高中数学选修11人教版 练习33 导数在研究函数中的应用 第一课时1含答案Word文档下载推荐.docx
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江西抚州高二检测)函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数,则实数m的取值范围是( C )
A.(,+∞)B.(-∞,)
C.[,+∞)D.(-∞,)
[解析] y′=3x2+2x+m,由题意知3x2+2x+m≥0在R上恒成立,∴Δ=4-12m≤0,∴m≥.
4.设f′(x)是函数f(x)的导函数,y=f′(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象最有可能的是( C )
[思路分析] 由导函数f′(x)的图象位于x轴上方(下方),确定f(x)的单调性,对比f(x)的图象,用排除法求解.
[解析] 由f′(x)的图象知,x∈(-∞,0)时,f′(x)>
0,f(x)为增函数,x∈(0,2)时,f′(x)<
0,f(x)为减函数,x∈(2,+∞)时,f′(x)>
0,f(x)为增函数.
只有C符合题意,故选C.
5.(2016·
贵州贵阳一中月考)函数y=xlnx在(0,5)上的单调性是( C )
A.单调递增
B.单调递减
C.在(0,)上单调递减,在(,5)上单调递增
D.在(0,)上单调递增,在(,5)上单调递减
[解析] 函数的定义域为(0,+∞).
∵y′=lnx+1,令y′>
0,得x>
.
令y′<
0,得0<
∴函数y=xlnx在(0,)上单调递减,在(,5)上单调递增.
6.若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是( D )
A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]
C.[2,+∞)D.[1,+∞)
[解析] 由条件知f′(x)=k-≥0在(1,+∞)上恒成立,∴k≥1.
把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键.
二、填空题
7.函数y=x3-x2-x的单调递增区间为 (-∞,-),(1,+∞) .
[解析] ∵y′=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1),
∴由y′>
0得,x>
1或x<
-.
8.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调减区间为(-1,3),则b=__-3__,c=__-9__.
[解析] f′(x)=3x2+2bx+c,
由条件知,
即,
解得b=-3,c=-9.
三、解答题
9.(2016·
北京昌平区高二检测)设函数f(x)=x3+mx2+1的导函数f′(x),且f′
(1)=3.
(1)求函数f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调区间.
[解析]
(1)f′(x)=x2+2mx,
∴f′(x)=1+2m=3,∴m=1.
∴f(x)=x3+x2+1,∴f
(1)=.
∴切线方程为y-=3(x-1),
即3x-3y+4=0.
(2)f′(x)=x2+2x=x(x+2),
令f′(x)>
0或x<
-2,
令f′(x)<
0,得-2<
0,
∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-2),(0,+∞),递减区间为(-2,0).
B级 素养提升
1.函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f′(x)的图象可能是( D )
[解析] 由f(x)的图象知,f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,∴在(0,+∞)上f′(x)≤0,在(-∞,0)上f′(x)≥0,故选D.
2.下列函数中,在区间(-1,1)上是减函数的是( C )
A.y=2-3x2B.y=lnx
C.y=D.y=sinx
[解析] A中,y′=-6x,当-1<
0时,y′>
0,当0<
1时,y′<
0,故函数y=2-3x2在区间(-1,1)上不是减函数,B中,y=lnx在x=0处无意义;
C中,y′=-<
0对x∈(-1,1)恒成立,∴函数y=在区间(-1,1)上是减函数;
D中,y′=cosx>
0对x∈(-1,1)恒成立,∴函数y=sinx在(-1,1)上是增函数.
3.定义在R上的函数f(x),若(x-1)·
f′(x)<
0,则下列各项正确的是( C )
A.f(0)+f
(2)>
2f
(1)
B.f(0)+f
(2)=2f
(1)
C.f(0)+f
(2)<
D.f(0)+f
(2)与2f
(1)大小不定
[解析] 当x>
1时,f′(x)<
0,f(x)是减函数,∴f
(1)>
f
(2).
当x<
1时,f′(x)>
0,f(x)是增函数,
∴f(0)<
f
(1).因此f(0)+f
(2)<
2f
(1).
4.已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且当x>
0,有f′(x)>
0,g′(x)>
0,则当x<
0时,有( B )
A.f′(x)>
0B.f′(x)>
0,g′(x)<
C.f′(x)<
0′,g′(x)>
0D.f′(x)<
[解析] 由已知f(x)为奇函数,g(x)为偶函数.∵x>
0时,f′(x)>
∴f(x),g(x)在(0,+∞)上递增.
∴x<
0时,f(x)递增,g(x)递减.
0时f′(x)>
0.
湛江一模)若函数f(x)=x+(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点,则f(x)在下列区间上单调递增的是( D )
A.(-2,0)B.(0,1)
C.(1,+∞)D.(-∞,-2)
[解析] 由题意知,f′(x)=1-,
∵函数f(x)=x+(b∈R)的导函数在区间(1,2)上有零点,
∴当1-=0时,b=x2,
又x∈(1,2),∴b∈(1,4),
0,解得x<
-或x>
,
即f(x)的单调递增区间为(-∞,-),(,+∞),
∵b∈(1,4),∴(-∞,-2)符合题意.故选D.
6.(2016·
山东潍坊一中高二期末)函数f(x)=x-2sinx在(0,π)上的单调递增区间为 (,π) .
[解析] 由f′(x)=1-2cosx>
0得cosx<
,又x∈(0,π),所以<
π,故函数f(x)的单调递增区间为(,π).
7.已知函数f(x)=在(-2,+∞)上单调递减,则a的取值范围是 (-∞,) .
[解析] f′(x)==,
由题意得x<
-2时,f′(x)≤0恒成立,
∴2a-1≤0,∴a≤.
又当a=时,f(x)==,
此时,函数f(x)在(-2,+∞)上不是减函数,∴a≠.
综上可知,a的取值范围为(-∞,).
8.设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11).
(1)求a、b的值;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
[解析]
(1)f′(x)=3x2-6ax+3b.
因为f(x)的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),所以f
(1)=-11,f′
(1)=-12,
即,解得a=1,b=-3.
(2)由a=1,b=-3得f′(x)=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3).
令f′(x)>
-1或x>
3;
又令f′(x)<
0,解得-1<
3.
故当x∈(-∞,-1)时,f(x)是增函数;
当x∈(3,+∞)时,f(x)也是增函数;
当x∈(-1,3)时,f(x)是减函数.
C级 能力提高
1.已知函数f(x)=x3-ax2-3x在区间[1,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是__(-∞,0]__.
[解析] ∵f(x)=x3-ax2-3x,∴f′(x)=3x2-2ax-3,
又因为f(x)=x3-ax2-3x在区间[1,+∞)上是增函数,
f′(x)=3x2-2ax-3≥0在区间[1,+∞)上恒成立,
∴,解得a≤0,
故答案为(-∞,0].
2.(2016·
广东汕头高二质检)函数f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图象都过点P(2,0),且在点P处有相同的切线.
(1)求实数a、b、c的值;
(2)设函数F(x)=f(x)+g(x),求F(x)的单调区间.
[解析]
(1)∵函数f(x)、g(x)的图象都过点P(2,0),
∴f
(2)=16+2a=0,解得a=-8,g
(2)=4b+c=0.
又f(x)、g(x)的图象在点P处有相同的切线,且f′(x)=6x2-8,g′(x)=2bx,
∴f′
(2)=g′
(2),∴4b=16,∴b=4,c=-16.
∴a=-8,b=4,c=-16.
(2)由
(1)知,f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16,
∴F(x)=2x3+4x2-8x-16,
∴F′(x)=6x2+8x-8=6(x+2)(x-).
令F′(x)=6(x+2)(x-)>
0,得x<
-2或x>
∴函数F(x)的单调递增区间为(-∞,-2)和(,+∞).
令F′(x)=6(x+2)(x-)<
∴函数F(x)的单调递减区间为(-2,).
综上,F(x)的单调递增区间为(-∞,-2)和(,+∞),单调递减区间为(-2,).
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