届山东省高三第一次大联考数学理试题解析版文档格式.docx

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C．第三象限

D．第四象限

【解析】先根据复数除法法则化简计算，再根据复数几何意义确定点坐标，最后作判断.

，对应的点的坐标是，在第四象限.选D.

本题考查复数的几何意义、复数运算，考查数学运算能力.属基础题.

3．已知是等差数列，且，则的前项和等于（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】根据也是等差数列，再利用等差数列了前项和公式求解.

.选C.

本题考查等差数列的判定、通项公式、前项和公式，考查基本求解能力，属基本题.

4．已知向量的夹角为，则等于（）

【答案】A

【解析】先根据向量夹角公式求，再根据二倍角公式得结果.

因为，所以.选A.

本题考查向量的坐标运算、二倍角公式，考查基本求解能力，属基本题.

5．已知是抛物线上的点，点的坐标为，则“”是“”的（）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】先根据抛物线的标准方程和定义找到与的关系，再化简的等价条件，最后根据两范围包含关系确定充要关系.

因为，所以，

因为真子集，所以“”是“”的必要不充分条件，选B.

本题考查抛物线的定义、标准方程、充要条件的判定，考查基本判断分析能力，属基础题.

6．相关变量的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：

根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；

方案二：

剔除点，根据剩下数据得到线性回归直线方程：

，相关系数为.则（）

【解析】根据相关系数的意义：

其绝对值越接近，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断.

由散点图得负相关，所以，因为剔除点后，剩下点数据更具有线性相关性，更接近，所以.选D.

本题考查线性回归分析，重点考查散点图、相关系数，突显了数据分析、直观想象的考查.属基础题.

7．设，则的大小关系是（）

【解析】先根据指数函数、对数函数的性质判断与的大小关系，再根据对数运算将化简，最后根据换底公式、不等式性质等判断出的大小关系.

，，，所以最小，，因为.选B.

本题考查对数运算，考查指数、对数函数的性质，考查不等式的性质，考查基本分析判断能力.属基本题.

8．执行如图所示程序框图，输出的结果是（）

【解析】首先要根据程序框图正确得到等比数列模型，再根据等比数列前项和公式求解.

如图所示时，是等比数列的前项和，即，由，所以输出的是.选B.

本题考查程序框图、等比数列的判定、等比数列的前项和公式，考查基本分析判断与求解能力.属基本题.

9．过两点分别作斜率不为且与圆相切的直线，当变化时，交点的轨迹方程是（）

【解析】首先根据圆的方程找到圆心和半径，然后根据圆的切线性质发现动点满足的几何条件，从而判断出动点的轨迹，再根据双曲线的标准方程求出轨迹方程.

圆方程为与轴相切于点，设与圆的切点分别为，则，所以点的轨迹是以为焦点且实轴长为的双曲线的右支，，方程为，所以选A.

本题考查圆的方程、双曲线的定义及其标准方程.考查基本分析判断与求解能力.属基本题.

10．在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边直接求三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了海伦公式即，其中.我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）也在《数书九章》里面给出了一个等价解法，这个解法写成公式就是，这个公式中的应该是（）

【解析】首先根据三角形面积公式,确定应该等于,再根据余弦定理得到答案.

因为，所以.选C.

本题考查余弦定理、三角形面积公式、同角三角函数关系式，考查基本分析求解能力.属基本题.

11．如图，是棱长为的正方体，是棱长为的正四面体，底面,在同一个平面内，，则正方体中过且与平面平行的截面面积是（）

【解析】首先要根据面面平行的性质定理确定截面的形状，再根据正四面体的性质、等角定理等确定点的具体位置、的长度，从而求出截面面积.

设截面与分别相交于点则，过点作平面的垂线，垂足为，则是底面的中心.设，则，又因为，，所以，所以，所以四边形的面积.选C.

本题考查正棱锥的平行关系、等角定理，考查空间想象能力，突显了直观想象的考查.属中档题.

12．已知函数（为自然对数的底），若方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是（）

【解析】首先需要根据方程特点构造函数,将方程根的问题转化为函数零点问题，并根据函数的奇偶性判断出函数在上的零点个数，再转化成方程解的问题，最后利用数形结合思想，构造两个函数，转化成求切线斜率问题，从而根据斜率的几何意义得到解.

因为函数是偶函数，，所以零点成对出现，依题意，方程有两个不同的正根，又当时，，所以方程可以化为：

，即，

记，，设直线与图像相切时的切点为，则切线方程为，过点，所以或（舍弃），所以切线的斜率为，由图像可以得.选D.

本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.属中档题.

二、填空题

13．的展开式中，的系数是________.

【答案】

【解析】首先要将化成，再用二项式定理求中的系数，从而得解.

，依题意，只需求中的系数，是.

本题考查二项式定理，考查基本分析求解能力，属基础题.

14．已知是等腰直角三角形，，，，则等于________.

【解析】首先根据条件建立直角坐标系，将向量的几何运算转化为坐标运算，再根据条件建立关于实数的方程，通过解方程得到解.

以所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，

则，所以，

所以，解得或（舍去）.等于2.

本题考查向量的运算、坐标法，考查基本分析求解能力，属基础题..

15．如图，已知四棱锥底面是边长为的正方形，侧面是一个等腰直角三角形，，平面平面，四棱锥外接球的表面积是________.

【解析】首先根据外接球球心与各面中心连线垂直该面，从而通过找两个面的中心，并依据面面垂直的性质过中心作垂线，找到外接球的球心，然后确定外接球的半径，并计算球的表面积得到解.

过的外心即的中点作平面的垂线，该垂线过正方形的中心，所以点为该四棱锥外接球的球心，其半径，所以外接球的表面积是.

本题考查两平面垂直的性质、球的性质及表面积公式，考查空间想象能力，突显了直观想象的考查.属中档题.

16．已知等比数列的前项和为，满足是的等差中项.设是整数，若存在，使得等式成立，则的最大值是________.

【解析】首先需要依据条件求出等比数列的通项公式及前项和公式，然后把表示成的函数，最后根据是整数确定这个函数的定义域，从而找到这个函数值域，得到的最大值.

因为是的等差中项，

所以，

所以，，

所以等式，化为：

，

因此，

因为为整数，所以，

当时，，

当时，.

从而的最大值是16.

本题考查等差中项、等比数列的通项公式及前项和公式，考查基本分析求解能力，属基本题.

三、解答题

17．如图，点分别是圆心在原点，半径为和的圆上的动点.动点从初始位置开始，按逆时针方向以角速度作圆周运动，同时点从初始位置开始，按顺时针方向以角速度作圆周运动.记时刻，点的纵坐标分别为.

（Ⅰ）求时刻，两点间的距离；

（Ⅱ）求关于时间的函数关系式，并求当时，这个函数的值域.

（Ⅰ）；

（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）首先确定时刻两点的坐标及的长度、夹角，再利用两点距离公式或余弦定理求解；

（Ⅱ）根据三角函数的定义先确定与的函数关系式，从而得到所求函数关系式，再利用两角和与差的三角函数公式将函数关系式化成（或）的形式，最后根据三角函数图像确定值域.

（Ⅰ）时，，所以，

又，所以，

即两点间的距离为.

（Ⅱ）依题意，，，

即函数关系为，

当时，，所以，.

考查余弦定理、三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图像，考查函数思想、数形结合思想，突显了数学建模的考查.

18．已知四棱锥的底面是等腰梯形，，，，，.

（Ⅰ）证明：

平面平面；

（Ⅱ）点是棱上一点，且平面，求二面角的余弦值.

（Ⅰ）见解析；

（Ⅰ）首先通过计算得，再利用判定定理转化为线面垂直，从而得到面面垂直；

（Ⅱ）首先通过垂直关系的判定正确建立空间直角坐标系找好的坐标，然后将线面平行即平面转化为线线平行，从而确定平面的法向量，最后根据法向量求出二面角的余弦.

等腰梯形中，∽，

所以，又，所以，所以.

所以，所以，即，

又因为，且于点，

所以平面，又因为平面，因此平面平面.

（Ⅱ）连接，由（Ⅰ）知，平面，所以，所以，

所以，即，

如图以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，平面的法向量，

因为平面，平面，

平面平面，所以，

设平面的法向量为，则，即，

，令，则，

所以，所以所求二面角的余弦值是.

本题考查线面、面面垂直关系的判定，考查线面平行的性质，考查空间向量的应用，考查二面角的计算，考查转化与化归思想，考查空间想象能力.

19．某公司生产某种产品，一条流水线年产量为件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：

第一段生产的半成品质量指标

或

第二段生产的成品为一等品概率

0.2

0.4

0.6

第二段生产的成品为二等品概率

0.3

第二段生产的成品为三等品概率

0.5

0.1

从第一道生产工序抽样调查了件，得到频率分布直方图如图：

若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是元、元、元.

（Ⅰ）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；

（Ⅱ）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；

（Ⅲ）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是万元，使用寿命是年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布，且不影响产量.请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？

说明理由.

（参考数据：

，，）

（Ⅱ）万元；

（Ⅲ）见解析.

（Ⅰ）首先根据频率分布直方图确定各组的频率及中间