高一秋季第2讲函数概念的深入理解目标班删解析Word文件下载.docx
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通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;
了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;
在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如,图象法、列表法、解析法)表示函数;
通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.
映射
了解映射的概念.
北京
解读
2009年
2010年(新课标)
2011年(新课标)
2012年(新课标)
2013年(新课标)
第3题5分
第13题5分
第6题5分
第14题5分
第13题5分
第5题5分
<
教师备案>
函数贯穿整个高中的数学学习,高中函数的本质是一种对应关系,无论你用什么形式表达,只要对任何一个确定的自变量,存在唯一的函数值与之对应的就是函数关系,最常见也是最实用的是解析式表示.如:
,表示把任意一个东西对应到它的平方;
而则表示把任意一个东西对应到它加;
,表示把任何一个东西对应到它的相反数;
这种对应是更本质的,而且不依赖于字母的选择.
也可以通过图象给出对应关系,它的最大好处是可以直观地看出一个函数长什么样,后面我们会有一个很重要的任务,就是一点点教大家怎么去画一些你并不认识的函数图象,如,,,…….
本讲分成两个板块,
板块一是对函数符号的理解:
包括具体函数的求值问题、求解析式问题、抽象函数的求值问题与求解析式问题(仅限目标班);
板块二是函数的定义域与值域问题:
包括基本的图象变换、具体函数与抽象复合函数的定义域问题、函数的值域的常见求法.
本讲内容在暑期对应第二讲《函数及其表示》,当时介绍了映射的概念、函数的概念与三要素(包括:
函数求值、同一函数、复合函数的概念、具体函数与抽象复合函数的定义域问题、利用图象法求常见函数的值域与最简单的复合函数的值域问题)、函数的表示法(其中解析式的求法介绍了代入法、配凑法、换元法、待定系数法).
本讲会在预习的基本上重点介绍:
抽象函数的函数值求法、求函数解析式的方程组法、图象变换、求函数值域的方法总结.
考点1:
具体函数的求值问题
已知函数,
⑴如果,求的值;
⑵当为何值时,函数的最小值是?
【解析】⑴.
⑵.
【例1】⑴设,则_________.
⑵设函数,则的值为()
A.B.C.D.
⑶已知且,则______.
⑷设,则_________.
⑸(目标班专用)已知函数,记,
,则______.
⑵D;
⑶;
⑷0
⑸.
考点1是具体函数的求值问题,即给出的解析式,求出具体的某个.考点2是具体函数的求解析式问题,即给出函数满足的某些条件或形式,求出.暑期时我们学习了求函数解析式的代入法、配凑法、换元法与待定系数法,这里介绍一种新的方法——方程组法,解决满足形如与的函数方程求解析式的问题.
考点2:
求函数解析式的方法总结
解析式给法分两种,一种是明着给的,一种是暗着给的.
⑴明着给的规则,如:
已知,求.
直接代入即可得;
对于这个问题需要理解清楚:
①的作用是把括号里的整体变成平方加,不管括号里面的是什么,都对应到它整体的平方加;
②中的与中的不一样,如它们很可能对应不同的取值范围;
③与不是同一个函数,解析式就不一样,但它们都有一个作用叫.
⑵暗着给的规则,如:
若,求.此时,对应的规则是不直接给出的.
关键要看对进行了什么操作,所以要把变成与相关的:
,于是,这就是配凑的方法.
也可以令,于是,代入得到,即换元法.
⑶暗着给的对应法则还要注意定义域的限制,如:
若,求.
可以用配凑法或换元法得到.于是我们得到.
但如何由得到呢,这不可能,因为,
∴.
1.已知函数,求.
【解析】.
2.已知是一次函数,且,求.
【解析】或.
【例2】⑴(目标班专用)若,求的表达式.
⑵已知,求.
⑶已知,求.
分析:
可求:
令,即得到.
那么令,得到……①
∵和互为倒数,∴当时,,当时,.
∴令,……②
由①,②得,
于是得到一般情况:
令与得到.
例2⑵⑶的方程组法,只需要换元一次,就能得到一个类似“二元一次方程组”,解出,下面的拓展题,需要用两次换元法,得到一个类似“三元一次方程组”,解出.
【拓展】设对满足的所有实数,函数满足,求所有可能的.
对于法则只有一个描述,而不直接给出对应法则,反过来要求对应法则相关的问题,在数学中统称为函数方程问题(是以函数的解析式为未知量,给出一些相关条件,去求解函数).也叫抽象函数问题,这是与给出解析式的具体函数对应的.
通过函数方程求值、通过函数方程求解析式(仅目标班)、判断单调性与奇偶性的问题,都是我们后面要研究的函数方程问题.这类问题的主要方法是赋值法.
考点3:
抽象函数的求值问题
【铺垫】已知的定义域为,对任意的,有,则_____.
【解析】;
【例3】⑴定义在(正实数集)上的函数满足(),已知
,则______,________.
⑵定义在上的函数满足(),,
则_______,________.
⑶(目标班专用)对任意实数,均满足,且,则_____.
【解析】⑴;
⑵;
【拓展】已知定义域为的函数满足;
,且.
⑴求;
⑵求证:
.
⑵,故,从而.
令得,,故.命题得证.
考点:
抽象函数的解析式问题(目标班专用)
【例4】⑴设是定义在上的函数,满足,且对任意的,都有
,则_________.
⑵设是定义在上的函数,满足,且对任意的,都有
考点4:
函数图象的三大变换
图象变换有四种基本的形式,包含九种具体的变换方式,如下:
函数的图象经过对应的变换后的对应解析式如下():
四种基本
变换形式
九种具体的
变换方式
针对图象的具体操作
变换后对应的解析式
平移变换
水平平移
向右(左)平移个单位
()
垂直平移
向上(下)平移个单位
翻折变换
上下翻折
轴上方的图象不变,将轴下方的图象翻折到轴上方来
左右翻折
轴右边的图象不变,将轴右边的图象翻折到轴的左边覆盖原来左边的图象
对称变换
按轴对称
将的图象作关于轴的对称
按原点对称
将的图象作关于原点的对称
伸缩变换
横向伸缩
纵坐标不变,横坐标变为原来的(倍)
纵向伸缩
横坐标不变,纵坐标变为到原来的(倍)
我们在这里只讲前面三种图象形式的形式,最后一种图象的伸缩变换我们放到三角函数的图象与性质中再讲.
一个函数经过图象变换变成一个新的函数,变化过程有两个基本原则:
①所有的变换都只针对或本体;
②的变化只影响横方向,的变化只影响纵方向.
由此我们可以得到:
函数图象纵方向的变换,如上下平移不会改变函数定义域;
而横方向的变换,如左右平移不会改变函数的值域.
函数图象的三大变换:
平移、对称、翻折.
给定函数,,
⑴函数图象的平移:
包括上下平移与左右平移,得到与,见下图⑴;
⑵函数图象的对称:
得到,见下图⑵;
⑶函数图象的翻折:
得到与,见下图⑶.
⑴平移变换⑵对称变换⑶翻折变换
老师可以结合下面的小例子讲解这三个图象变换:
⑴平移:
例:
的图象向右平移1个单位得到;
的图象向上平移一个单位得到;
已知函数的定义域为,则的定义域为.
当一个函数平移时定义域也会平移,例如:
定义域为,表示向左平移1个单位,∴定义域也向左平移1个单位,即为.
⑵对称
与不同,是先,再取负;
是先取负,再.
“”负号加在函数值身上,∴不变,函数值为原来的相反数.
∴只是沿轴把上下颠倒一下.
“”负号加在自变量身上,∴自变量在变,原来在处取到的,现在在处取到,原来在取到的值现在在3处取到.
可以将的图象分别按轴对称一下,再按轴对称一下,顺序不限.
⑶翻折:
→:
先再取绝对值,相当于把所有负的函数值变成正的,正的函数值保持不变.即把轴下方的部分翻折到轴上方,轴上方的不变;
先取绝对值再,当时,函数值不变;
当时,取处的函数值,所以原来轴左边的图象直接被无视,而轴右边的图象被翻折到轴左边,最后得到的图象一定关于轴对称.
综上所述,可以得到一个很简单的结论,所有的函数变化,首先要看这个变化施加在谁身上,若施加在身,那么它的变化将是横方向上的变化,若变化施加在身上,它的变化将是纵向的.
【铺垫】试用图象变换的知识画出下列函数的草图:
⑴;
⑶.
【解析】
⑴⑵⑶
【例5】(目标班专用)试用图象变换的知识画出下列函数的草图:
【备注】⑴-⑶只给出一种可行的方式,方式不唯一,需要明确的是:
所有的变换都针对本身,所以想得到只能先翻折再平移,不能先平移再翻折.
考点5:
函数的定义域
求函数定义域问题:
⑴具体函数的自然定义域:
目前的限制条件有分母不为零,零的零次方无意义,偶次根式下非负;
(自然定义域以后还会增加对数函数的真数不为零,指数函数的底数大于零且不等于等,一个函数不标注定义域,则指得就是它的自然定义域,如,不需要再注明).
⑵限制定义域:
①人为规定的限制,如;
②实际背景的限制,如物理中的时间;
再如实际问题中,一个物体的个数是非负整数等;
⑶抽象复合函数的定义域问题.
1.函数的定义域是.
2.⑴已知函数的定义域为,则的定义域为______;
⑵已知函数的定义域为,则的定义域为______;
⑶已知函数的定义域为,则的定义域为_______.
【分析】以第⑴小题为例:
为什么会这样?
可以从两个角度来理解:
一是上面所说的图象的平移变换;
向右平移个单位得到,所以的定义域也是的定义域向右平移一个单位得到的.
第二种理解是直接从对函数的理解入手:
需理解①与是两个不同函数;
②定义域是指的范围.而这两个函数的公共点在于是有要求的,对于而言只有当时才能被作用,这个之外的数就作用不了,所以会对内的数加以限制,同样的的规则也会对括号中的数加以限制,这样就得到一个基本的等价形式,∵都在的作用下,∴内的范围应相同.
可以直接把⑴对应的函数简单地构造出来,帮助学习理解,如满足定义域为,则,定义域为.
【例6】⑴若函数的定义域为,函数的定义域为,
则________;
⑵若函数的定义域为非空集合,函数的定义域为,若,则的取值范围是_________.
⑶(目标班专用)已知函数的定义域为非空集合,函数的定义域为非空集合.若,,求实数的值及实数的取值范围.
⑶,的取值范围是.
虽然抽象函数的定义域我们在暑期预习时已经讲过,但考虑到这是一个难点,所以在这里我们仍然安排了一道例题,老师可以根据暑假知识回顾的讲解,
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