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导数知识点归纳及应用
导数知识点归纳及应用
一、相关概念
1.导数的概念
略
二、导数的运算
1.基本函数的导数公式:
①(C为常数)
②
③;
④;
⑤
⑥;
⑦;
⑧.
例1:
下列求导运算正确的是()
A.(x+B.(log2x)′=C.(3x)′=3xlog3eD.(x2cosx)′=-2xsinx
2.导数的运算法则
法则1:
(
法则2:
若C为常数,则
法则3:
(v0)。
3.复合函数的导数
形如y=f的函数称为复合函数。
复合函数求导步骤:
分解——>求导——>回代。
法则:
y'|=y'|·u'|或者.
练习:
求下列各函数的导数:
(1)
(2)(3)(4)
3、导数的几何意义
函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率。
也就是说,曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率是f’(x)。
相应地,切线方程为y-y=f/(x)(x-x)。
例:
曲线在处的切线平行于直线,则点的坐标为()
A.B.C.和D.和
四、导数的应用
1.函数的单调性与导数
(1)如果,则在此区间上为增函数;
如果,则在此区间上为减函数。
(2)如果在某区间内恒有,则为常数。
例:
函数是减函数的区间为()
A.B.C.D.(0,2)
2.极点与极值:
曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正;
例:
函数已知时取得极值,则=()
A.2B.3C.4D.5
3.最值:
在区间[a,b]上连续的函数f在[a,b]上必有最大值与最小值。
但在开区间(a,b)内连续函数f(x)不一定有最大值,例如。
函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的。
函数的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值,极值可能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值。
例:
函数在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是________________.
(数学选修1-1)第一章导数及其应用[基础训练组]
一、选择题
3.函数的递增区间是()
A.B.C.D.
4.,若,则的值等于()
A.B.C.D.
6.函数在区间上的最小值为()
A.B.C.D.
二、填空题
1.若,则的值为_________________;
2.曲线在点处的切线倾斜角为__________;
3.函数的导数为_________________;
4.曲线在点处的切线的斜率是_________,切线的方程为_______________;
5.函数的单调递增区间是___________________________。
三、解答题
1.求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程。
3.求函数在区间上的最大值与最小值。
4.已知函数,当时,有极大值;
(1)求的值;
(2)求函数的极小值。
●经典例题选讲
例1.已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数),下面四个图象中的图象大致是()
例2.已知函数的图象过点P(0,2),且在点M处的切线方程为.
(Ⅰ)求函数的解析式;(Ⅱ)求函数的单调区间.
例4.设函数,已知是奇函数。
(Ⅰ)求、的值。
(Ⅱ)求的单调区间与极值。
例5.已知f(x)=在x=1,x=时,都取得极值。
求a、b的值。
例7:
已知函数其中
(1)当时,求曲线处的切线的斜率;
(2)当时,求函数的单调区间与极值。
导数知识点归纳及应用教师
一、相关概念
1.导数的概念
略
二、导数的运算
1.基本函数的导数公式:
①(C为常数)
②
③;
④;
⑤
⑥;
⑦;
⑧.
例1:
下列求导运算正确的是()
A.(x+B.(log2x)′=C.(3x)′=3xlog3eD.(x2cosx)′=-2xsinx
[解析]:
A错,∵(x+
B正确,∵(log2x)′=
C错,∵(3x)′=3xln3
D错,∵(x2cosx)′=2xcosx+x2(-sinx)
2.导数的运算法则
法则1:
(
法则2:
若C为常数,则
法则3:
(v0)。
3.复合函数的导数
形如y=f的函数称为复合函数。
复合函数求导步骤:
分解——>求导——>回代。
法则:
y'|=y'|·u'|或者.
练习:
求下列各函数的导数:
(1)
(2)(3)(4)
解:
(1)∵
∴y′
(2)y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,∴y′=3x2+12x+11.
(3)∵y=
∴
(4),
∴
4、导数的几何意义
函数y=f(x)在点x处的导数的几何意义是曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率。
也就是说,曲线y=f(x)在点p(x,f(x))处的切线的斜率是f’(x)。
相应地,切线方程为y-y=f/(x)(x-x)。
例:
曲线在处的切线平行于直线,则点的坐标为()
A.B.C.和D.和
四、导数的应用
1.函数的单调性与导数
(1)如果,则在此区间上为增函数;
如果,则在此区间上为减函数。
(2)如果在某区间内恒有,则为常数。
例:
函数是减函数的区间为()
A.B.C.D.(0,2)
[解析]:
由<0,得0 ∴函数是减函数的区间为(0,2) 2.极点与极值: 曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0;曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正; 例: 函数已知时取得极值,则=() A.2B.3C.4D.5 [解析]: ∵,又时取得极值 ∴ 则=5 3.最值: 在区间[a,b]上连续的函数f在[a,b]上必有最大值与最小值。 但在开区间(a,b)内连续函数f(x)不一定有最大值,例如。 函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的。 函数的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得,有极值的未必有最值,有最值的未必有极值,极值可能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值。 例: 函数在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是. [解析]: 由=0,得, 当时,>0,当时,<0,当时,>0, 故的极小值、极大值分别为, 而 故函数在[-3,0]上的最大值、最小值分别是3、-17。 (数学选修1-1)第一章导数及其应用[基础训练组] 一、选择题 3.函数的递增区间是() A.B.C.D. 4.,若,则的值等于() A.B.C.D. 6.函数在区间上的最小值为() A.B.C.D. 二、填空题 1.若,则的值为_________________; 2.曲线在点处的切线倾斜角为__________; 3.函数的导数为_________________; 4.曲线在点处的切线的斜率是_________,切线的方程为_______________; 5.函数的单调递增区间是___________________________。 三、解答题 1.求垂直于直线并且与曲线相切的直线方程。 3.求函数在区间上的最大值与最小值。 4.已知函数,当时,有极大值; (1)求的值; (2)求函数的极小值。 (数学选修1-1)第一章导数及其应用[基础训练A组] 一、选择题 3.C对于任何实数都恒成立 4.D 6.D 得而端点的函数值,得 二、填空题 1. 2. 3. 4. 5. 三、解答题 1.解: 设切点为,函数的导数为 切线的斜率,得,代入到 得,即,。 3.解: 当得,或,或, ∵,, 列表: + + ↗ ↗ 又;右端点处; ∴函数在区间上的最大值为,最小值为。 4.解: (1)当时,, 即 (2),令,得 ●经典例题选讲 例1.已知函数的图象如图所示(其中是函数的导函数),下面四个图象中的图象大致是() [解析]: 由函数的图象可知: 当时,<0,>0,此时增 当时,>0,<0,此时减 当时,<0,<0,此时减 当时,>0,>0,此时增 故选C 例2.已知函数的图象过点P(0,2),且在点M处的切线方程为. (Ⅰ)求函数的解析式; (Ⅱ)求函数的单调区间. 解: (Ⅰ)由的图象经过P(0,2),知d=2, 所以 由在处的切线方程是,知 故所求的解析式是 (Ⅱ) 解得当 当 故内是增函数, 在内是减函数,在内是增函数. 例4.设函数,已知是奇函数。 (Ⅰ)求、的值。 (Ⅱ)求的单调区间与极值。 解: (Ⅰ)∵,∴。 从而=是 一个奇函数,所以得,由奇函数定义得; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,从而,由此可知, 和是函数是单调递增区间;是函数是单调递减区间; 在时,取得极大值,极大值为, 在时,取得极小值,极小值为。 例5.已知f(x)=在x=1,x=时,都取得极值。 (1)求a、b的值。 解: (1)由题意f/(x)=的两个根分别为1和 由韦达定理,得: 1=, 则, 例7: 已知函数其中 (3)当时,求曲线处的切线的斜率; (4)当时,求函数的单调区间与极值。 解: () () 以下分两种情况讨论。 (1)>,则<.当变化时,的变化情况如下表: + 0 — 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ (2)<,则>,当变化时,的变化情况如下表: + 0 — 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
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