323导数与函数的综合问题试题及答案Word下载.docx
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A.1百万件B.2百万件C.3百万件D.4百万件
4.(2017·
洛阳统考)若函数f(x)=2x3-9x2+12x-a恰好有两个不同的零点,则a可能的值为()
A.4B.6C.7D.8
5.设函数ht(x)=3tx-2t,若有且仅有一个正实数x0,使得h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数t都成立,则x0等于()
A.5B.C.3D.
6.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导函数为f′(x),f′(x)>0,对于任意实数x,有f(x)≥0,则的最小值为________.
7.(2017·
郑州质检)设函数f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数,其导函数为f′(x),且有
2f(x)+xf′(x)>x2,则不等式(x+2017)2f(x+2017)-4f(-2)>0的解集为________.
8.若对于任意实数x≥0,函数f(x)=ex+ax恒大于零,则实数a的取值范围是________.
9.(2016·
四川)设函数f(x)=ax2-a-lnx,其中a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)确定a的所有可能取值,使得f(x)>-e1-x在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).
10.某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).
(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;
(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.
导数与函数的综合问题B组专项能力提升
30分钟)
11.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R).若x=-1为函数g(x)=f(x)ex的一个极值点,则下列图象不可能为y=f(x)的图象的是()
12.(2017·
开封一模)已知函数f(x)=ax3-3x+1对x∈(0,1]总有f(x)≥0成立,则实数a的取值范围是________.
13.(2017·
皖江名校联考)若y=ax+b为函数f(x)=图象的一条切线,则a+b的最小值为________.
14.设函数f(x)=a2lnx-x2+ax,a>0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求所有的实数a,使e-1≤f(x)≤e2对x∈[1,e]恒成立.
15.(2016·
全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.
(1)求a的取值范围;
(2)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:
x1+x2<2.
导数与函数的综合问题A组专项基础训练
【解析】f′(x)=-k
=(x>0).
设g(x)=,则g′(x)=,则g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增.
∴g(x)在(0,+∞)上有最小值,为g
(1)=e,结合g(x)=与y=k的图象可知,要满足题意,只需k≤e,选A.
【答案】A
【解析】由图象可知f(x)的图象过点(1,0)与(2,0),x1,x2是函数f(x)的极值点,因此1+b+c=0,8+4b+2c=0,解得b=-3,c=2,所以f(x)=x3-3x2+2x,所以f′(x)=3x2-6x+2.x1,x2是方程f′(x)=3x2-6x+2=0的两根,因此x1+x2=2,x1x2=,所以x+x=(x1+x2)2-2x1x2=4-=.
【答案】C
【解析】y′=-3x2+27=-3(x+3)(x-3),
当0<
x<
3时,y′>
0;
当x>
3时,y′<
0.
故当x=3时,该商品的年利润最大.
【解析】由题意得f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2),由f′(x)>0得x<1或x>2,由f′(x)<0得1<x<2,所以函数f(x)在(-∞,1),(2,+∞)上单调递增,
在(1,2)上单调递减,从而可知f(x)的极大值和极小值分别为f
(1),f
(2),
若欲使函数f(x)恰好有两个不同的零点,则需使f
(1)=0或f
(2)=0,解得a=5或a=4,
而选项中只给出了4,所以选A.
【解析】∵h7(x0)≥ht(x0)对任意的正数t都成立,
∴h7(x0)≥ht(x0)max.记g(t)=ht(x0)=3tx0-2t,
则g′(t)=3x0-3t,令g′(t)=0,
得t=x,
易得ht(x0)max=g(x)=x,
∴21x0-14≥x,将选项代入检验可知选D.
【答案】D
【解析】∵f′(x)=2ax+b,∴f′(0)=b>0.
由题意知,∴ac≥,∴c>0,
∴=≥≥=2,当且仅当a=c时“=”成立.
【答案】2
【解析】由2f(x)+xf′(x)>x2,
x<0得2xf(x)+x2f′(x)<x3,
所以[x2f(x)]′<x3<0.
令F(x)=x2f(x)(x<0),
则F′(x)<0(x<0),
即F(x)在(-∞,0)上是减函数,
因为F(x+2017)=(x+2017)2f(x+2017),F(-2)
=4f(-2),
所以不等式(x+2017)2f(x+2017)-4f(-2)>0,
即为F(x+2017)-F(-2)>0,即F(x+2017)>F(-2),
又因为F(x)在(-∞,0)上是减函数,
所以x+2017<-2,所以x<-2019.
【答案】
(-∞,-2019)
【解析】∵当x≥0时,f(x)=ex+ax>0恒成立.
∴若x=0,a为任意实数,f(x)=ex+ax>0恒成立.
若x>0,f(x)=ex+ax>0恒成立,
即当x>0时,a>-恒成立.设Q(x)=-.
Q′(x)=-=.
当x∈(0,1)时,Q′(x)>0,则Q(x)在(0,1)上单调递增,
当x∈(1,+∞)时,Q′(x)<0,则Q(x)在(1,+∞)上单调递减.
∴当x=1时,Q(x)取得最大值.Q(x)max=Q
(1)=-e,
∴要使x≥0时,f(x)>0恒成立,a的取值范围为(-e,+∞).
(-e,+∞)
【解析】
(1)f′(x)=2ax-=(x>0).
当a≤0时,f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)内单调递减.
当a>0时,由f′(x)=0,有x=.
此时,当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增.
(2)令g(x)=-,s(x)=ex-1-x.
则s′(x)=ex-1-1.
而当x>1时,s′(x)>0,
所以s(x)在区间(1,+∞)内单调递增.
又由s
(1)=0,有s(x)>0,从而当x>1时,g(x)>0.
当a≤0,x>1时,f(x)=a(x2-1)-lnx<0.
故当f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a>0.
当0<a<时,>1.
由
(1)有f<f
(1)=0,
而g>0,
所以此时f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内不恒成立.
当a≥时,令h(x)=f(x)-g(x)(x≥1).
当x>1时,h′(x)=2ax-+-e1-x>x-+-
=>>0.
因此,h(x)在区间(1,+∞)内单调递增.
又因为h
(1)=0,所以当x>1时,h(x)=f(x)-g(x)>0,
即f(x)>g(x)恒成立.
综上,a∈.
(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·
2πrh=200πrh元,底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.
又根据题意200πrh+160πr2=12000π,
所以h=(300-4r2),
从而V(r)=πr2h=(300r-4r3).
因为r>0,又由h>0可得r<5,
故函数V(r)的定义域为(0,5).
(2)因为V(r)=(300r-4r3),
所以V′(r)=(300-12r2).
令V′(r)=0,解得r=5或-5(因为r=-5不在定义域内,舍去).
当r∈(0,5)时,V′(r)>0,故V(r)在(0,5)上为增函数;
当r∈(5,5)时,V′(r)<0,故V(r)在(5,5)上为减函数.
由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8.
即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.
【解析】因g(x)=f(x)ex,
则g′(x)=(2ax
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- 323 导数 函数 综合 问题 试题 答案
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