高考理科数学试题分类解析之专题六数列Word格式文档下载.docx
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(3)是否存在及正整数,使得依次成等比数列,并说明理由.
11.【2015高考浙江,理20】已知数列满足=且=-()
(1)证明:
1();
(2)设数列的前项和为,证明().
12.【2015高考山东,理18】设数列的前n项和为.已知.(I)求的通项公式;
(II)若数列满足,求的前n项和.
13.【2015高考安徽,理18】设,是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标.(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)记,证明.
14.【2015高考天津,理18】
(本小题满分13分)已知数列满足,且成等差数列.(I)求的值和的通项公式;
(II)设,求数列的前项和.
15.【2015高考重庆,理22】在数列中,
(1)若求数列的通项公式;
(2)若证明:
16.【2015高考四川,理16】设数列的前项和,且成等差数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)记数列的前n项和,求得成立的n的最小值.
17.【2015高考湖北,理18】设等差数列的公差为d,前项和为,等比数列的公比为.已知,,,.
(Ⅰ)求数列,的通项公式;
(Ⅱ)当时,记,求数列的前项和.
18.【2015高考陕西,理21】
(本小题满分12分)设是等比数列,,,,的各项和,其中,,.(I)证明:
函数在内有且仅有一个零点(记为),且;
(II)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为,比较与的大小,并加以证明.
19.【2015高考新课标1,理17】为数列{}的前项和.已知>0,=.(Ⅰ)求{}的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列{}的前项和.
20.【2015高考广东,理21】数列满足,
(1)求的值;
(2)求数列前项和;
(3)令,,证明:
数列的前项和满足.
21.【2015高考上海,理22】已知数列与满足,.
(1)若,且,求数列的通项公式;
(2)设的第项是最大项,即(),求证:
数列的第项是最大项;
(3)设,(),求的取值范围,使得有最大值与最小值,且.
参考答案
1.【答案】B由等差数列的性质得,选B.
2.【答案】D由韦达定理得,,则,当适当排序后成等比数列时,必为等比中项,故,.当适当排序后成等差数列时,必不是等差中项,当是等差中项时,,解得,;
当是等差中项时,,解得,,综上所述,,所以,选D.
3.【答案】C先分析四个答案支,A举一反例,而,A错误,B举同样反例,,而,B错误,下面针对C进行研究,是等差数列,若,则设公差为,则,数列各项均为正,由于,则,选C.
4.【2015高考浙江,理3】已知是等差数列,公差不为零,前项和是,若,,成等比数列,则()
A.B.C.D.
4.【答案】B.
5.【答案】由题意,,解得或者,而数列是递增的等比数列,所以,即,所以,因而数列的前项和.
6.【答案】由已知得,两边同时除以,得,故数列是以为首项,为公差的等差数列,则,所以.
7.【答案】.因为是等差数列,所以,即,所以,故应填入.
8.【答案】设数列的首项为,则,所以,故该数列的首项为,所以答案应填:
.
9.【答案】
10【答案】
(1)详见解析
(2)不存在(3)不存在
【解析】
因为(,,)是同一个常数,
所以,,,依次构成等比数列.
(2)令,则,,,分别为,,,(,,).假设存在,,使得,,,依次构成等比数列,则,且.
令,则,且(,),化简得(),且.将代入()式,,则.显然不是上面方程得解,矛盾,所以假设不成立,因此不存在,,使得,,,依次构成等比数列.
(3)假设存在,及正整数,,使得,,,依次构成等比数列,则,且.
分别在两个等式的两边同除以及,并令(,),
则,且.
将上述两个等式两边取对数,得,
且.
化简得,
且.令,则.
由,,
知,,,在和上均单调.
故只有唯一零点,即方程()只有唯一解,故假设不成立.
所以不存在,及正整数,,使得,,,依次构成等比数列.
11.
(1)由题意得,,即,,由
得,由得,,即;
(2)由题意得,∴①,由和得,,∴,因此②,由①②得.
12.【答案】
(I);
(II).
所以当时,
所以两式相减,得
所以经检验,时也适合,综上可得:
13.【答案】
(Ⅰ);
(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)解:
,曲线在点处的切线斜率为.从而切线方程为.令,解得切线与轴交点的横坐标.
(Ⅱ)证:
由题设和(Ⅰ)中的计算结果知.当时,.当时,因为,
所以.
综上可得对任意的,均有.
14
(II)由(I)得,设数列的前项和为,则,
两式相减得,
整理得所以数列的前项和为.
15.试题分析:
(1)由于,因此把已知等式具体化得,显然由于,则(否则会得出),从而,所以是等比数列,由其通项公式可得结论;
(2)本小题是数列与不等式的综合性问题,数列的递推关系是可变形为,由于,因此,于是可得,即有,又,于是有,这里应用了累加求和的思想方法,由这个结论可知,因此,这样结论得证,本题不等式的证明应用了放缩法.
(1)由,有若存在某个,使得,则由上述递推公式易得,重复上述过程可得,此与矛盾,所以对任意,.从而,即是一个公比的等比数列.故.
求和得
另一方面,由上已证的不等式知得
综上:
16【解析】
(1)由已知,有,
即.从而.又因为成等差数列,即.所以,解得.所以,数列是首项为2,公比为2的等比数列.故.
(2)由
(1)得.所以.
由,得,即.因为,
所以.于是,使成立的n的最小值为10.
17..②
①-②可得,故.
18【答案】
(I)证明见解析;
(II)当时,,当时,,证明见解析.
(I),则
所以在内至少存在一个零点.又,故在内单调递增,
所以在内有且仅有一个零点.因为是的零点,所以,即,故.(II)解法一:
由题设,
所以,即.综上所述,当时,;
当时解法二由题设,
当时,当时,用数学归纳法可以证明.
当时,所以成立.假设时,不等式成立,即.那么,当时,
.
又
令,则
所以当,,在上递减;
当,,在上递增.
所以,从而
故.即,不等式也成立.
所以,对于一切的整数,都有.
19.【答案】
(Ⅰ)(Ⅱ)
所以=;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,=,
所以数列{}前n项和为==.
20【答案】
(1);
(2);
(3)见解析.
(1)依题,
∴;
(2)依题当时,,
∴,又也适合此式,
∴,
∴数列是首项为,公比为的等比数列,故;
(3)依题由知,,,
21.【答案】
(1)
(2)详见解析(3)
【解析】解:
(1)由,得,
所以是首项为,公差为的等差数列,
故的通项公式为,.
证明:
(2)由,得.
所以为常数列,,即.
因为,,所以,即.
故的第项是最大项.
解:
(3)因为,所以,
当时,
.
当时,,符合上式.
所以.
因为,所以,.
当时,由指数函数的单调性知,不存在最大、最小值;
当时,的最大值为,最小值为,而;
当时,由指数函数的单调性知,的最大值,最小值,由及,得.
综上,的取值范围是.
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