
集合的概念、集合的表示、子集、真子集;
集合的并、交、余、D.Morgan法则、集合的直积;
上限集、下限集、极限集、单调集列及其极限集;
单射、满射、一一映射、映射基本性质、集合的势、对等、对等基本性质、基数、基数的比较、伯恩斯坦定理;
可数集、可数集性质、有理数集;
不可数集存在性、连续集及其性质、不存在基数最大的无限集;
中的距离、邻域、区间、开球、闭球、球面;
开集、开集性质、内点、内核、边界点、边界;
收敛点列、聚点、聚点的等价定义、孤立点、孤立点集、导集、闭集、闭集性质;
集合、集合、集合和集合的性质、Borel集;
中开集与闭集的构造、中开集与闭集的构造。
识记:
单射、满射、一一映射、集合的势、对等、对等基本性质、基数、基数的比较、伯恩斯坦定理;
收敛点列、聚点、孤立点、孤立点集、导集、闭集、闭集性质、集合、集合、集合和集合的性质、Borel集;
理解:
集合的表示、子集、真子集;
一一映射、映射基本性质、集合对等的基本性质、基数的比较、伯恩斯坦定理;
不可数集存在性、连续集及其性质;
中的距离、邻域、开球、闭球、球面;
聚点、聚点的等价定义、孤立点、孤立点集、导集、闭集、闭集性质;
集合和集合的性质、Borel集;
应用:
集合的并、交、余、D.Morgan法则;
上限集、下限集、单调集列及其极限集;
一一映射、映射基本性质、集合对等的基本性质、伯恩斯坦定理;
可数集、可数集性质;
连续集及其性质;
中的距离、邻域、开球、闭球;
(二)次重点
完全集;
开集与闭集构造的定理;
开集与闭集构造的简单应用。
开集与闭集构造的定理。
开集与闭集构造的定理的含义。
(三)一般
集合族(类)、环与环、代数(域)与代数(域);
环、环、代数(域)、代数(域)之间的关系;
稠密集、疏朗集;
中集合之间的距离以及集合之间距离的可达性,中闭集的隔离性;
集合的特征函数、特征函数性质以及集合在研究函数性质中的简单应用。
中集合之间的距离;
中闭集的隔离性;
集合的特征函数。
集合的特征函数、特征函数性质。
集合在研究函数性质中的简单应用。
第二章测度论
通过本章的学习,应了解建立可测集及测度的过程和步骤,理解外测度的概念和它的不足,进而理解建立测度的必要性;
理解可测集的测度是区间长度的推广,熟练掌握测度的基本性质:
(1)非负性、
(2)单调性、(3)完全可加性,即一列互不相交的可测集合的并的测度等于每个可测集的测度之和;
熟练掌握可测集和可测集列的基本性质;
了解可测集合类,掌握可测集合与开集、闭集和Borel集的关系。
外测度的定义;
外测度的基本性质,即非负性、单调性、次可加性;
可测集的定义、可测集的等价条件;
可测集的基本性质,即可测集的并、交、余,可测集的可数可加性,可测集列的极限性质;
可测集的判别方法;
常见的可测集类,即零测集、区间、开集、闭集、Borel集等;
可测集与Borel集的几种关系,即集与可测集、集与可测集,可测集与Borel集的关系。
外测度的基本性质;
可测集的定义;
可测集的基本性质;
常见的可测集类;
可测集与Borel集的几种关系。
外测度的基本性质以及简单的应用;
可测集的定义及等价条件;
可测集的基本性质及性质的简单应用;
可测集的定义及等价条件及可测集的判别方法;
勒贝格(Lebesgue)外测度的分离性;
外测度与测度的计算;
可测集与Borel集之间几种关系的简单应用。
几类典型集合的外测度或测度。
几类典型集合的外测度或测度的计算步骤。
可测集与Borel集之间几种关系的简单。
乘积空间与乘积测度。
乘积测度的计算公式。
乘积测度的计算公式的简单应用。
第三章可测函数
通过本章的学习,应了解建立可测函数概念的步骤和过程,即先定义非负简单函数,再用非负简单函数的极限定义非负可测函数,最后用集合的可测性定义一般的可测函数;
理解几乎处处的概念;
理解并熟练掌握可测函数的基本性质,即可测函数的和、差、积、商是可测函数,可测函数的上确界、下确界及可测函数的极限是可测函数;
理解可测函数列依测度收敛的概念;
掌握可测函数列的几种收敛之间的关系,即依测度收敛与几乎处处收敛的关系、几乎处处收敛与一致收敛的关系;
理解并掌握可测函数与连续函数的关系。
简单函数、非负可测函数、一般可测函数的定义及可测函数的等价定义;
可测函数的简单性质,比如:
几乎处处性,可测函数的和、差、积、商,函数的正部、负部的可测性,可测函数列的上确界、下确界,可测函数列的极限的可测性;
可测函数与简单函数的关系;
可测函数列的几种收敛(几乎处处收敛,依测度收敛)的含义,可测函数的几种收敛性的关系,比如:
几乎处处收敛与一致收敛的关系(包括依果洛夫(Egoroff)定理、依果洛夫逆定理)、几乎处处收敛与依测度收敛的关系、依测度收敛的性质、勒贝格(Lebesgue)定理、黎斯(Riesz)定理;
可测集上的连续函数、鲁津(Lusin)定理及逆定理、可测函数与连续函数的关系,直线上连续函数的延拓。
可测函数的简单性质;
可测函数列的几种收敛的含义;
依测度收敛的性质、勒贝格定理、黎斯定理;
鲁津定理及逆定理、可测函数与连续函数的关系。
可测函数的几种收敛性的关系;
依测度收敛的性质、勒贝格(Lebesgue)定理、黎斯(Riesz)定理;
可测函数的判别方法;
依果洛夫定理、依果洛夫逆定理以及鲁津定理及逆定理的简单应用,依测度收敛的性质的简单应用。
可测函数与简单函数关系的证明思路;
依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的证明思路;
鲁津定理的证明思路。
可测函数与简单函数关系的的条件和结论;
依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的条件和结论;
鲁津定理及逆定理的条件和结论。
鲁津定理及逆定理的证明思路。
依果洛夫定理、依果洛夫逆定理以及鲁津定理的进一步应用。
函数可测的进一步判断;
可测函数与简单函数关系的证明;
依果洛夫定理、依果洛夫逆定理的证明;
鲁津定理及逆定理的证明;
依测度收敛的判断及依测度收敛性质的进一步应用。
可测函数与简单函数关系;
依果洛夫定理、依果洛夫逆定理;
鲁津定理及逆定理。
鲁津定理的证明。
第四章Lebesgue积分
通过本章的学习,应了解建立勒贝格(Lebesgue)积分的步骤和过程,即先定义非负简单函数的勒贝格积分,再由非负简单函数积分的极限定义非负可测函数的勒贝格积分,进而通过函数的正部、负部这两个非负函数定义一般函数的勒贝格积分;
熟练掌握勒贝格(积分的基本性质,即可积函数的线性性、可积函数的几乎处处有限性、可积函数的绝对可积性、积分的绝对连续性、可积函数的可数可加性;
熟练掌握勒贝格(Lebesgue)积分关于积分与极限交换的极限定理,即勒维(Levi)单调收敛定理、法都(Fadou)定理、逐项积分定理和控制收敛定理;
理解函数黎曼(Riemann)可积的充分必要条件是函数有界,且几乎处处连续;
理解并初步掌握黎曼积分与勒贝格积分的关系,并会运用这一关系熟练计算一些较为简单的可积函数的勒贝格积分;
理解将重积分化为累次积分的富比尼(Fubini)定理;
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