江西省红色七校届高三第二次联考理科数学试题Word格式文档下载.docx
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5.已知等比数列的前项和为,,则数列的公比()
A.-1B.1C.D.2
6.过椭圆的中心任作一直线交椭圆于,两点,是椭圆的一个焦点,则的周长的最小值为()
A.12B.14C.16D.18
7.把标号为1,2,3,4的四个小球放入标号为1,2,3,4的四个盒子中,每个盒子只放一个小球,则1号球不放入1号盒子的方法共有()
A.18种B.9种C.6种D.3种
8.为检测某药品服用后的多长时间开始有药物反应,现随机抽取服用了该药品的1000人,其服用后开始有药物反应的时间(分钟)与人数的数据绘成的频率分布直方图如图所示.若将直方图中分组区间的中点值设为解释变量(分钟),这个区间上的人数为(人),易见两变量,线性相关,那么一定在其线性回归直线上的点为()
9.单位正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示,动点,,其中,,设由,,三点确定的平面截该正方体的截面为,那么()
A.对任意点,存在点使截面为三角形
B.对任意点,存在点使截面为正方形
C.对任意点和,截面都为梯形
D.对任意点,存在点使得截面为矩形
10.设,,,则()
11.已知是双曲线:
的左焦点,过点且倾斜角为的直线与曲线的两条渐近线依次交于,两点,若是线段的中点,且是线段的中点,则直线的斜率为()
12.函数(,是自然对数的底数,)存在唯一的零点,则实数的取值范围为()
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分.
13.在中,,则角的大小为______.
14.已知函数是定义域为的偶函数,且在上单调递增,则不等式的解集为______.
15.已知各项都为正数的数列,其前项和为,若,则______.
16.,为单位圆(圆心为)上的点,到弦的距离为,是劣弧(包含端点)上一动点,若,则的取值范围为______.
三、解答题:
本大题共6个大题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知函数,,是函数的零点,且的最小值为.
(1)求的值;
(2)设,若,,求的值.
18.某厂包装白糖的生产线,正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布(单位:
).
(1)求正常情况下,任意抽取一包白糖,质量小于的概率约为多少?
(2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖,称得其质量均小于,检测员根据抽检结果,判断出该生产线出现异常,要求立即停产检修,检测员的判断是否合理?
请说明理由.
附:
,则,,.
19.如图,直三棱柱中,,,为的中点.
(1)若为上的一点,且与直线垂直,求的值;
(2)在
(1)的条件下,设异面直线与所成的角为,求直线与平面成角的正弦值.
20.已知抛物线:
,其焦点到准线的距离为2,直线与抛物线交于,两点,过,分别作抛物线的切线,,与交于点.
(2)若,求面积的最小值.
21.已知是函数的极值点.
(1)求实数的值;
(2)求证:
函数存在唯一的极小值点,且.
(参考数据:
,,其中为自然对数的底数)
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.【选修4-4:
坐标系与参数方程】
在平面直角坐标系中,直线过原点且倾斜角为.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立坐标系,曲线的极坐标方程为.在平面直角坐标系中,曲线与曲线关于直线对称.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)若直线过原点且倾斜角为,设直线与曲线相交于,两点,直线与曲线相交于,两点,当变化时,求面积的最大值.
23.【选修4-5:
不等式选讲】
已知函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)当不等式的解集为时,求实数的取值范围.
江西省红色七校2020届高三第二次联考数学(理科)参考答案
一、选择题
1-5:
CABDC6-10:
DACAB11-12:
DA
二、填空题
13.14.15.16.
三、解答题
17.
(1)
,
∵的最小值为,∴,即,∴.
(2)由
(1)知:
∴,
,∴,
又∵,∴,,
∴.
18.
(1)设正常情况下,该生产线上包装出来的白糖量为,由题意可知.
由于,所以根据正态分布的对称性与“原则”可知
.
(2)检测员的判断是合理的.
因为如果生产线不出现异常的话,由
(1)可知,随机抽取两包检查,质量都小于的概率约为,
几乎为零,但这样的事件竟然发生了,所以有理由认为生产线出现异常,检测员的判断是合理的.
19.证明:
取中点,连接,,有,
因为,所以,
又因为三棱柱为直三棱柱,
所以平面平面,
又因为平面平面,所以平面,
又因为平面,所以,
又因为,,平面,平面,
所以平面,
连接,设,
因为为正方形,所以,
又因为平面,平面,所以,
又因为为的中点,所以为的中点,所以.
(2)如图以为坐标原点,分别以,,为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,
设,由
(1)可知
所以,所以,
所以,,,,,
所以,,,
设平面的法向量为,则,即,
则的一组解为.
所以,
所以直线与平面成角的正弦值为.
20.
(1)由题意知,抛物线焦点为,准线方程为,
焦点到准线的距离为2,即.
(2)抛物线的方程为,即,所以,
设,,
:
,:
由于,所以,即,
设直线方程为,与抛物线方程联立,
得,所以,
,,,所以,
即:
联立方程,得,即,
点到直线的距离,
当时,面积取得最小值4.
21.
(1)因为,且是极值点,
所以,所以.
此时,
设,则.
则当时,,为减函数.
又,,
所以在时,,为增函数;
时,,为减函数.
所以为的极大值点,符合题意.
(2)当时,,为增函数,且,,
所以存在,;
当时,,为减函数;
时,,为增函数,
所以函数存在唯一的极小值点.
又,已知,可得,
所以,所以且满足.
所以.
其中也可以用如下方式证明:
,设,
则.
则当时,,为减函数;
当时,,为增函数.
所以在,所以.
四、选做题
22.
(1)法一:
由题可知,的直角坐标方程为.
设曲线上任意一点关于直线对称点为,
又因为,即,
所以曲线的极坐标方程为.
法二:
由题可知,的极坐标方程为,
设曲线上一点关于的对称点为,
(2)直线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为,
所以,解得,
,解得,
∴
当,即时,,取得最大值为.
23.
(1)时,,
当时,,即,∴;
当时,,无解,
综上,的解集为.
(2),
当,即时,时等号成立;
当,即时,时等号成立,
所以的最小值为,
即,∴或.
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