上海市各区数学二模压轴题图文解析文档格式.docx

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例2017年上海市宝山区中考模拟第24题

如图1，已知直线

yx与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线122

1

2yxbx

22

与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点M是上述抛物线上一点，如果△ABM和△ABC相似，求点M的坐标；

（3）联结AC，求顶点D、E、F、G在△ABC各边上的矩形DEFG面积最大时，写出

该矩形在AB边上的顶点的坐标．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“17宝山24”，拖动点D在BC上运动，可以体验到，当点D

是BC的中点时，矩形DEFG的面积最大，最大值是△ABC面积的一半．

思路点拨

1．第

（2）题△ABM和△ABC相似，只存在这两个三角形全等的情形，此时M、C关

于抛物线的对称轴对称．

2．第（3）题的矩形DEFG存在两种情况．用二次函数表示矩形的面积，求二次函数

的最大值，然后看看最大值时矩形顶点的位置具有什么特殊性．

图文解析

（1）由

yx2，得B（4,0），C（0,－2）．

2

将点B（4,0）代入y1x2bx2，得8＋4b－2＝0．解得3

b．

所以抛物线的解析式为12321

（1）（4）

yxxxx．所以A（－1,0）．

222

（2）如图2，由A（－1,0）、B（4,0）、C（0,－2），可得tan∠CAO＝tan∠BCO＝2．

又因为∠CAO与∠ACO互余，所以∠BCO与∠ACO互余．所以△ABC是直角三角形．

过点A、B分别作x轴的垂线，不可能存在点M．

所以只存在∠AMB＝90°

的情况，此时点M在x轴的下方（如图3所示）．

图2图3

如图3，如果△ABM和△ABC相似，那么△ABM≌△BAC．

所以点M与点C关于抛物线的对称轴对称，点M的坐标为（3,－2）．

（3）矩形DEFG有两种情况：

①如图4，在AB边上的顶点有两个，坐标分别为（2,0）和（,0）．

3

②如图5，在AB边上的顶点有一个，坐标为（,0）

．2

考点伸展

第（3）题的解题思路是这样的：

在Rt△ABC中，AB＝5，高CO＝2．

情形一，如图4，F、G两点在AB上．设DE＝m，DG＝n．

根据相似三角形对应高的比等于对应边的比，得2．所以5

（2）

nmn

m．

252

所以S＝mn＝

5

nn＝5

（1）25

（2）n．

所以当n＝1时，矩形DEFG的面积最大．几何意义是D为BC的中点时，矩形的面积

最大，最大值是△ABC面积的一半．

情形二，如图5，点G在AB上．同样的，设DE＝m，DG＝n．

由BDDG，得25．所以25

n．

mn

m

BEEA2

255

所以S＝mn＝（25）

mm

＝1（5）25

m．

所以当m5时，矩形DEFG的面积最大．几何意义是D为BC的中点时，矩形的面

积最大，最大值也是△ABC面积的一半．此时点G为AB的中点．

图4图5

例2017年上海市宝山区中考模拟第25题

如图1，在△ABC中，∠ACB为直角，AB＝10，∠A＝30°

，半径为1的动圆Q的圆

心从点C出发，沿着CB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P从点B出发，

沿着BA方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t≤5），以P为

圆心、PB为半径的⊙P与AB、BC的另一个交点分别为E、D，联结ED、EQ．

（1）判断并证明ED与BC的位置关系，并求当

点Q与点D重合时t的值；

（2）当⊙P和AC相交时，设CQ为x，⊙P被

AC解得的弦长为y，求y关于x的函数解析式，并求

当⊙Q过点B时⊙P被AC截得的弦长；

（3）若⊙P与⊙Q相交，写出t的取值范围．

请打开几何画板文件名“17宝山25”，拖动Q由C向B运动，可以体验到，⊙P与⊙

Q的位置关系依次为外离、外切和相交．

1．第

（1）题Q、D重合时，根据CQ＋BD＝BC列关于t的方程．

2．第

（2）题⊙Q过点B时，CQ＝5－1＝4．

3．第（3）题求⊙P与⊙Q相交，先求临界位置外切时t的值．

（1）如图2，根据直径所对的圆周角是直角，可以知道ED⊥BC．

在Rt△ABC中，AB＝10，∠A＝30°

，所以BC＝5．

在Rt△BDE中，BE＝2BP＝2t，∠BED＝30°

，所以BD＝t，DE＝3t．

如图3，当点Q与点D重合时，BD＋CQ＝BC＝5．所以2t＝5．解得t＝2.5．

（2）如图4，设⊙P和AC相交于M、N两点．作PH⊥MN于H，那么MH＝NH．

在Rt△PAH中，PA＝10－t，∠A＝30°

，所以PH＝

（10t）t．

＝51

在Rt△PMH中，PM＝PB＝t，由勾股定理，得MH2＝PM2－PH2＝2（51）2

tt．

于是得到y＝MN＝2MH＝3t220t100．

4

如图5，当⊙Q过点B时，CQ＝x＝4，此时MN＝y＝316204100＝27．

（3）当⊙P与⊙Q相交时，t的取值范围是1797

＜t≤5．

第（3）题的解题过程分三步：

第一步，罗列三要素．对于圆P，rP＝t；

对于圆Q，rQ＝1；

圆心距PQ需要求一下．

如图6，作PF⊥BC于F．在Rt△PFQ中，由勾股定理，得PQ＝（3）2（53）2

第二步，列方程．如图7，当⊙P与⊙Q外切时，rP＋rQ＝PQ．

所以t1（3t）2（53t）2．整理，得2t2－17t＋24＝0．解得1797

t．

224

第三步，写结论．

图6图7

例2017年上海市崇明区中考模拟第24题

如图1，已知抛物线y＝ax2－2x＋c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0,1），点B（9,10），

AC//x轴．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）求tan∠ABC的值；

（3）若点D为抛物线的顶点，点E是直线AC上一点，当△CDE与△ABC相似时，求

点E的坐标．

请打开几何画板文件名“17崇明24”，拖动点E在点C左侧运动，可以体验到，△CDE

与△ABC相似存在两种情况．

1．求tan∠ABC的值，首先要将∠ABC放在某个直角三角形中．作AB边上的高CH以

后，有两种解法：

一种解法是∠BAC＝45°

为特殊值；

另一种解法是一般性的，已知三角形

的三边，作高不设高，设AH＝m．

2．探究△CDE与△ABC相似，首选的方法是寻找一组等角，然后按照对应边成比例分

两种情况列方程．

c1,

（1）将A（0,1）、B（9,10）两点分别代入y＝ax2－2x＋c，得

81a18c10.

3

解得a＝

，c＝1．所以这条抛物线的解析式为1221

yxx．

（2）由于AC//x轴，抛物线的对称轴为x＝3，所以C（6,1）．

如图2，作BM⊥AC，垂足为M．作CH⊥AB于H．

由A（0,1）、B（9,10），可知AM＝BM＝9，所以∠BAC＝45°

，AB＝92．

在Rt△ACH中，AC＝6，所以AH＝CH＝32．

在Rt△BCH中，BH＝AB－AH＝62，所以tan∠ABC＝

CH

BH

＝32

62

＝

．

6

（3）由12211（3）22

yxxx，