线性代数自考真题文档格式.docx
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线性代数自考真题文档格式.docx
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C.BCA=E
D.BAC=E
C
[考点]方阵的性质
[解答]ABC=E则BCA=E,举例:
若AB=E,则BA=E,矩阵乘法满足结合律可以加括号即A(BC)=E可以换位置即(BC)A=E,所以C选项正确.
3.设A为三阶方阵,且|A|=2,则|-2A|=______
A.-16
B.-4
C.4
D.16
A
[考点]矩阵的基本性质
[解答]因为是3阶方阵,所以|-2A|=(-2)3|A|=-16,答案A.
4.若同阶方阵A与B等价,则必有______
A.|A|=|B|
B.A与B相似
C.r(A)=r(B)
D.
[考点]矩阵等价的概念
[解答]等价矩阵有相等的秩;
反之同形的两个矩阵只要其秩相等,必等价.
5.设α1=(1,0,0),α2=(2,0,0),α3=(1,1,0),则______
A.α1,α2,α3线性无关
B.α3可由α1,α2线性表示
C.α1可由α2,α3线性表示
D.α1,α2,α3的秩等于3
[考点]线性相关的定义
[解答]显然α2=2α1,即可以写成
,等式右方的系数不全为零,所以α1可由α2,α3线性表示,C正确.
6.设α1,α2是非齐次方程组Ax=b的解,β是对应齐次方程组的解,则Ax=b一定有一个解是______
A.α1+α2
B.α1+α2
C.β+α1+α2
[考点]非齐次方程组的求解
[解答]α1,α2是非齐次方程组Ax=b的解,β是对应齐次方程组的解,Aα1=b,Aα2=b,Aβ=0,所以满足A(α1-α2)=0,所以α1-α2=kβ,Ax=b一定有一个解是
.
7.若3阶方阵A与对角阵
相似,则下列说法错误的是______
A.|A|=0
B.|A+B|=0
C.A有三个线性无关特征向量
D.r(A)=2
B
[考点]相似矩阵的性质
[解答]相似矩阵有相同秩,A,D说法都对,C选项为定理,正确,答案B,矩阵与它本身是相似的,取A为上述矩阵即可.
8.齐次方程x1+x2-x3=0的基础解系所含向量个数是______
A.0
B.1
C.2
D.3
[考点]基础解系的求法
[解答]A=(1,1,-1),则基础解系中向量个数为n-r(A)=3-1=2.
9.若α=(1,1,t)与β=(1,1,1)正交,则t=______
A.-2
B.-1
C.0
D.1
[考点]正交基的性质
[解答]直接乘等于0,而1×
1+1×
1+t×
1=0,则t=-2.
10.对称矩阵
是______
A.负定矩阵
B.正定矩阵
C.半正定矩阵
D.不定矩阵
[考点]正定性矩阵
[解答]A的1阶顺序主子式等于2,2阶顺序主子式等于3,都大于0,所以是正定的.
第二部分非选择题
二、填空题
1.设A,B均为三阶可逆方阵,且|A|=2,则|-2B-1A2B|=______.
-32
[考点]逆矩阵的性质
[解答]因为|A|=2,所以|-2B-1A2B|=-8|B-1||A|2|B|=-32.
2.四阶行列式中项α21α32α13α44的符号为______.
正(+)
[考点]行的逆序
[解答]由行的逆序2314,所以为正.
3.设
则A的伴随矩阵A*=______.
[考点]重要公式AA*=A*A=|A|E,伴随矩阵定义.
[解答]
所以
又A-1|A|=A*,所以
或由伴随矩阵定义,直接得出.
4.设
且r(A)=2,则t=______.
-2
[考点]矩阵的秩
施行初等变换得
因为r(A)=2,则t=-2.
5.设三阶方阵A=(α1,α2,α3),其中αi为A的列向量,且|A|=3,若B=(α1,α1+α2,α1+α2+α3),则|B|=______.
3
[考点]n维向量线性运算的定义和性质
[解答]B=(α1,α1+α2,α1+α2+α3),A=(α1,α2,α3)其实B是A的初等变换,因为初等变换值不变,所以|B|=|A|=3.
6.三元方程组
的通解是______.
[考点]求方程的通解
以x1为自由变量,基础解系为(1,1,-1)T,所以通解为
k为任意常数.
7.设
则A的特征值是______.
λ1=λ2=3
[考点]特征值的求法
8.若三阶矩阵A的特征值分别为1,2,3,则|A+2E|=______.
60
[解答]由项1·
A+2E的特征值为3,4,5,则|A+2E|=3×
4×
5=60.
9.若
相似,则x=______.
[解答]A与B相似,则2+0+x=2+1+(-1),则x=0.
10.实对称矩阵
的正交相似标准形矩阵是______.
[考点]标准正交基的求法
[解答]实对称矩阵
的特征值为2,0,所以根据正交相似标准形矩阵的性质得
三、计算题
本大题共6小题,每小题9分,共54分
1.计算四阶行列式
[考点]行列式的计算
2.设
,B是三阶方阵,且满足AB-A2=B-E,求B.
因AB-A2=B-E,故AB-B=A2-E,(A-E)B=A2-E.
故B=(A-E)-1(A2-E)=(A-E)-1(A-E)(A+E)=A+E,
故
3.设α1=(1,1,2,3),α2=(1,-1,1,1),α3=(1,3,3,5),α4=(4,-2,5,6),α5=(-3,-1,-5,-7),试求向量组α1,α2,α3,α4,α5的秩和一个极大无关组.
令
向量组的秩为2,且α1,α2是一个极大无关组.
[考点]求向量组的极大无关组,并将其余向量由该极大无关组线性表示的的方法
4.设四元方程组
问t取何值时该方程组有解?
并在有解时求其通解.
当t=7时,方程组有解
故通解
[考点]齐次方程组的基础解系
5.设矩阵
矩阵A由矩阵方程P-1AP=D确定,试求A5.
因P-1AP=D,
故A=PDP-1,
而
[考点]利用矩阵与对角阵形似将计算A5转化为计算A5
6.求正交变换x=Py,化二次型f(x1,x2,x3)=-2x1x2+2x1x3+2x2x3为标准形.
令
故λ1=-2,λ2=λ3=1.
当λ1=-2时,
当λ2=λ3=1时,
故化二次型为
[考点]二次型矩阵
四、证明题
本大题共1小题,6分
1.证明任意4个3维向量组线性相关.
证明:
设
为任意4个3维向量,向量组A:
α1,α2,α3,α4,
而r(A)=r(α1,α2,α3,α4)=min(m,n)≤3<4,
所以α1,α2,α3,α4线性相关,
由α1,α2,α3,α4假设的任意性,即命题成立.
[考点]n维向量组的线性相关性
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