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10.补集:
对于集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作:
,即=.
11.一个函数的构成要素为:
定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则称这两个函数相等.
12.函数的三种表示方法:
解析法、图象法、列表法.
13.用定义法判断函数单调性的步骤:
①取值;
②作差变形;
③定号;
④判断.
14.一般地,如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么就称函数为偶函数.偶函数图象关于轴对称.
15.一般地,如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么就称函数为奇函数.奇函数图象关于原点对称.
16.求函数定义域:
①分母不为0;
②偶次方根被开方数;
③对数的真数.
17.用定义判断奇偶性的方法:
①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;
②确定与的关系;
③得出结论:
若或者,则是偶函数;
若或者,则是奇函数;
第二章基本初等函数(Ⅰ)
1.一般地,如果,那么叫做的次方根。
其中.
2.
(1)
(2)当为奇数时,;
当为偶数时,.
3.我们规定:
⑴;
⑵;
4.指数运算性质:
⑴;
⑶.
5.指数函数的图象及其性质
图象
定义域
R
值域
(0,+∞)
性
质
定点
过定点(0,1)
x对y
影响
当x>
0时,0<
y<
1;
当x<
0时,y>
1.
单调性
在R上是减函数
在R上是增函数
对称性
和关于y轴对称
奇偶性
非奇非偶函数
6.指数式与对数式互化:
7.对数的运算性质:
当时
(3).
(4),,.
8.换底公式:
.
.
9..对数函数的图象及其性质
函数叫对数函数.
图象
过定点(1,0),即x=1时,y=0
当0<
x<
1时,y>
0
当x>
1时,y<
当0<
1时,y<
0
0;
非奇非偶函数。
10.幂函数的图象及性质
(1)几种幂函数的图象:
(2)幂函数的性质:
①所有的幂函数在都有定义,并且图像过点
②时,幂函数的图象都通过原点,且在上是增函数
③时,幂函数的图象在区间上是减函数
第三章函数的应用
1.方程有实根
函数的图象与轴有交点函数有零点.
2.性质:
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么,函数在区间内有零点,即存在,使得,这个也就是方程的根
〖补充知识〗函数图象变换
1.平移变换
2.伸缩变换
3.对称变换
必修2
第一章空间几何体
(1)棱柱:
有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。
几何特征:
两底面是对应边平行的全等多边形;
侧面、对角面都是平行四边形;
侧棱平行且相等;
平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥:
有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体
侧面、对角面都是三角形;
平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
(3)棱台:
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分
①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点
(4)圆柱:
定义:
以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
①底面是全等的圆;
②母线与轴平行;
③轴与底面圆的半径垂
直;
④侧面展开图是一个矩形。
(5)圆锥:
以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成
的几何体
①底面是一个圆;
②母线交于圆锥的顶点;
③侧面展开图是一个扇形。
(6)圆台:
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分
①上下底面是两个圆;
②侧面母线交于原圆锥的顶点;
③侧面展开图是一个扇环。
(7)球体:
以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体
①球的截面是圆;
②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
1.三视图:
正视图:
从前往后侧视图:
从左往右
俯视图:
从上往下
2.画三视图的原则:
长对正、高平齐、宽相等
高平齐
长对正
长对正宽相等
3.直观图画法:
斜二测画法
4.斜二测画法的要求:
(1)平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;
(2)平行于y轴的线长度变半,平行于x,z轴的线长度不变;
(3)画法要写好。
5.斜二测画法的步骤:
(1)画轴
(2)画底面(3)画侧棱(4)成图
6.棱柱、棱锥的表面积:
各个面面积之和
7.圆柱的表面积
8.圆锥的表面积
9.圆台的表面积
10.球的表面积
11.柱体的体积
12.锥体的体积
13.台体的体积
14.球体的体积
第二章直线与平面的位置关系
1.平面含义:
平面是无限延展的
2.平面的画法:
水平放置的平面通常画成一个平行四边形,锐角画成450,且横边画成邻边的2倍长(如图)
3.三个公理:
(1)公理1:
如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
符号表示为
公理1作用:
判断直线是否在平面的理论依据
(2)公理2:
过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。
符号表示为:
三点不共线有且只有一个平面,
使。
公理2作用:
确定一个平面的依据。
(3)公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
公理3作用:
判定两个平面是否相交的依据及点共线的依据
4.空间的两条直线有如下三种关系:
异面直线:
不同在任何一个平面内,没有公共点。
5.公理4(平行线的传递性):
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
设、、是三条直线,
公理4作用:
判断空间两条直线平行的依据。
6.等角定理:
空间中若两个角的两边分别对应平行,则这两个角相等或互补
7.异面直线所成角的定义:
已知异面直线,,在空间中任取一点O,过点O分别做,,则与所成的锐角(或直角)为异面直线所成的角
8.直线与平面有三种位置关系:
(1)直线在平面内——有无数个公共点
(2)直线与平面相交——有且只有一个公共点
(3)直线与平面平行——没有公共点
指出:
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用来表示
9.线面平行判定定理:
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
简记为:
线线平行,则线面平行。
符号表示:
10.面面平行判定定理:
一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
11.判断两平面平行的方法有三种:
(1)用定义;
(2)判定定理;
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
12.线线平行判定定理:
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
线面平行则线线平行。
作用:
利用该定理可解决直线间的平行问题。
13.定理:
如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
14.线面垂直定义:
如果直线与平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线与平面互相垂直,记作,直线叫做平面的垂线,平面
叫做直线的垂面。
如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
L
αp
15.线面垂直判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
16.二面角的概念:
表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭lβ
B
α
17.面面垂直判定定理:
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
18.线线平行判定定理:
垂直于同一个平面的两条直线平行。
19.线面垂直性质定理:
两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
第三章直线与方程
1.直线倾斜角的概念:
当直线与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,规定.
2.倾斜角的取值范围:
.当直线l与x轴垂直时,.
3.直线的斜率:
一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是
⑴当直线轴平行或重合时,
⑵当直线轴垂直时,
由此可知,一条直线的倾斜角一定存在,但是斜率k不一定存在.
4.直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率:
5.两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;
反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即L1∥L2k1=k2
6.两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;
反之,如果它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即
7.直线的点斜式方程:
直线经过点,且斜率为则
8.直线的斜截式方程:
直线的斜率为,与轴的交点为,
9.直线的两点式方程:
已知直线上的两点其中
10.直线的截距式方程:
已知直线与轴的交点为A,与y轴的交点为B,其中,
11.直线的一般式方程:
(A,B不同时为0)
12.点到直线距离公式:
点到直线的距离为:
13.两平行线间的距离公式:
已知两条平行线直线和的一般式方程为:
,:
,则与的距离为
14.
第四章圆与方程
1.圆的标准方程:
,圆心为A(a,b),半径为r
2.点与圆的关系的判断方法:
(1)>
,点在圆外
(2)=,点在圆上
(3)<
,点在圆内
3.圆的一般方程:
,(),圆心半径r=
4.用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系.
设直线:
,圆:
,圆的半径为,圆心到直线的距离为,则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点:
(1)当时,直线与圆相离;
(2)当时,直线与圆相切;
(3)当时,直线与圆相交;
5.两圆的位置关系:
设两圆的连心线长为,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:
(1)当时,圆与圆相离;
(2)当时,圆与圆外切;
(3)当时,圆与圆相交;
(4)当时,圆与圆内切;
(5)当时,圆与圆内含;
6.空间中任意点M的坐标都可以
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