高考数学大一轮复习导数的应用第2课时导数与函数的极值最值教师用书文北师大版文档格式.docx
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2时,f′(x)>
0.
由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.
命题点2 求函数的极值
例2 (2016·
泉州模拟)已知函数f(x)=x-1+(a∈R,e为自然对数的底数).
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线平行于x轴,求a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
解
(1)由f(x)=x-1+,得f′(x)=1-.
又曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线平行于x轴,
得f′
(1)=0,即1-=0,解得a=e.
(2)f′(x)=1-,
①当a≤0时,f′(x)>
0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数f(x)无极值;
②当a>
0时,令f′(x)=0,得ex=a,即x=lna,
当x∈(-∞,lna)时,f′(x)<
当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>
0,
所以f(x)在(-∞,lna)上是减少的,
在(lna,+∞)上是增加的,故f(x)在x=lna处取得极小值且极小值为f(lna)=lna,无极大值.
综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;
当a>
0时,f(x)在x=lna处取得极小值lna,无极大值.
命题点3 已知极值求参数
例3
(1)(2016·
广州模拟)已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0,则a-b=________.
(2)(2016·
福州质检)若函数f(x)=-x2+x+1在区间(,3)上有极值点,则实数a的取值范围是( )
A.(2,)B.[2,)
C.(2,)D.[2,)
答案
(1)-7
(2)C
解析
(1)由题意得f′(x)=3x2+6ax+b,则
解得或
经检验当a=1,b=3时,函数f(x)在x=-1处无法取得极值,而a=2,b=9满足题意,故a-b=-7.
(2)若函数f(x)在区间(,3)上无极值,
则当x∈(,3)时,f′(x)=x2-ax+1≥0恒成立或当x∈(,3)时,f′(x)=x2-ax+1≤0恒成立.
当x∈(,3)时,y=x+的值域是[2,);
当x∈(,3)时,f′(x)=x2-ax+1≥0,
即a≤x+恒成立,a≤2;
当x∈(,3)时,f′(x)=x2-ax+1≤0,
即a≥x+恒成立,a≥.
因此要使函数f(x)在(,3)上有极值点,
实数a的取值范围是(2,).
思维升华
(1)求函数f(x)极值的步骤
①确定函数的定义域;
②求导数f′(x);
③解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根;
④列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值.
(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值.
(1)函数f(x)=(x2-1)2+2的极值点是( )
A.x=1B.x=-1
C.x=1或-1或0D.x=0
(2)函数y=2x-的极大值是________.
答案
(1)C
(2)-3
解析
(1)∵f(x)=x4-2x2+3,
∴由f′(x)=4x3-4x=4x(x+1)(x-1)=0,得
x=0或x=1或x=-1.
又当x<
-1时,f′(x)<
当-1<
0时,f′(x)>
当0<
1时,f′(x)>
∴x=0,1,-1都是f(x)的极值点.
(2)y′=2+,令y′=0,得x=-1.
当x<
-1或x>
0时,y′>
0时,y′<
∴当x=-1时,y取极大值-3.
题型二 用导数求函数的最值
例4 已知a∈R,函数f(x)=+lnx-1.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程;
(2)求f(x)在区间(0,e]上的最小值.
解
(1)当a=1时,f(x)=+lnx-1,x∈(0,+∞),
所以f′(x)=-+=,x∈(0,+∞).
因此f′
(2)=,即曲线y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线斜率为.
又f
(2)=ln2-,
所以曲线y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程为y-(ln2-)=(x-2),即x-4y+4ln2-4=0.
(2)因为f(x)=+lnx-1,
所以f′(x)=-+=,x∈(0,e].
令f′(x)=0,得x=a.
①若a≤0,则f′(x)>
0,f(x)在区间(0,e]上是增加的,此时函数f(x)无最小值;
②若0<
a<
e,则当x∈(0,a)时,f′(x)<
0,函数f(x)在区间(0,a)上是减少的;
当x∈(a,e]时,f′(x)>
0,函数f(x)在区间(a,e]上是增加的,
所以当x=a时,函数f(x)取得最小值lna;
③若a≥e,则当x∈(0,e]时,f′(x)≤0,函数f(x)在区间(0,e]上是减少的,
所以当x=e时,函数f(x)取得最小值.
综上可知,当a≤0时,函数f(x)在区间(0,e]上无最小值;
e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为lna;
当a≥e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为.
思维升华 求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a,b)内的极值;
(2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b);
(3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
设函数f(x)=x3--2x+5,若对任意的x∈[-1,2],都有f(x)>
a,则实数a的取值范围是________________.
答案 (-∞,)
解析 由题意知,f′(x)=3x2-x-2,
令f′(x)=0,得3x2-x-2=0,
解得x=1或x=-,
又f
(1)=,f(-)=,
f(-1)=,f
(2)=7,
故f(x)min=,∴a<
.
题型三 函数极值和最值的综合问题
例5 已知函数f(x)=(a>
0)的导函数y=f′(x)的两个零点为-3和0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值.
解
(1)f′(x)=
=.
令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c,
因为ex>
0,所以y=f′(x)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点且f′(x)与g(x)符号相同.
又因为a>
0,所以当-3<
0时,g(x)>
即f′(x)>
-3或x>
0时,g(x)<
0,即f′(x)<
所以f(x)的增区间是(-3,0),减区间是(-∞,-3),(0,+∞).
(2)由
(1)知,x=-3是f(x)的极小值点,
所以有
解得a=1,b=5,c=5,
所以f(x)=.
因为f(x)的递增区间是(-3,0),
递减区间是(-∞,-3),(0,+∞),
所以f(0)=5为函数f(x)的极大值,
故f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值取f(-5)和f(0)中的最大者,而f(-5)==5e5>
5=f(0),
所以函数f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值是5e5.
思维升华 求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时,方法是不同的.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图像,然后借助图像观察得到函数的最值.
若函数f(x)=x3+x2-在区间(a,a+5)上存在最小值,则实数a的取值范围是( )
A.[-5,0)B.(-5,0)
C.[-3,0)D.(-3,0)
答案 C
解析 由题意,得f′(x)=x2+2x=x(x+2),
故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上是增函数,
在(-2,0)上是减函数,作出其图像如图所示,
令x3+x2-=-,得
x=0或x=-3,则结合图像可知,
解得a∈[-3,0).
3.利用导数求函数的最值
典例 (12分)已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当a>
0时,求函数f(x)在[1,2]上的最小值.
思维点拨
(1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求f′(x)>
0,f′(x)<
0的解区间,并注意定义域.
(2)先研究f(x)在[1,2]上的单调性,再确定最值是端点值还是极值.(3)两小问中,由于解析式中含有参数a,要对参数a进行分类讨论.
规范解答
解
(1)f′(x)=-a(x>
0),
①当a≤0时,f′(x)=-a>
0,即函数f(x)的递增区间为(0,+∞).[2分]
0时,令f′(x)=-a=0,可得x=,
时,f′(x)=>
时,f′(x)=<
故函数f(x)的递增区间为,
递减区间为.[4分]
综上可知,当a≤0时,函数f(x)的递增区间为(0,+∞);
0时,函数f(x)的递增区间为,递减区间为.[5分]
(2)①当≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,所以f(x)的最小值是f
(2)=ln2-2a.[6分]
②当≥2,即0<
a≤时,函数f(x)在区间[1,2]上是增函数,所以f(x)的最小值是f
(1)=-a.[7分]
③当1<
<
2,即<
1时,函数f(x)在上是增函数,在上是减函数.又f
(2)-f
(1)=ln2-a,
所以当<
ln2时,最小值是f
(1)=-a;
当ln2≤a<
1时,最小值为f
(2)=ln2-2a.[11分]
综上可知,
ln2时,函数f(x)的最小值是-a;
当a≥ln2时,函数f(x)的最小值是ln2-2a.[12分]
用导数法求给定区间上的函数的最值问题的一般步骤:
第一步:
(求导数)求函数f(x)的导数f′(x);
第二步:
(求极值)求f(x)在给定区间上的单调性和极值;
第三步:
(求端点值)求f(x)在给定区间上的端点值;
第四步:
(求最值)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较,确定f(x)的最大值与最小值;
第五步:
(反思)反思回顾,查看关键点,易错点和解题规范.
1.函数f(x)=x3-4x+4的极大值为( )
A.B.6C.D.7
答案 A
解析 f′(x)=x2-4=(x+2)(x-2),
f(x)在(-∞,-2)上是增加的,在(-2,2)上是减少的,
在(2,+∞)上是增加的,
所以f(x)的极大值为f(-2)=.
2
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