高考数学大一轮复习第七章不等式71不等关系与不等式教师用书Word文档下载推荐.docx

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.

②a<

0<

b⇒<

③a>

0,0<

c<

d⇒>

④0<

a<

x<

b或a<

b<

<

（2）有关分数的性质

若a>

0，m>

0，则

①<

；

>

（b－m>

②>

<

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×

”）

（1）两个实数a，b之间，有且只有a>

b，a＝b，a<

b三种关系中的一种．（　√　）

（2）若>

1，则a>

b.（　×

　）

（3）一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．（　×

（4）一个非零实数越大，则其倒数就越小．（　×

（5）a>

0，c>

d>

.（　√　）

（6）若ab>

0，则a>

b⇔<

1．设a<

0，则下列不等式中不成立的是（　　）

A.>

B.>

C．|a|>

－bD.>

答案　B

解析　由题设得a<

a－b<

0，所以有<

成立，

即>

不成立．

2．（教材改编）若a，b都是实数，则“－>

0”是“a2－b2>

0”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　－>

⇒a>

b⇒a2>

b2，

但由a2－b2>

0－>

0.

3．若a，b∈R，且a＋|b|<

0，则下列不等式中正确的是（　　）

A．a－b>

0B．a3＋b3>

C．a2－b2<

0D．a＋b<

答案　D

解析　由a＋|b|<

0知，a<

0，且|a|>

|b|，

当b≥0时，a＋b<

0成立，

当b<

0时，a＋b<

0成立，∴a＋b<

0成立.故选D.

4．（教材改编）若0<

b，且a＋b＝1，则将a，b，，2ab，a2＋b2从小到大排列为________________．

答案　a<

2ab<

a2＋b2<

b

解析　∵0<

b且a＋b＝1，

∴a<

1，∴2b>

1且2a<

1，

2b·

a＝2a（1－a）＝－2a2＋2a

＝－22＋<

即a<

，

又a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝1－2ab>

1－＝，

即a2＋b2>

a2＋b2－b＝（1－b）2＋b2－b＝（2b－1）（b－1），

又2b－1>

0，b－1<

0，∴a2＋b2－b<

0，

∴a2＋b2<

b，

综上，a<

b.

题型一　比较两个数（式）的大小

例1　

（1）已知a1，a2∈（0,1），记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是（　　）

A．M<

NB．M>

N

C．M＝ND．不确定

（2）若a＝，b＝，c＝，则（　　）

A．a<

cB．c<

C．c<

bD．b<

答案　

（1）B　

（2）B

解析　

（1）M－N＝a1a2－（a1＋a2－1）

＝a1a2－a1－a2＋1

＝a1（a2－1）－（a2－1）

＝（a1－1）（a2－1），

又∵a1∈（0,1），a2∈（0,1），

∴a1－1<

0，a2－1<

∴（a1－1）（a2－1）>

0，即M－N>

∴M>

N.

（2）方法一　易知a，b，c都是正数，＝

＝log8164<

所以a>

b；

＝＝log6251024>

所以b>

c.即c<

a.

方法二　对于函数y＝f（x）＝，y′＝，

易知当x>

e时，函数f（x）单调递减．

因为e<

3<

4<

5，所以f（3）>

f（4）>

f（5），

即c<

思维升华　比较大小的常用方法

（1）作差法：

一般步骤：

①作差；

②变形；

③定号；

④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．

（2）作商法：

①作商；

③判断商与1的大小；

④结论．

（3）函数的单调性法：

将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系．

（1）设a，b∈[0，＋∞），A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是（　　）

A．A≤BB．A≥B

C．A<

BD．A>

B

（2）若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________．

答案　

（1）B　

（2）a<

解析　

（1）∵A≥0，B≥0，

A2－B2＝a＋2＋b－（a＋b）＝2≥0，

∴A≥B.

（2）＝＝（）16

＝（）16（）16＝（）16，

∵∈（0,1），∴（）16<

∵1816>

0,1618>

∴1816<

1618，即a<

题型二　不等式的性质

例2　

（1）已知a，b，c满足c<

a，且ac<

0，那么下列选项中一定成立的是（　　）

A．ab>

acB．c（b－a）<

C．cb2<

ab2D．ac（a－c）>

（2）若<

0，则下列不等式：

①a＋b<

ab；

②|a|>

|b|；

③a<

④ab<

b2中，正确的不等式有（　　）

A．①②B．②③C．①④D．③④

答案　

（1）A　

（2）C

解析　

（1）由c<

a且ac<

0知c<

0且a>

由b>

c得ab>

ac一定成立．

（2）因为<

0，所以b<

0，a＋b<

0，ab>

所以a＋b<

ab，|a|<

|b|，在b<

a两边同时乘以b，

因为b<

0，所以ab<

b2.因此正确的是①④.

思维升华　解决此类问题常有两种方法：

一是直接利用不等式的性质逐个验证；

二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．

　若a>

0>

－a，c<

d<

0，则下列结论：

①ad>

bc；

②＋<

0；

③a－c>

b－d；

④a（d－c）>

b（d－c）中成立的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

答案　C

解析　方法一　∵a>

b，c<

∴ad<

0，bc>

bc，故①错误．

∵a>

－a，∴a>

－b>

∵c<

0，∴－c>

－d>

∴a（－c）>

（－b）（－d），

∴ac＋bd<

0，∴＋＝<

0，故②正确．

d，∴－c>

－d，

b，∴a＋（－c）>

b＋（－d），

∴a－c>

b－d，故③正确．

b，d－c>

0，∴a（d－c）>

b（d－c），

故④正确，故选C.

方法二　取特殊值．

题型三　不等式性质的应用

命题点1　应用性质判断不等式是否成立

例3　已知a>

0，给出下列四个不等式：

①a2>

b2；

②2a>

2b－1；

③>

－；

④a3＋b3>

2a2b.

其中一定成立的不等式为（　　）

A．①②③B．①②④

C．①③④D．②③④

解析　方法一　由a>

0可得a2>

b2，①成立；

由a>

0可得a>

b－1，而函数f（x）＝2x在R上是增函数，

∴f（a）>

f（b－1），即2a>

2b－1，②成立；

0，∴>

∴（）2－（－）2

＝2－2b＝2（－）>

∴>

－，③成立；

若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，

a3＋b3<

2a2b，④不成立．

故选A.

方法二　令a＝3，b＝2，

可以得到①a2>

b2，②2a>

2b－1，③>

－均成立，而④a3＋b3>

2a2b不成立，故选A.

命题点2　求代数式的取值范围

例4　已知－1<

4,2<

y<

3，则x－y的取值范围是______，3x＋2y的取值范围是______．

答案　（－4,2）　（1,18）

解析　∵－1<

3，∴－3<

－y<

－2，

∴－4<

x－y<

2.

由－1<

3，得－3<

3x<

12,4<

2y<

6，

∴1<

3x＋2y<

18.

引申探究

1．若将已知条件改为－1<

3，求x－y的取值范围．

解　∵－1<

3，－1<

3，

∴－3<

1，∴－4<

4.

又∵x<

y，∴x－y<

0，∴－4<

故x－y的取值范围为（－4,0）．

2．若将本例条件改为－1<

x＋y<

3，求3x＋2y的取值范围．

解　设3x＋2y＝m（x＋y）＋n（x－y），

则∴

即3x＋2y＝（x＋y）＋（x－y），

又∵－1<

∴－<

（x＋y）<

10,1<

（x－y）<

（x＋y）＋（x－y）<

即－<

∴3x＋2y的取值范围为（－，）．

思维升华　

（1）判断不等式是否成立的方法

①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．

②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．

（2）求代数式的取值范围

利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．

（1）若a<

0，则下列不等式一定成立的是（　　）

B．a2<

ab

C.<

D．an>

bn

（2）设a>

1，c<

0，给出下列三个结论：

①>

②ac<

③logb（a－c）>

loga（b－c）．

其中所有正确结论的序号是（　　）

A．①B．①②

C．②③D．①②③

答案　

（1）C　

（2）D

解析　

（1）（特殊值法）取a＝－2，b＝－1，逐个检验，可知A，B，D项均不正确；

C项，<

⇔|b|（|a|＋1）<

|a|（|b|＋1）

⇔|a||b|＋|b|<

|a||b|＋|a|⇔|b|<

|a|，

∵a<

0，∴|b|<

|a|成立，故选C.

（2）由不等式性质及a>

1知<

又c<

，①正确；

构造函数y＝xc，

0，∴y＝xc在（0，＋∞）上是减函数，

又a>

1，∴ac<

bc，②正确；

0，∴a－c>

b－c>

∴logb（a－c）>

loga（a－c）>

loga（b－c），③正确．

6．利用不等式变形求范围

典例　设f（x）＝ax2＋bx，若1≤f（－1）≤2,2≤f

（1）≤4，则f（－2）的取值范围是________．

错解展示

解析　由已知得

①＋②得3≤2a≤6，∴6≤4a≤12，

又由①可得－2≤－a＋b≤－1，③

②＋③得0≤2b≤3，∴－3≤－2b≤0，

又f（－2）＝4a－2b，∴3≤4a－2b≤12，

∴f（－2）的取值范围是[3,12]．

答案　[3,12]

现场纠错

解析　方法一　由

得

∴f（－2）＝4a－2b＝3f（－1）＋f

（1）．

又∵1≤f（－1）≤2,2≤f

（1）≤4，

∴5≤3f（－1）＋f

（1）≤10，故5≤f（－2）≤10.

方法二　由

确定的平面区域如图阴影部分所