高中数学函数解题技巧方法总结高考Word文件下载.docx
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如:
函数f(x)的定义域是a,b,ba0,则函数F(x)f(x)f(x)的定
义域是_____________。
(答:
a,a)
复合函数定义域的求法:
已知yf(x)的定义域为m,n,求yfg(x)的定义域,可由mg(x)n解出x的范围,即为yfg(x)的定义域。
1例若函数yf(x)的定义域为,2,则f(log2x)的定义域为。
2
111分析:
由函数yf(x)的定义域为,2可知:
x2;
所以yf(log2x)中有log2x2。
222
解:
依题意知:
1log2x22
解之,得2x4
∴f(log2x)的定义域为x|2x4
4、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
1例求函数y=的值域x
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=x2-2x+5,x[-1,2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面
下面,我把这一类型的详细写出来,希望大家能够看懂
b型:
直接用不等式性质k+x2
bxb.y2型,先化简,再用均值不等式xmxn
x11例:
y121+x2
x+x
x2mxnc..y2型通常用判别式xmxn
x2mxnd.y型xn
法一:
用判别式a.y
法二:
用换元法,把分母替换掉
2x2x1(x+1)(x+1)+11例:
y(x+1)1211x1x1x1
4、反函数法
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
3x4例求函数y=值域。
5x6
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。
我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。
ex12sin12sin1例求函数y=x,y,y的值域。
1sin1cose1
ex11yyxex01ye1
2sin11yy|sin|||1,1sin2y
2sin1y2sin1y(1cos)1cos
2sinycos1y
x)1y,即sin(x)
又由sin(x)11
解不等式,求出y,就是要求的答案
6、函数单调性法
通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个x5log3x1(2≤x≤10)的值域
y的取值范围x2
(2)y-2x的取值范围解:
(1)令
dR(d为圆心到直线的距离,R为半径)
(2)令y-2xb,即y2xb0,也是直线ddR
例求函数y=yk,则yk(x2),是一条过(-2,0)的直线.x2(x2)2+(x8)2的值域。
原函数可化简得:
y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成数轴上点P(x)到定点A
(2),B(-8)间的距离之和。
由上图可知:
当点P在线段AB上时,
y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时,
y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣AB∣=10
故所求函数的值域为:
[10,+∞)
例求函数y=x26x13+x24x5的值域
2解:
原函数可变形为:
y=(x3)(02)+2x2)2(01)2
上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A(3,2),B(-2,-1)的距离之和,由图可知当点P为线段与x轴的交点时,ymin=∣AB∣=
故所求函数的值域为[43,+∞)。
注:
求两距离之和时,要将函数
9、不等式法(32)2(21)=43,2
利用基本不等式a+b≥2ab,a+b+c≥33abc(a,b,c∈R),求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
2例:
x2(x0)x
=x2113xx(应用公式a+b+c3者的乘积变成常数)
x2(3-2x)(0&
lt;
x&
1.5)
xx+3-2x3=xx(3-2x)()13
abc3(应用公式abc()时,应注意使3者之和变成常数)3
10.倒数法
有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况
例求函数y=x2的值域
x3
x20时,
1yy
x20时,y=0
0y20y121
2
多种方法综合运用
总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。
5.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?
切记:
做题,特别是做大题时,一定要注意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯
我当年的错误,与到手的满分失之交臂如:
fx1exx,求f(x).
令tx1,则t0
∴xt21
∴f(t)et21t21
x21x0∴f(x)ex21
6.反函数存在的条件是什么?
(一一对应函数)
求反函数的步骤掌握了吗?
(①反解x;
②互换x、y;
③注明定义域)
1x如:
求函数f(x)2x
1x0的反函数x0x1x1(答:
f(x))xx0
在更多时候,反函数的求法只是在选择题中出现,这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。
请看这个例题:
(2004.全国理)函数yx11(x1)的反函数是(B)
A.y=x2-2x+2(x&
1)
C.y=x2-2x(x&
1)B.y=x2-2x+2(x≥1)D.y=x2-2x(x≥1)
当然,心情好的同学,可以自己慢慢的计算,我想,一番心血之后,如果不出现计算问题的话,答案还是可以做出来的。
可惜,这个不合我胃口,因为我一向懒散惯了,不习惯计算。
下面请看一下我的思路:
原函数定义域为x〉=1,那反函数值域也为y&
gt;
=1.排除选项C,D.现在看值域。
原函数至于为y&
=1,则反函数定义域为x&
=1,答案为B.
我题目已经做完了,好像没有动笔(除非你拿来写*书)。
思路能不能明白呢?
7.反函数的性质有哪些?
反函数性质:
1、反函数的定义域是原函数的值域(可扩展为反函数中的x对应原函数中的y)
2、反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的y对应原函数中的x)
3、反函数的图像和原函数关于直线=x对称(难怪点(x,y)和点(y,x)关于直线y=x对称①互为反函数的图象关于直线y=x对称;
②保存了原来函数的单调性、奇函数性;
③设yf(x)的定义域为A,值域为C,aA,bC,则f(a)=bf1(b)a
f1f(a)f1(b)a,ff1(b)f(a)b
由反函数的性质,可以快速的解出很多比较麻烦的题目,如
(04.上海春季高考)已知函数f(x)log3
(2),则方程f1(x)4的解x__________.
8.如何用定义证明函数的单调性?
(取值、作差、判正负)
判断函数单调性的方法有三种:
(1)定义法:
根据定义,设任意得x1,x2,找出f(x1),f(x2)之间的大小关系可以变形为求4xf(x1)f(x2)f(x1)的正负号或者与1的关系f(x2)x1x2
(2)参照图象:
①若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称,函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间具有相同的单调性;
(特例:
奇函数)
②若函数f(x)的图象关于直线x=a对称,则函数f(x)在关于点(a,0)的对称区间里具有相反的单调性。
(特例:
偶函数)
(3)利用单调函数的性质:
①函数f(x)与f(x)+c(c是常数)是同向变化的
②函数f(x)与cf(x)(c是常数),当c>0时,它们是同向变化的;
当c<0时,它们是反向变化的。
③如果函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)+f2(x)和它们同向变化;
(函数相加)
④如果正值函数f1(x),f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化;
如果负值函数f1
(2)与f2(x)同向变化,则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化;
(函数相乘)
⑤函数f(x)与1
f(x)在f(x)的同号区间里反向变化。
⑥若函数u=φ(x),x[α,β]与函数y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向变化,则在[α,β]上复合函数y=F[φ(x)]是递增的;
若函数u=φ(x),x[α,β]与函数y=F(u),u∈[φ(α),φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]反向变化,则在[α,β]上复合函数y=F[φ(x)]是递减的。
(同增异减)
-1
求ylog1x22x的单调区间
2
(设ux22x,由u0则0x2且log1u,ux11,如图:
22
当x(0,1]时,u,又log1u,∴y
当x[1,2)时,u,又log1u,∴y
∴„„)
9.如何利用导数判断函数的单调性?
在区间a,b)
A.0
aax0(令f’(x)3x2a3x33则xaa或x33
a1,即a33由已知f(x)在[1,)上为增函数,则
∴a的最大值为3)
10.函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么?
(f(x)定义域关于原点对称)
若f(x)f(x)总成立f(x)为奇函数函数图象关于原点对称
若f(x)f(x)总成立f(x)为偶函数函数图象关于y轴对称
注意如下结论:
(1)在公共定义域内:
两个奇函数的乘积是偶函数;
两个偶函数的乘积是偶函数;
一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
(2)若f(x)是奇函数且定义域中有原点,则f(0)0。
a·
2xa2为
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